線性時不變系統(tǒng)湘潭大學(xué)信號與系統(tǒng)課件期末復(fù)習(xí)綜述

1、2022-3-23Signals & Systems12.0 2.0 引言引言2.1 2.1 離散時間離散時間LTILTI系統(tǒng)：卷積和系統(tǒng)：卷積和2.2 2.2 連續(xù)時間連續(xù)時間LTILTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分2.3 2.3 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)2.4 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)第第2 2章章 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)Linear Time-Invariant SystemsLinear Time-Invariant Systems2022-3-23Signals & Systems2時域描述

2、方法時域描述方法 卷積和、卷積積分卷積和、卷積積分 常系數(shù)線性微分方程、差分方程常系數(shù)線性微分方程、差分方程 方框圖法方框圖法 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法2022-3-23Signals & Systems32.0 Introduction2.0 Introduction 基本思想：基本思想： 如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那么只要得到了么只要得到了LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基

3、本信號的響應(yīng)的線性組合。系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。 由于由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)?；A(chǔ)。( )( )kkkx ta x t( )( )kkky ta y t2022-3-23Signals & Systems4 研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任 意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；線性組合來

4、構(gòu)成任意信號； 如何得到如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)?；締卧盘枒?yīng)滿足的要求：基本單元信號應(yīng)滿足的要求： 本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號；（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號； LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。問題的實質(zhì)：問題的實質(zhì)：2022-3-23Signals & Systems52.1 離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和2.1.1 2.1.1 用單位脈沖表示離散時間信號用單位脈沖表示離散時間信號 kx nx knk 0ku nnk2022-3

5、-23Signals & Systems62.1.2 2.1.2 離散時間離散時間LTILTI系統(tǒng)的單位脈沖系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及卷積和表示響應(yīng)及卷積和表示 nh nnkh nk kx nx knkTime-Invariant PropertyUnit Impulse Response ky nx k h nkx nh nLinear Property卷積和（卷積和（convolution sum）2022-3-23Signals & Systems70n)(n0n)(nhLTI系統(tǒng))(n)(nh112345一個一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。系統(tǒng)可以完全由它的單

6、位脈沖響應(yīng)來表征。 x n y nx nh n2022-3-23Signals & Systems82022-3-23Signals & Systems92022-3-23Signals & Systems10卷積和的計算卷積和的計算1 12y nx nx n x nn1, n=011 1, n=1220, othersh nnn2, n=04, n=1 -2, n=20, othersx n 2 4 12 2x nnnn 2 4 12 2y nh nh nh n0, n02, n=05, n=1 0, n=21, n=30, n4y n1 1、解析法；、解析法；2 2

7、、圖解法、圖解法Example: 2022-3-23Signals & Systems11 ky nx k h nk nkx k h nkhk nky nk圖解法的思想：圖解法的思想：反轉(zhuǎn)、平移、反轉(zhuǎn)、平移、相乘、求和相乘、求和 shift,n0lefth nkright h k反反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)平平移移求和相相乘乘2022-3-23Signals & Systems12卷積和圖解法的計算過程：卷積和圖解法的計算過程：（1）以）以k作為自變量，畫出作為自變量，畫出 的信號波形。的信號波形。（2）從）從n等于負(fù)無窮開始，也就是將等于負(fù)無窮開始，也就是將 向時間軸左端遠(yuǎn)向時間軸左端遠(yuǎn)處平移。

8、處平移。（3）寫出中間信號）寫出中間信號 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（4）增加時移量）增加時移量n，也就是將，也就是將 向右移動，直到向右移動，直到 的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應(yīng)的的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應(yīng)的n值標(biāo)志著現(xiàn)在值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個新區(qū)間的開始。區(qū)間的結(jié)束以及下一個新區(qū)間的開始。（5）對新區(qū)間中的）對新區(qū)間中的n，重復(fù)步驟，重復(fù)步驟3和和4，直到所有時間區(qū)間被劃，直到所有時間區(qū)間被劃分，對應(yīng)的分，對應(yīng)的 數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定。數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定。（6）在每個時間區(qū)間，將相應(yīng)的）在每個時間區(qū)間，將相應(yīng)的 對對k求和，得到該區(qū)求和，得到該區(qū)間的輸出間的輸出

