工程力學(xué)9(3)彎曲變形

1、工程力學(xué)1主 講：譚寧 副教授辦公室：教1樓北305工程力學(xué)29(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。彎曲變形彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)4 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 , ,橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。y撓度撓度y, ,橫截面形心沿垂橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。直于軸

2、線方向的位移。 x因因x很很微小，往往忽略。微小，往往忽略。梁的撓度梁的撓度y，橫截面的轉(zhuǎn)角，橫截面的轉(zhuǎn)角 。度量梁變形的參數(shù)度量梁變形的參數(shù)-撓曲線撓曲線：梁變形后的軸線，：梁變形后的軸線，y(x)。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)5撓曲線撓曲線：在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條為一條光滑連續(xù)光滑連續(xù)曲線，這條曲線稱為撓曲線。曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）（撓曲線）9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)6MABMCD0MBCcon

3、st答案答案 D D9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)7FA0FB0MCDconst答案答案 D DABCD9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)8ABCDMBDconstFA0FBP答案答案C CBBpMMF l9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)9y = = y（x） 撓曲線方程。撓曲線方程。 撓度向上為正；向下為負。撓度向上為正；向下為負。= =( (x) ) 轉(zhuǎn)角方程。轉(zhuǎn)角方程。 由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后， 逆時針為正；順時針為負。逆時針為正；順時針為負。 tgdxdy撓曲線上任一點的斜率都可以足夠精確的表示該點處橫截面

4、的轉(zhuǎn)角。撓曲線上任一點的斜率都可以足夠精確的表示該點處橫截面的轉(zhuǎn)角。撓曲線在撓曲線在c 點的切線點的切線9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形 y工程力學(xué)101.研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的：研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的： 主要目的之一就是對梁作剛度校核，即檢查梁彎主要目的之一就是對梁作剛度校核，即檢查梁彎曲時的最大撓度是否超過按要求所規(guī)定的容許值；曲時的最大撓度是否超過按要求所規(guī)定的容許值；9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形2. 求梁位移的基本方法求梁位移的基本方法 根據(jù)撓曲線的近似微分方程式通過積分求撓度方程和根據(jù)撓曲線的近似微分方程式通過積分求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。轉(zhuǎn)角方程。工程力學(xué)11E

5、IxMx)(ddEIxMxy)(2dd2EIxMx)()(1由撓曲線的曲率由撓曲線的曲率撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 轉(zhuǎn)角近似微分方程轉(zhuǎn)角近似微分方程撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了忽略了“FQ”以及以及 對變形的影響。對變形的影響。 2)(y使用條件使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細長梁。彈性范圍內(nèi)工作的細長梁。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)12)()(xMxyEI 1CdxxMxyEI)()(21CxCdxdxxMxEIy )()(步驟步驟：1 1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M（x）。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近

6、似微分方程并進行積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)133 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。0,0BAyy0,0DDy連續(xù)條件：連續(xù)條件：邊界條件：邊界條件：DPPABCF（1 1）固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。）固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2 2）固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。）固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3 3）在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。）在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截

7、面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形右左右左，CCCCyy工程力學(xué)144 4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 。5 5、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形AAAAAAAy 彈簧變形 （4 4）彈簧支撐）彈簧支撐工程力學(xué)15 例例1 1： 用積分法求梁撓曲線方程時用積分法求梁撓曲線方程時, ,試問下列梁的撓曲線試問下列梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)分幾段近似微分方程應(yīng)分幾段; ;將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù)將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù), ,并寫并寫出其確

8、定積分常數(shù)的邊界條件出其確定積分常數(shù)的邊界條件FBAqCLzEIa9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)16撓曲線方程應(yīng)分兩段撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.AB,BC.共有四個積分常數(shù)共有四個積分常數(shù)xa0By xaL0Cy 邊界條件邊界條件連續(xù)條件連續(xù)條件ax 12BByy21BBFBAqCLzEIa9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)172lBAqC2lzEIkx撓曲線方程應(yīng)分兩段撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.AB,BC.共有四個積分常數(shù)共有四個積分常數(shù). .0 x0Ay Lx cCFyk邊界條件邊界條件kqL8連續(xù)條件連續(xù)條件2Lx12BByy21BB9(3). 9

