混沌理論及應(yīng)用（課堂PPT）

1、1混沌理論及應(yīng)用混沌理論及應(yīng)用龍敏龍敏Email:Tel2混沌的概念：混沌的概念：混沌（混沌（chaos）又稱渾沌，人們通常又稱渾沌，人們通常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)，用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)，在這個(gè)意義上它與無序的概念是相同的。在這個(gè)意義上它與無序的概念是相同的。 一、混沌的基本概念及特征一、混沌的基本概念及特征31確定性確定性 在混沌系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程的確定性，在混沌系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程的確定性，是指方程是指方程(常微分方程、差分方程、時(shí)滯微分方程常微分方程、差分方程、時(shí)滯微分方程)是非隨是非隨機(jī)的，不含任

2、何隨機(jī)項(xiàng)。系統(tǒng)的未來機(jī)的，不含任何隨機(jī)項(xiàng)。系統(tǒng)的未來(或過去或過去)狀態(tài)只與初狀態(tài)只與初始條件及確定的演化規(guī)則有關(guān)，即系統(tǒng)的演化完全是由內(nèi)始條件及確定的演化規(guī)則有關(guān)，即系統(tǒng)的演化完全是由內(nèi)因決定的，與外在因素?zé)o關(guān)。這是至關(guān)重要的一條限制，因決定的，與外在因素?zé)o關(guān)。這是至關(guān)重要的一條限制，所以我們現(xiàn)在講的混沌也叫所以我們現(xiàn)在講的混沌也叫“確定性混沌確定性混沌”。正因?yàn)榇_定。正因?yàn)榇_定性的系統(tǒng)出現(xiàn)了復(fù)雜行為，也叫內(nèi)隨機(jī)性，人們才興奮起性的系統(tǒng)出現(xiàn)了復(fù)雜行為，也叫內(nèi)隨機(jī)性，人們才興奮起來，才一往傾心地鉆研混沌。當(dāng)然，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀點(diǎn)來看，來，才一往傾心地鉆研混沌。當(dāng)然，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀點(diǎn)來看，人們肯定會(huì)研究帶

3、有隨機(jī)項(xiàng)的更復(fù)雜系統(tǒng)的非周期運(yùn)動(dòng)。人們肯定會(huì)研究帶有隨機(jī)項(xiàng)的更復(fù)雜系統(tǒng)的非周期運(yùn)動(dòng)。然而，目前由于公眾對(duì)混沌還有相當(dāng)?shù)恼`解，所以我們嚴(yán)然而，目前由于公眾對(duì)混沌還有相當(dāng)?shù)恼`解，所以我們嚴(yán)格區(qū)分是否為確定性至關(guān)重要，還不能籠統(tǒng)地從現(xiàn)象的層格區(qū)分是否為確定性至關(guān)重要，還不能籠統(tǒng)地從現(xiàn)象的層次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌?？傊?，混沌概念次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌?？傊?，混沌概念的狹義化總比泛化好些?，F(xiàn)在我們考慮的混沌主要是一種的狹義化總比泛化好些?，F(xiàn)在我們考慮的混沌主要是一種時(shí)間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮時(shí)間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮偏微分方程。偏微

4、分方程。4例：例：Lorenz系統(tǒng)系統(tǒng)1(1)nnnxaxxLogistic 映射映射52非線性非線性 產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)一定含有非線性因素，有了非線性未必產(chǎn)產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)一定含有非線性因素，有了非線性未必產(chǎn)生混沌，但沒有非線性是肯定產(chǎn)生不了混沌的。也就是說，非生混沌，但沒有非線性是肯定產(chǎn)生不了混沌的。也就是說，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性來定義的，設(shè)來定義的，設(shè)G1和和G2是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)(向量向量)函數(shù)，函數(shù)，a和和b是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)常數(shù)，若算子乙滿足如下疊加原理常數(shù)，若算子乙滿足如下疊加原理: L(aG

5、l+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)，則稱則稱L是線性算子，否則是線性算子，否則L是非線性算子。包含非線性算子的系是非線性算子。包含非線性算子的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。應(yīng)當(dāng)注意的是線性與非線性也不是絕對(duì)分統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。應(yīng)當(dāng)注意的是線性與非線性也不是絕對(duì)分明的。對(duì)于某些復(fù)雜現(xiàn)象，在一定條件下，既可以把它視為非明的。對(duì)于某些復(fù)雜現(xiàn)象，在一定條件下，既可以把它視為非線性現(xiàn)象也可以把它視為線性現(xiàn)象，這與人們看問題的角度和線性現(xiàn)象也可以把它視為線性現(xiàn)象，這與人們看問題的角度和所關(guān)心的變量的時(shí)空尺度不同有關(guān)。現(xiàn)在看來，非線性是普遍所關(guān)心的變量的時(shí)空尺度不同有關(guān)。現(xiàn)在看來，非線性是普遍存在的，多數(shù)問