9、。 , x k hkhk nkh nk nk y n nk nk2022-3-23Signals & Systems13例例2.1：解析法：解析法 yn= 0 01 1 =0.5 2 1xh nxh nh nh n2022-3-23Signals & Systems14例例2.2：圖解法：圖解法2022-3-23Signals & Systems1510( )( )( )( ) ()( ) ()1( )1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k( )( )kx ku k.01nk()()h nku nk例例2.3： ( )( )nx

10、nu n01( )( )h nu n2022-3-23Signals & Systems16例例2.4： 104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise0n6n 014( )x kkk()n kh nk2022-3-23Signals & Systems17 時時0n ( )0y n 2022-3-23Signals & Systems18 時時04n00(1)11( )1111nn kknnkknnny n2022-3-23Signals & Systems19 時時46n405141( )111n kknnny n202

11、2-3-23Signals & Systems20 時時610n4647( ) 1n kk nny n 2022-3-23Signals & Systems21 時時10n ( )0y n 2022-3-23Signals & Systems222022-3-23Signals & Systems23例例2.5： 2nx nun h nu n2022-3-23Signals & Systems242.2.1 2.2.1 用沖激表示連續(xù)時間信號用沖激表示連續(xù)時間信號 與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分

12、解成一系列移位加權(quán)的時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。單位沖激信號的線性組合。2.2 2.2 連續(xù)時間連續(xù)時間LTILTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分0( )( )()tu tdtd 2022-3-23Signals & Systems25引用引用 ，即：，即：( ) t1/0( )0ttotherwise 則有則有：10( )0ttotherwise ( )x t0k(1)k t()x k( )xt 對一般信號對一般信號 ，可以將其分成，可以將其分成很多很多 寬度的區(qū)段，用一個階梯信寬度的區(qū)段，用一個階梯信號號 近似表示近似表示 。當(dāng)。當(dāng) 時時，有有( )

13、x t( )x t0( )( )xtx t( )x t2022-3-23Signals & Systems26 第第 個矩形可表示為：個矩形可表示為： 這些矩形疊加起來就成為階梯形信號這些矩形疊加起來就成為階梯形信號 ， 即：即：k()()x ktk ( )xt( )()()kxtx ktk 表明：表明：任何連續(xù)時間信號任何連續(xù)時間信號 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。 ( )x t( )( ) ()x txtd 于是：于是：當(dāng)當(dāng) 時，時，0 k ()()tkt d ( )( )x tx t2022-3-23Signals

14、 & Systems272.2.2 2.2.2 連續(xù)時間連續(xù)時間LTILTI系統(tǒng)的單位沖系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及卷積積分表示激響應(yīng)及卷積積分表示卷積積分卷積積分convolution integral( )( ) ()x txtd ( )( )th t()()th t( )x t( )( ) ()( )( )y txh tdx th tUnit Impulse ResponseTime-Invariant PropertyLinear Property2022-3-23Signals & Systems280t)(t(1)0t)(thLTI系統(tǒng))(t)(th( )x t( )( )

15、( )y tx th t2022-3-23Signals & Systems29(2)(2)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應(yīng)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應(yīng)h(t)h(t)建立了響應(yīng)建立了響應(yīng)y(t)y(t)與激勵與激勵x(t)x(t)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 (3)(3)卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運用于其他學(xué)科。卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運用于其他學(xué)科。一般數(shù)學(xué)表示：一般數(shù)學(xué)表示： d)()()(21tfftg(4)(4)積分限由積分限由 存在的區(qū)間決定，即由存在的區(qū)間決定，即由 的范圍決定。的范圍決定。 )(),(21tftf0)()(21 tff(1)(1)t t ：觀察響應(yīng)

16、的時刻，是積分的參變量；：觀察響應(yīng)的時刻，是積分的參變量； : : 信號作用的時刻，積分變量信號作用的時刻，積分變量 從因果關(guān)系看，必定有從因果關(guān)系看，必定有 t y txh td對卷積積分的幾點認(rèn)識對卷積積分的幾點認(rèn)識2022-3-23Signals & Systems30卷積積分的性質(zhì)：卷積積分的性質(zhì)：2022-3-23Signals & Systems31(t t1)f (t)f (tt1)延時 t1f (t)f (tt1)u(t)f (t)y (t)f (t)y (t)( )( )( )f ttf t11( )()()f tttf ttdftutf)()()( ) ()