9、(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)18A2L1zEI2zEIFBC2Lx9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形撓曲線方程應(yīng)分兩段撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.AB,BC.共有四個積分常數(shù)共有四個積分常數(shù). .0 x0Ay 0A邊界條件邊界條件連續(xù)條件連續(xù)條件2Lx12BByy21BB工程力學(xué)19LABCqZEIEAL1x全梁僅一個撓曲線方程，全梁僅一個撓曲線方程，共有兩個積分常數(shù)共有兩個積分常數(shù)0 x0Ay Lx BBCyL 邊界條件邊界條件EAqLL219(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)20AaLBCeMzEIx9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形撓曲線方程應(yīng)分兩段撓曲線

10、方程應(yīng)分兩段AB,BC.AB,BC.共有四個積分常數(shù)共有四個積分常數(shù). .0 x0Ay 0A邊界條件邊界條件Lax0Cy 連續(xù)條件連續(xù)條件ax12BByy工程力學(xué)21EIFly33求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角( EI=常數(shù)）。常數(shù)）。解：解：a) a) 寫出彎矩方程寫出彎矩方程FxxM)(b) b) 寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分c) c) 應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)FxxMyEI )(1221CFxyEI21361CxCFxEIy322131 ; 21FlCFlCd) d) 確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程323236l

11、xlxEIFxy)(222lxEIFyEIFl22e) 自由端的自由端的撓度及轉(zhuǎn)角撓度及轉(zhuǎn)角00, ylx9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形lxF工程力學(xué)22)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy 。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)23x9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形ABlFqeMQFM22qxFxMMe解：彎矩方程解：彎矩方程以以x截面左半段為研究對象截面左半段為研究對象工程力學(xué)24321MMMM)(xMyEIii )()()(332211xMyEIxMyEIxMyEI xAB

12、lFqeMQFM22qxFxMMe9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)25ABlFqeMABlqABlFABleM9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)26ABlFqeMyx)()()()(xyxyxyxyFqMe)3(6)46(24222222xlEIFxlxlxEIqxEIxMe9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)279(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形BAlqFC工程力學(xué)28解、解、a)載荷分解如圖載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。查簡單載荷引起的變形。=EIFaEIFLyEIFaEIFLFCFA64

13、8,4163322EIqaEIqLyEIqaEIqLqCqA2453845,3244433c)c)疊加疊加EIqaEIFayyyqCFCC245643)43(122qaFEIaqAFAA+BAlqFC9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形BAlqFC工程力學(xué)29例例4 4：ABAB梁的梁的EIEI為已知為已知, ,試用疊加法試用疊加法, ,求梁中間求梁中間C C截面撓度截面撓度. . 將三角形分布荷載看成載荷集度為將三角形分布荷載看成載荷集度為q q0 0的均布載荷的一半。的均布載荷的一半。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)3030Lq60LqlBAC0q將三角形分布荷載看成載

14、荷集度為將三角形分布荷載看成載荷集度為q q0 0的均布載荷的一半的均布載荷的一半ZEILq384540查表得40512384CZq LyEIZEILq7685409(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)31例例5: 5: w9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)32wwww工程力學(xué)33w,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCEIlq8)2(422lB工程力學(xué)34例例6 6：圖示簡支梁圖示簡支梁ABAB，在中點處加一彈簧支撐，在中點處加一彈簧支撐, ,若使梁的若使梁的C C截面處彎矩為零截面處彎矩為零, ,試求彈簧常量試求彈簧常

15、量k. k.9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)359(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形2102CAMF LqLqLFC解：解：C截面彎矩為截面彎矩為根據(jù)靜力平衡關(guān)系，可得到根據(jù)靜力平衡關(guān)系，可得到qLFFAB21工程力學(xué)36C C處撓度等于彈處撓度等于彈簧變形?；勺冃巍／B加法求撓度疊加法求撓度CCqCkyyy438425zEILqZCEILF4823ZEIqL244CCFyk324ZEIkL9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)37 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明+等價等價等價等價BCPL2f1xf21fff=AxPL1L2BCffPABC剛化剛化AC段段PL