6、題不能通過線性的辦法或線性化的辦法來解決，存在的，多數(shù)問題不能通過線性的辦法或線性化的辦法來解決，因而直接面對(duì)非線性是不可避免的。因而直接面對(duì)非線性是不可避免的。63對(duì)初始條件的敏感依賴性對(duì)初始條件的敏感依賴性 1963年，洛倫茲發(fā)表了關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究，年，洛倫茲發(fā)表了關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究，并提出了形象的并提出了形象的“蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)”。被冷落了。被冷落了12年之后，年之后，1975年數(shù)學(xué)家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發(fā)生機(jī)制，認(rèn)為年數(shù)學(xué)家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發(fā)生機(jī)制，認(rèn)為向湍流的轉(zhuǎn)變是由少數(shù)自由度決定的，經(jīng)過兩三次突變，向湍流的轉(zhuǎn)變是由少數(shù)自由度決定的，經(jīng)過兩三次突變，

7、運(yùn)動(dòng)就到了維數(shù)不高的運(yùn)動(dòng)就到了維數(shù)不高的“奇怪吸引子奇怪吸引子”上。這里所謂上。這里所謂“吸吸引子引子”是指運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間之后所采取的終極形態(tài)：是指運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間之后所采取的終極形態(tài)：它可能是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，或周期性的軌道；但也可能是繼它可能是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，或周期性的軌道；但也可能是繼續(xù)不斷變化、沒有明顯規(guī)則或次序的許多回轉(zhuǎn)曲線，這時(shí)續(xù)不斷變化、沒有明顯規(guī)則或次序的許多回轉(zhuǎn)曲線，這時(shí)它就稱為它就稱為“奇怪吸引子奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的運(yùn)動(dòng)軌道，對(duì)。奇怪吸引子上的運(yùn)動(dòng)軌道，對(duì)軌道初始位置的細(xì)小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻軌道初始位置的細(xì)小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻是相當(dāng)穩(wěn)定的

8、。是相當(dāng)穩(wěn)定的。 7真實(shí)球虛擬球8今天，“蝴蝶效應(yīng)”幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞。1961年美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！9后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來的0.5

9、06127省略為0.506。洛倫茲意識(shí)到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感，而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。10 邏輯斯蒂映射的形式為1(1)nnnxaxx11Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x0=0.6 green: x0=0.600112Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x

10、0=0.37 green: x0=0.370113Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)i)i) 系統(tǒng)的變化看似毫無規(guī)則，但實(shí)際上是有跡可尋的。系統(tǒng)的變化看似毫無規(guī)則，但實(shí)際上是有跡可尋的。ii)ii)系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別（就例如分別（就例如0.60.6和和0.60010.6001僅僅相差六千分之一），僅僅相差六千分之一）， 在一段時(shí)在一段時(shí)間的演化后可帶來南轅北轍的結(jié)果。間的演化后可帶來南轅北轍的結(jié)果。14典型連續(xù)混沌系統(tǒng)典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Chen系統(tǒng)系統(tǒng)15典型連續(xù)混沌系統(tǒng)典型連續(xù)混沌系統(tǒng)

11、Lorenz系統(tǒng)系統(tǒng)16典型連續(xù)混沌系統(tǒng)典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Rssler系統(tǒng)系統(tǒng)17典型連續(xù)混沌系統(tǒng)典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Chua系統(tǒng)系統(tǒng)18典型離散混沌映射典型離散混沌映射19典型離散混沌映射典型離散混沌映射204非周期性非周期性 在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，周期性的定義是很明確的。對(duì)于函在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，周期性的定義是很明確的。對(duì)于函數(shù)數(shù)f(x)，若能找到一個(gè)最小正數(shù)，若能找到一個(gè)最小正數(shù)t滿足關(guān)系滿足關(guān)系f(x+t)=f(x)，則稱，則稱f(x)是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，t為其周期；否則為其周期；否則f(x)就是非周期的就是非周期的, 非周期性意非周期性意味著構(gòu)成奇怪吸引子的積分曲線從不重復(fù)原曲線而封閉。這味