17、( )ftdf t ( ) ()( )fu tdfd2022-3-23Signals & Systems32求解卷積的方法：求解卷積的方法： （1 1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。 （2 2）圖解法，特別適用于求某時刻點上的卷積值。）圖解法，特別適用于求某時刻點上的卷積值。 （3 3）利用性質(zhì)）利用性質(zhì), ,比較靈活。比較靈活。( )( ) ()( )ty txh tdd ( )( ) ()txh t 圖解法思想：圖解法思想：2022-3-23Sig

18、nals & Systems33卷積積分的圖解法計算過程：卷積積分的圖解法計算過程：（1 1）以）以 作為自變量，畫出作為自變量，畫出 的信號波形。的信號波形。（2 2）從）從t t等于負(fù)無窮開始，也就是將等于負(fù)無窮開始，也就是將 向時間軸左端遠(yuǎn)處平移。向時間軸左端遠(yuǎn)處平移。（3 3）寫出中間信號）寫出中間信號 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（4 4）增加時移量）增加時移量t t，也就是將，也就是將 向右移動，直到向右移動，直到的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應(yīng)的的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應(yīng)的t t值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個新區(qū)間的開始。結(jié)束以及下一

19、個新區(qū)間的開始。（5 5）對新區(qū)間中的）對新區(qū)間中的t t，重復(fù)步驟，重復(fù)步驟3 3和和4 4，直到所有時間區(qū)間被劃分，對，直到所有時間區(qū)間被劃分，對應(yīng)的應(yīng)的 數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定。數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定。（6 6）在每個時間區(qū)間，將相應(yīng)的）在每個時間區(qū)間，將相應(yīng)的 對對t t求積分，得到該區(qū)間的求積分，得到該區(qū)間的輸出輸出 。( ), ()xh()h()h t( )y t( )t ( )t ( )t ( )t 2022-3-23Signals & Systems340( )( )( )( ) ()( ) ()atay tx th txh teuu tdedt01()u t01( )x例例2.6

20、: : ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t0:t 1( )(1) ( )aty teu ta2022-3-23Signals & Systems35例例2.7 : : 10( ) 0tTx totherwise 02( ) 0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd 當(dāng)當(dāng) 時，時，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時，時，0tT 201( )2ty tdt 當(dāng)當(dāng) 時，時，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時，時，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng)

21、時，時，3tT( )0y t 02T2T( )h()x t01tTt新新解：解：2022-3-23Signals & Systems36212T232TT3T2T0t( )y t2022-3-23Signals & Systems37例例2.8: : 2( )()tx te ut( )(3)h tu t322(3)130 y(t)=2ttte de02130 y(t)=2te d2022-3-23Signals & Systems38Tasks 2.3 2.22：a，c 學(xué)習(xí)報告學(xué)習(xí)報告(學(xué)習(xí)組為單位學(xué)習(xí)組為單位)：閱讀文：閱讀文獻、專著和網(wǎng)絡(luò)查詢，描述卷積運獻、專著和

22、網(wǎng)絡(luò)查詢，描述卷積運算的物理意義和應(yīng)用（列出引用文算的物理意義和應(yīng)用（列出引用文獻）獻）2022-3-23Signals & Systems392.3 2.3 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)（ Properties of Linear Time-Invariant SystemsProperties of Linear Time-Invariant Systems）( )( ) ()( )( )y txh tdx th t ky nx k h nkx nh n2022-3-23Signals & Systems40 kky nx nh nx k h nkx nk h

23、kh nx n1 1、交換律、交換律( )( )( )( ) ()() ( )( )( )y tx th txh tdx thdh tx t一、卷積積分與卷積和的性質(zhì)一、卷積積分與卷積和的性質(zhì)( )x t( )y t( )h t y n h n( )h t( )y t( )x t h n x n y n x n2022-3-23Signals & Systems41 x n 12h nh n y n( )x t12( )( )h th t( )y t x n 1h n 2h n y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t2 2、分配律分配律 12121212( ) (