16、1L2ABC剛化剛化BC段段9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)38=C CABq2l2lC CAB2l2lC CABqARBRARBRCRCR. 02, 02qllRmBA.5 . 0,2, 0qlRqlRmBAB靜定問題靜定問題二個平衡方程，三個未知數(shù)。二個平衡方程，三個未知數(shù)。超靜定問題超靜定問題0cy去掉多余約束而成為去掉多余約束而成為形式上的靜定形式上的靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 基本靜定基基本靜定基。9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)391 1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計算、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計算）2 2、在多余約束

17、處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3 3、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力 4、計算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、變形、計算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、變形。解超靜定的步驟解超靜定的步驟 ( (靜力、幾何、物理條件靜力、幾何、物理條件) )9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)40解：解：1)研究對象，研究對象，AB梁，受力分析：梁，受力分析：) )物理條件物理條件048384534EIlREIqlC,85qLRCCRABq) )變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程) )選用選用靜定基，去支座靜定基，去

18、支座05 . 05 . 0, 00, 02qllRlRMqlRRRYCBACBA0CCRCqCyyyEIlRyEIqlyCCRCqC48,384534聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：163qlRRBAC CAB2l2lARBRCR9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)41例例: :圖示靜不定梁，等截面梁圖示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度的抗彎剛度EI，拉桿，拉桿BD的抗拉的抗拉 剛度剛度EA，在，在F力作用下，試求力作用下，試求BD桿的拉力。桿的拉力。Fl/2l/2ABCDl9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)42BDBlwFl/2l/2ABCDl1 1、選擇基本靜定梁。、選擇基本

19、靜定梁。解：解：Fl/2l/2ABCNF2 2、列出變形協(xié)調(diào)條件。、列出變形協(xié)調(diào)條件。NBFBFBwww)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)43代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形Fl/2l/2ABCDl工程力學(xué)44lyx 思考：思考：求下圖所示超靜定梁求下圖所示超靜定梁A、B處的約束力及處的約束力及 B、yC，并畫出該梁的剪力圖和彎矩圖。并畫出該梁的剪力圖和彎矩圖。l/2CqBA9(3).

20、9(3). 彎曲變形彎曲變形AFAMBFq)0(By靜定基靜定基工程力學(xué)45 max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中其中 稱為許用轉(zhuǎn)角；稱為許用轉(zhuǎn)角； /L/L 稱為許用撓跨比。稱為許用撓跨比。校核剛度校核剛度; ;設(shè)計截面尺寸；設(shè)計截面尺寸；確定外載荷。確定外載荷。 maxmaxmaxyyyLL二、剛度計算二、剛度計算9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形mmylyly)06.005.0()005.0001.0()0005.00001.0(機床主軸機床主軸起重機大梁起重機大梁發(fā)動機凸輪軸發(fā)動機凸輪軸工程力學(xué)46例：例：軸承許用轉(zhuǎn)角軸承許用轉(zhuǎn)角= 0.05 rad， F = 20 kN，

21、a =200 mm， = 60MPa，E =200GPa，確定軸的直徑，確定軸的直徑d。a2aFABCkNmaaaaFMMC67. 222max323maxmaxmaxdMWMz mmMd8 .76323max1解解: (1) 強度計算強度計算 9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)47mmd8 .761(2) 剛度計算剛度計算 186410)2(6)23(243maxdaEFaEIaaaaaaFB mmaEFad8 .3018640432(3)最終取最終取d =77mm a2aFABC9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)481、增大梁的抗彎剛度（、增大梁的抗彎剛度（EI

22、）2、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形方法方法同提高梁的強度的措施相同同提高梁的強度的措施相同（1）減小彎矩、增大截面慣性矩、等強度梁）減小彎矩、增大截面慣性矩、等強度梁（2）減小梁的跨度效果明顯；）減小梁的跨度效果明顯；（3）增加材料的彈性模量）增加材料的彈性模量工程力學(xué)499(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)509(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)519(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)52彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能拉壓應(yīng)變能拉壓應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能P225 . 0GIlMMU U=？EAlFlFU25 . 02N 9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形工程力學(xué)53外力功：外力功： eee5 .0)2(5 .0)2(5 .0MMMW 9(3). 9(3). 彎曲變形彎曲變形 根據(jù)應(yīng)變能的大小等于外力偶所作