12、著構(gòu)成奇怪吸引子的積分曲線從不重復(fù)原曲線而封閉。這樣，向著奇怪吸引子演化的系統(tǒng)，從來不以同樣的狀態(tài)重新樣，向著奇怪吸引子演化的系統(tǒng)，從來不以同樣的狀態(tài)重新經(jīng)過。非周期性說明，混沌運(yùn)動(dòng)的每一瞬間都是經(jīng)過。非周期性說明，混沌運(yùn)動(dòng)的每一瞬間都是“不可預(yù)見不可預(yù)見的創(chuàng)新的創(chuàng)新”的發(fā)生器。應(yīng)當(dāng)注意的是的發(fā)生器。應(yīng)當(dāng)注意的是“非周期性非周期性”這個(gè)概念比這個(gè)概念比“混沌混沌要廣、要大的多。比如，準(zhǔn)周期是非周期的，但要廣、要大的多。比如，準(zhǔn)周期是非周期的，但不是混沌；遍歷運(yùn)動(dòng)是非周期的，但單純遍歷還不是混沌。不是混沌；遍歷運(yùn)動(dòng)是非周期的，但單純遍歷還不是混沌?；煦邕\(yùn)動(dòng)要求有混沌運(yùn)動(dòng)要求有“混合混合”的性質(zhì)，

13、即的性質(zhì)，即“對(duì)初始條件的敏感依對(duì)初始條件的敏感依賴性賴性”。但這并不能因此說混沌運(yùn)動(dòng)就是雜亂而無用的，相。但這并不能因此說混沌運(yùn)動(dòng)就是雜亂而無用的，相反，混沌不是無序和紊亂。一提到有序，人們往往會(huì)想到周反，混沌不是無序和紊亂。一提到有序，人們往往會(huì)想到周期排列或?qū)ΨQ形狀。期排列或?qū)ΨQ形狀。21但是，混沌更像是沒有周期性的次序。在理想模型但是，混沌更像是沒有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含著無窮的內(nèi)在層次，層次之間存在中，它可能包含著無窮的內(nèi)在層次，層次之間存在著著“自相似性自相似性”或或“不盡相似不盡相似”。在觀察手段的分。在觀察手段的分辨率不高時(shí)，只能看到某一個(gè)層次的結(jié)構(gòu)；提高分辨率

14、不高時(shí)，只能看到某一個(gè)層次的結(jié)構(gòu)；提高分辨率之后，在原來不能識(shí)別之處又會(huì)出現(xiàn)更小尺度辨率之后，在原來不能識(shí)別之處又會(huì)出現(xiàn)更小尺度上的結(jié)構(gòu)。上的結(jié)構(gòu)。22 分叉分叉(bifurcation)是有序演化理論的基本概念，這是混沌是有序演化理論的基本概念，這是混沌出現(xiàn)的先兆。在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化過程中的某些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，系統(tǒng)的出現(xiàn)的先兆。在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化過程中的某些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，系統(tǒng)的定態(tài)行為定態(tài)行為(穩(wěn)定行為穩(wěn)定行為)可能發(fā)生定性的突然改變，即原來的穩(wěn)定可能發(fā)生定性的突然改變，即原來的穩(wěn)定定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時(shí)出現(xiàn)新的定態(tài)，這種現(xiàn)象就是分叉。定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時(shí)出現(xiàn)新的定態(tài)，這種現(xiàn)象就是分叉。發(fā)生分叉現(xiàn)象的關(guān)

15、節(jié)點(diǎn)叫做分叉點(diǎn)，在分叉點(diǎn)系統(tǒng)演化發(fā)生質(zhì)發(fā)生分叉現(xiàn)象的關(guān)節(jié)點(diǎn)叫做分叉點(diǎn)，在分叉點(diǎn)系統(tǒng)演化發(fā)生質(zhì)的變化。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化中的分叉現(xiàn)象充分說明了量變引起質(zhì)變的變化。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化中的分叉現(xiàn)象充分說明了量變引起質(zhì)變的規(guī)律。分叉又是一種閾值行為，只要系統(tǒng)的非線性作用強(qiáng)到的規(guī)律。分叉又是一種閾值行為，只要系統(tǒng)的非線性作用強(qiáng)到一定程度，就可能出現(xiàn)分叉。所以，凡是產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)，總一定程度，就可能出現(xiàn)分叉。所以，凡是產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)，總可以觀察到分叉序列?？梢杂^察到分叉序列。5分叉分叉231(1)nnnxaxx2425 以參數(shù)a為橫坐標(biāo)、以x的穩(wěn)定定態(tài)(stable steady states)為縱坐標(biāo)作圖， 得到1