24、)( )( )( )( )( )x nh nhnx nh nx nhnx th th tx th tx th t 兩個兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖的單位脈沖( (沖激沖激) )響應(yīng)等于響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖各子系統(tǒng)單位脈沖( (沖激沖激) )響響應(yīng)之和。應(yīng)之和。2022-3-23Signals & Systems42 1212x nxnh nx nh nxnh n1212( )( )( )( )( )( )( )x tx th tx th tx th t2022-3-23Signals & Systems433 3、結(jié)合律結(jié)合律 12121212 ( )(

25、 )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t( )y t x n 1h n 2h n y n12( )( )h th t( )x t( )x n( )y t( )y n12( )( )h nh n2022-3-23Signals & Systems44 12211221( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t x n y n 1hn 2hn( )x t( )y t1( )h t2( )h t x n y n 2hn 1h

26、n( )x t( )y t1( )h t2( )h t2022-3-23Signals & Systems45如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4 ( )y tx t若交換級聯(lián)次序，即成為：若交換級聯(lián)次序，即成為：顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：系統(tǒng)必須是系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；系統(tǒng)；所有涉及到的卷積運算必須收斂。所有涉及到的卷積運算必須收斂。練習(xí)：練習(xí)：2022-3-23Signals & Systems462 h n

27、1 h n3 h n4 h n y n x n -1 h nu n2 2 h nu nu n4 nh na u n3 2h nn1234 h nh nh nh nh n2u n u n(1) na u n2022-3-23Signals & Systems472( )h t1( )h t5( )h t3( )h t( )y t( )x t4( )h t14235( )( )( )( )( )( )h th th th th th t2022-3-23Signals & Systems48二、二、LTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)1、記憶性記憶性 ky nx k h nk則在任何時刻則在

28、任何時刻 ， 都只能和都只能和 時刻的輸入有關(guān)，時刻的輸入有關(guān)，和式中只能有和式中只能有 時的一項為非零，因此必須有：時的一項為非零，因此必須有： 根據(jù)根據(jù) ，如果系統(tǒng)是無記憶的，如果系統(tǒng)是無記憶的，n y nnkn0,h nkkn，即：，即： 0,0h nn( )0,0h tt2022-3-23Signals & Systems49所以，無記憶系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：所以，無記憶系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為： ( )( )h nknh tkt ( )( )( )( )y nx nh nkx ny tx th tkx t2022-3-23Signals & Systems502、可逆性可

29、逆性 如果如果LTI系統(tǒng)是可逆的，存在一個逆系統(tǒng)，且逆系系統(tǒng)是可逆的，存在一個逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有： ( )( )( )h tg tth ng nn2022-3-23Signals & Systems51例如：例如：延時器延時器是可逆的是可逆的LTI系統(tǒng)系統(tǒng)0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTI系統(tǒng)系統(tǒng) h nu n 1g nnn 11h ng nu

30、 nnnu nu nn2022-3-23Signals & Systems523、因果性：因果性： 由由 ，當(dāng)，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，在任何時刻時，在任何時刻 ，都只能取決于，都只能取決于 時刻及其時刻及其以前的輸入，即和式中所有以前的輸入，即和式中所有 的項都必須為零，的項都必須為零，即：即： ky nx k h nkn y nnkn0,h nkkn 0,0h nn或或: 對連續(xù)時間系統(tǒng)有對連續(xù)時間系統(tǒng)有: :這是這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。( )0,0h tt2022-3-23Signals & Systems53

31、( )( ) ()y txh td ky nx k h nk( )( ) ()ty txh td nky nx k h nk2022-3-23Signals & Systems54 ky nh k x nk若若 有界，則有界，則 若若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求 必有界必有界 x nx nkA y n kkky nh k x nkh kx nkAh k4、 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：2022-3-23Signals & Systems55對連續(xù)時間系統(tǒng)對連續(xù)時間系統(tǒng): ( )h t dt LTI系統(tǒng)穩(wěn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分定的充分必要條件必要條件 nh n 對離散時間系統(tǒng)對離散時間系統(tǒng): :

32、絕對可和絕對可和絕對可積絕對可積2022-3-23Signals & Systems56 01nnh nnn0( )()1hdtd ExampleExample：1 1、純時移：、純時移：穩(wěn)定穩(wěn)定2022-3-23Signals & Systems570( )( )hdudd 3 3、積分器：、積分器：不穩(wěn)定不穩(wěn)定h(t)=( )( )tdu t 2 2、累加器：、累加器： h nu n nnh nu n 不穩(wěn)定不穩(wěn)定2022-3-23Signals & Systems582.3.8 2.3.8 LTILTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)對單位階

33、躍響應(yīng)：系統(tǒng)對 或或 所產(chǎn)生的響應(yīng)。所產(chǎn)生的響應(yīng)。( )u t u n ( )( )( )s tu th ts nu nh n( )( )( )( )tds thdh ts tdt 1nks nh kh ns ns n)(tu0t0t1LTI系統(tǒng))(tu)(tg)(tg2022-3-23Signals & Systems592.4 2.4 微分和差分方程描述的因果微分和差分方程描述的因果LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程Causal LTI System

34、s Described by Differential and Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations Difference Equations 對給定的具體系統(tǒng)物理模型，按照元件的約束特對給定的具體系統(tǒng)物理模型，按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性建立對應(yīng)的方程。性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性建立對應(yīng)的方程。（1）電路聯(lián)接方式的約束）電路聯(lián)接方式的約束: KCL、KVL（2）元器件伏安關(guān)系的約束）元器件伏安關(guān)系的約束: R L C2022-3-23Signals & Systems60 也也

35、稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)，對應(yīng)于齊次解。形式無關(guān)，對應(yīng)于齊次解。 形式取決于外加激勵，對應(yīng)于特解。形式取決于外加激勵，對應(yīng)于特解。(1)(1)自由響應(yīng)：自由響應(yīng)：強迫響應(yīng)：強迫響應(yīng)：各種系統(tǒng)響應(yīng)定義各種系統(tǒng)響應(yīng)定義自然響應(yīng)強迫響應(yīng)完全響應(yīng)2022-3-23Signals & Systems61 沒有沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。 不不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零

36、），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)，卷積形式。響應(yīng)，卷積形式。 (2)(2)零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)2022-3-23Signals & Systems622022-3-23Signals & Systems63( )x t( )y tRLC( )1( )( )( )tdy tRy tLydx tdtC221( )( )( )( )dddy tRy tLy tx tCdtdtdt2.4.1 2.4.1 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程（Linear Constant-Coefficient

37、Differential Equation Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）2022-3-23Signals & Systems64( )11( )( )ccsdv tv tv tdtRCRC( )1( )( )cdv tv tf tdtmm( )2 ( )( )dy ty tx tdt00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均為常數(shù)均為常數(shù)2022-3-23Signals & Systems65求解方法：求解方法：齊次解齊次解 + + 特解特解變換域法變換域法利用卷積

38、積分法求解利用卷積積分法求解零狀態(tài)零狀態(tài)利用經(jīng)典法求解利用經(jīng)典法求解零輸入零輸入零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)經(jīng)典法：經(jīng)典法：解方程解方程列寫方程列寫方程: : : 2022-3-23Signals & Systems66( )( )( )phy tyty t齊次解齊次解特解特解因果因果LTI系統(tǒng)的初始條件：初始松弛系統(tǒng)的初始條件：初始松弛(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L0000, ( ), ( )tx tty t 用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在初始狀態(tài)為用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在初始狀態(tài)為0 0的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，而且是因果的。的

39、條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，而且是因果的。初始狀態(tài)不為初始狀態(tài)不為0 0，則是非線性時變系統(tǒng)，非因果。，則是非線性時變系統(tǒng)，非因果。經(jīng)典解法：經(jīng)典解法：2022-3-23Signals & Systems672.4.2 2.4.2 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)(Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 1y nx nx n1 yn=( 12)3x nx nx n1 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 1、由實

40、際問題直接得到差分方程、由實際問題直接得到差分方程2 2、由微分方程導(dǎo)出差分方程、由微分方程導(dǎo)出差分方程差分方程來源：差分方程來源：2022-3-23Signals & Systems681 1、由實際問題直接得到差分方程、由實際問題直接得到差分方程例如：例如：y y( (n n) )表示一個國家在第表示一個國家在第n n年的人口數(shù)年的人口數(shù)a a( (常數(shù)常數(shù)) )：出生率：出生率b b( (常數(shù)常數(shù)): ): 死亡率死亡率x x( (n n) )是國外移民的凈增數(shù)是國外移民的凈增數(shù)則該國在第則該國在第n n+1+1年的人口總數(shù)為：年的人口總數(shù)為：y(n+1)=y(n)+ay(n)-