16、、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區(qū)中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結(jié)構(gòu)的一套東西。此 所謂無窮自相似結(jié)構(gòu)。26分形性是指奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)具有自相似性和不可微性。它不是分形性是指奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)具有自相似性和不可微性。它不是傳統(tǒng)歐幾里得幾何中描述的直線、平面等整形幾何形狀所具有的傳統(tǒng)歐幾里得幾何中描述的直線、平面等整形幾何形狀所具有的可微性，而是分維的可微性，而是分維的“分形分形”物，具有結(jié)構(gòu)自相似性和不可微性物，具有結(jié)構(gòu)自相似性和不可微性(不連續(xù)性不連續(xù)性)。目前所發(fā)現(xiàn)的奇怪吸引子，如馬蹄鐵吸引子、洛倫。目前所發(fā)現(xiàn)的奇怪吸引子，

17、如馬蹄鐵吸引子、洛倫茲吸引子、埃農(nóng)茲吸引子、埃農(nóng)(Michel Henon)吸引子、若斯勒吸引子、若斯勒(Otto ROssler)吸吸引子等都具有分形性。所以分形并非純數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，而是對(duì)引子等都具有分形性。所以分形并非純數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，而是對(duì)普遍存在的復(fù)雜幾何形態(tài)的科學(xué)概括。自然界中分形體無處不在，普遍存在的復(fù)雜幾何形態(tài)的科學(xué)概括。自然界中分形體無處不在，如起伏蜿蜒的山脈、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸線等等。如起伏蜿蜒的山脈、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸線等等。它與混沌的內(nèi)隨機(jī)性、對(duì)初始條件的敏感依賴性有本質(zhì)聯(lián)系。所它與混沌的內(nèi)隨機(jī)性、對(duì)初始條件的敏感依賴性有本質(zhì)聯(lián)系。所以我們說：以

18、我們說： “混沌本質(zhì)上是非線性動(dòng)力系統(tǒng)在一定控制參數(shù)范混沌本質(zhì)上是非線性動(dòng)力系統(tǒng)在一定控制參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的對(duì)初始條件具有極度敏感依賴性的回復(fù)性的非周期性圍內(nèi)產(chǎn)生的對(duì)初始條件具有極度敏感依賴性的回復(fù)性的非周期性行為狀態(tài)行為狀態(tài)”。6.分形分形27分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)：由不由不斷斷的的圖圖形形迭代迭代而而成成利利用用簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的規(guī)則規(guī)則讓讓系系統(tǒng)統(tǒng)復(fù)復(fù)雜雜；從復(fù)雜不可解的系統(tǒng)中找到簡(jiǎn)單美妙的秩序。從復(fù)雜不可解的系統(tǒng)中找到簡(jiǎn)單美妙的秩序。28分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩混沌世界的秩序序古典歐式幾何：重視實(shí)際可測(cè)的

19、量值 例如：長(zhǎng)度、深度、厚度深度、厚度 分形：無法單純用整數(shù)維度來描述29分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序七七十十年代的年代的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家畢諾特家畢諾特 曼曼德布洛特德布洛特(Benoit Mandelbrot)(Benoit Mandelbrot)提出提出一一個(gè)個(gè)問問題：題：毛毛線線團(tuán)的團(tuán)的維維度是多少？度是多少？AnswerAnswer：看你的：看你的觀點(diǎn)觀點(diǎn)而而異異 30分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序遠(yuǎn)距離來看，線團(tuán)凝聚成點(diǎn)，維度為零；再近一點(diǎn)，看出來毛線團(tuán)點(diǎn)據(jù)球形的空間，維度擴(kuò)展成三；再走近一些，看出毛線團(tuán)

20、是由一根根毛線所構(gòu)成，他的維度為一，And then ?數(shù)據(jù)結(jié)果視觀測(cè)者與其對(duì)象而改變。這種概念也正是這個(gè)世紀(jì)物理學(xué)的中心思想。毛毛線線的的維維度度? ?31分形幾何的基本思想32 歐幾里得幾何學(xué)的研究對(duì)象是具有特征長(zhǎng)度的幾何物體： 一維空間：線段，有長(zhǎng)度，沒有寬度； 二維空間：平行四邊形，有周長(zhǎng)、面積； 三維空間：球，表面積、體積； 自然界中很多的物體具有特征長(zhǎng)度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。33 有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個(gè)問題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？34英國(guó)的海岸線地圖35 當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺(沒有刻度)來測(cè)量時(shí)，對(duì)海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線