41、by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)2022-3-23Signals & Systems692 2、由微分方程導(dǎo)出差分方程、由微分方程導(dǎo)出差分方程 TTtytytty dd tftaytty dd nynTyty nfnTftf nfnayTnyny 1 nfaTTnyaTny 1111 tftayTTtyty 2022-3-23Signals & Systems7001( )( )( )( )tpDIde tu tKe te t dtTTdt01()(1) ()()()kPDjIe kTe kTu kTKe kTe jTTTT01( )(1)( )( )(

42、)kPDjIe ke ku kKe ke jTTTPIDPID控制規(guī)律的數(shù)字化實現(xiàn)控制規(guī)律的數(shù)字化實現(xiàn)2022-3-23Signals & Systems71 一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：00()()NMkkkka y nkb x nk求解方法：求解方法： （1 1）迭代法：）迭代法：包括手算逐次代入求解或利用計算包括手算逐次代入求解或利用計算機求解，比較簡單，但只能得到其數(shù)值解，不能直機求解，比較簡單，但只能得到其數(shù)值解，不能直接給出一個完整的解析式作為解答，適應(yīng)差分方程接給出一個完整的解析式作為解答，適應(yīng)差分方程階次較低時。階次較低時。 （2

43、 2）時域經(jīng)典法：）時域經(jīng)典法：齊次解特解齊次解特解 （3 3）零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)）零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，利用卷積求系統(tǒng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng) （4 4）變換域方法：）變換域方法：Z Z變換變換反變換反變換2022-3-23Signals & Systems72對于差分方程，還可以將其改寫為：對于差分方程，還可以將其改寫為：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka( 1), ( 2), ()yyyNL L(0),y( 1), ( 2), (1)yyyNL L遞歸方程遞歸方程recursive equation(1)y(0)y2022-3-23

44、Signals & Systems731 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 yn= 2 1124x nx ny ny n1 y0= 02 1 1 24xxyy1 y1= 12 00 14xxyy1 y2= 22 1104 xxyyExample：2022-3-23Signals & Systems74當(dāng)當(dāng) 時，差分方程變?yōu)椋簳r，差分方程變?yōu)椋?,0kak00( )()Mkkby nx nka非遞歸方程非遞歸方程 方程是一個卷積和的形式，方程是一個卷積和的形式， 是有限長的是有限長的, ,因而把這種方程描述的因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為FIR（Fi

45、nite Impulse Response）系統(tǒng)。系統(tǒng)。 將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（Infinite Impulse Response）系統(tǒng)系統(tǒng), , 是一個無限長的序列。是一個無限長的序列。0( ),0nbh nnMa( )h n( )h n FIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類很系統(tǒng)中兩類很重要的重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。75例例1求脈沖響應(yīng)求脈沖響應(yīng)hn,指出該系統(tǒng)是指出該系統(tǒng)是IIR,還是還是FIR?yn=xn-2xn-2+xn-3 3 22

46、nnnnhh0=1, h1=0, h2=-2, h3=1其余其余hn均為零均為零FIR76例例2 求脈沖響應(yīng)求脈沖響應(yīng)hn,指出該系統(tǒng)是指出該系統(tǒng)是IIR,還是還是FIR?yn+2yn-1=xn +xn-1yn=xn +xn-1- 2yn-1121nhnnnhn0, hn=0,h0=1,h1=-1n 2, hn=-2hn-1IIR2022-3-23Signals & Systems772.4.3 2.4.3 由差分和微分方程描述的一階由差分和微分方程描述的一階LTILTI系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示 由微分或差分方程描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些由微分或差分方程描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運算來實現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運基本運算來實現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運算關(guān)系，就會更加形象直觀算關(guān)系，就會更加形象直觀 分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng)分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng), 用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 將對系統(tǒng)的特性仿真、將對系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實現(xiàn)具有重要意義硬件或軟件實現(xiàn)具有重要意義 不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不同不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等的影響：如