21、，只能用直線來近似。因此，測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的。 如果你用更小的尺子來刻畫這些細(xì)小之處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測(cè)得的曲線長(zhǎng)度也就越大。 如果尺子小到無限，測(cè)得的長(zhǎng)度也是無限。 36 得到的結(jié)論是：海岸線的長(zhǎng)度是多少：決定與尺子的長(zhǎng)短。 海岸線的長(zhǎng)度是無限的！ 而顯然海岸線的面積為零； 而我們確實(shí)看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。 海岸線什么有界？（長(zhǎng)度、面積、體積顯然無界）。37Koch 曲線38天空中的云朵植物的葉子39自然界中的分形山星 云40星 云41二、混沌在通信中的應(yīng)用二、混沌在通信中的應(yīng)用4

22、2混沌同步混沌同步混沌系統(tǒng)的同步是指一個(gè)系統(tǒng)的混沌軌道收斂于另一個(gè)混沌系統(tǒng)的軌道，它們之間步調(diào)一致。434445464748495051ShannonShannon“好的混合變換通常是兩個(gè)簡(jiǎn)單的非可交換運(yùn)好的混合變換通常是兩個(gè)簡(jiǎn)單的非可交換運(yùn)算的乘積。比如算的乘積。比如HopfHopf已經(jīng)證明，如做餡皮的生已經(jīng)證明，如做餡皮的生面團(tuán)可以通過下面的一系列操作進(jìn)行混合：面面團(tuán)可以通過下面的一系列操作進(jìn)行混合：面團(tuán)首先被揉搓成一個(gè)扁面皮，然后將它折疊，團(tuán)首先被揉搓成一個(gè)扁面皮，然后將它折疊，再搓揉，再折疊，如此往復(fù)。一個(gè)混合變換中再搓揉，再折疊，如此往復(fù)。一個(gè)混合變換中的函數(shù)應(yīng)該是復(fù)雜的，它的所有變

23、量都應(yīng)敏感，的函數(shù)應(yīng)該是復(fù)雜的，它的所有變量都應(yīng)敏感，對(duì)任何一個(gè)變量來說，一個(gè)很小的變化都應(yīng)引對(duì)任何一個(gè)變量來說，一個(gè)很小的變化都應(yīng)引起輸出的顯著不同。起輸出的顯著不同。”52混沌與密碼學(xué)的關(guān)系混沌與密碼學(xué)的關(guān)系隨機(jī)隨機(jī)密鑰流密鑰流產(chǎn)生器產(chǎn)生器混沌與流密碼學(xué)混沌與流密碼學(xué)流密碼的核心流密碼的核心產(chǎn)生產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)不可預(yù)測(cè)的混沌序列的混沌序列 混沌混沌53混沌與密碼學(xué)的關(guān)系混沌與密碼學(xué)的關(guān)系混沌與分組密碼學(xué)混沌與分組密碼學(xué)混淆和擴(kuò)散混淆和擴(kuò)散 分組密碼分組密碼 混沌混沌對(duì)密鑰敏感對(duì)密鑰敏感 對(duì)明文敏感對(duì)明文敏感增加信源的熵增加信源的熵反復(fù)壓縮和拉伸的混沌變換反復(fù)壓縮和拉伸的混沌變換混沌對(duì)初始條件和

24、參數(shù)的敏感混沌對(duì)初始條件和參數(shù)的敏感 混沌具有遍歷性的性質(zhì)混沌具有遍歷性的性質(zhì) 混沌具有拓?fù)鋫鬟f性混沌具有拓?fù)鋫鬟f性 54混沌與密碼學(xué)的關(guān)系混沌與密碼學(xué)的關(guān)系單向函數(shù)單向函數(shù)混沌與公鑰密碼學(xué)混沌與公鑰密碼學(xué) 公鑰密碼公鑰密碼已知部分結(jié)構(gòu)重構(gòu)出已知部分結(jié)構(gòu)重構(gòu)出全部高維混沌系統(tǒng)；全部高維混沌系統(tǒng)；未知部分參數(shù)同步兩未知部分參數(shù)同步兩個(gè)超混沌系統(tǒng)或時(shí)空個(gè)超混沌系統(tǒng)或時(shí)空混沌系統(tǒng)；混沌系統(tǒng)； 混沌混沌553.3.混沌掩蓋混沌掩蓋56混沌掩蓋574.4.混沌開關(guān)混沌開關(guān)58混沌開關(guān)595.5.混沌調(diào)制混沌調(diào)制60混沌調(diào)制61混沌在圖像加密中的應(yīng)用原圖像加密后圖像62混沌在圖像加密中的應(yīng)用正確解密圖像錯(cuò)

25、誤解密圖像63信息偽裝：信息偽裝：64作業(yè)作業(yè)65一、函數(shù)迭代 給定一函數(shù) 以及初始點(diǎn) ，定義數(shù)列 稱為函數(shù) 的迭代序列。 滿足 的點(diǎn) 稱為 的不動(dòng)不動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)，記之為 。如果所有附近的點(diǎn)在迭代過程中都趨向于某一不動(dòng)點(diǎn)，則該不動(dòng)點(diǎn)稱為吸引點(diǎn)吸引點(diǎn)。如果所有附近的)(xf0 x,.1 , 0),(1kxfxkkkx)(xfuuf)(ufuu66點(diǎn)都遠(yuǎn)離它，則它是排斥點(diǎn)排斥點(diǎn)。例如，0 與 1 是 的不動(dòng)點(diǎn)。0 是吸引點(diǎn)，1是排斥點(diǎn)。如果則點(diǎn)集 形成一個(gè) k k 循環(huán)循環(huán)。 稱為 k 周期點(diǎn)周期點(diǎn)。k稱為周期周期。2)(xxf13221)(.,)(,)(uufuufuufkkuuu,.,211u67類

26、似地，周期點(diǎn)也可以分吸引點(diǎn)與排斥點(diǎn)。如果點(diǎn) 最終歸宿于某個(gè)循環(huán)中，則稱它為預(yù)周期點(diǎn)預(yù)周期點(diǎn)。如 1 是 的預(yù)周期點(diǎn)。迭代序列 的收斂與發(fā)散性質(zhì)不僅與函數(shù) 有關(guān)， 而且與初值的選擇有關(guān)。 例如，對(duì)于迭代12xukx)(xf121kkxx68 當(dāng)初值 時(shí)， 迭代序列收斂，否則發(fā)散。10 x69二、二次函數(shù)的迭代 對(duì)二次函數(shù)對(duì)二次函數(shù) 做迭代做迭代: 迭代的幾何直觀圖迭代的幾何直觀圖, 1 , 0),1 (1kxxaxkkk40 a0 x)(0 xf)(1xfxy)1 ()(xxaxf70練習(xí)練習(xí) 1 1 對(duì)幾組不同的參數(shù)值 （如 )以及不同的初值 ，觀察迭代是否收斂。練習(xí)練習(xí) 2 2 取參數(shù) ，用

27、不同的初值做迭代。你能找到一個(gè)吸引的不動(dòng)點(diǎn)嗎？一個(gè)排斥的不動(dòng)點(diǎn)嗎？哪些初值收斂到吸引的不動(dòng)點(diǎn)？哪些初值使序列發(fā)散？取不動(dòng)的參數(shù) 回答同樣的問題。a, 5 . 0a0 x8 . 0a5 . 2, 2, 6 . 1, 1a71練習(xí)練習(xí) 3 3 找出一個(gè)參數(shù) 使它對(duì)應(yīng)的迭代具有2周期點(diǎn)。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？練習(xí)練習(xí) 4 4 對(duì)任意的整數(shù) ，你能找到一個(gè) 值使得它對(duì)應(yīng)的迭代具有 周期點(diǎn)嗎？對(duì)哪些 值能給出 周期點(diǎn)？在每種情況下，結(jié)果是否依賴于初值？（對(duì) 和 的值進(jìn)行驗(yàn)證）akkakk6 . 34 . 3a46 . 3 a72練習(xí)練習(xí) 5 5 如果某個(gè)值能給出周期點(diǎn)，它是否一定是吸引的周期點(diǎn)？你能否找

28、到排斥的周期點(diǎn)？練習(xí)練習(xí) 6 6 根據(jù)前面的練習(xí)，試著從理論上分析：如何求不動(dòng)點(diǎn)？對(duì)哪些值對(duì)應(yīng)吸引的不動(dòng)點(diǎn)？哪些值對(duì)應(yīng)排斥的不動(dòng)點(diǎn)？初值對(duì)結(jié)果有什么影響？對(duì)周期點(diǎn)做類似的分析。73 不動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算 從 得到 及)1 (xxax0 xaax/ ) 1( 74 吸引的不動(dòng)點(diǎn)與排斥的不動(dòng)點(diǎn)吸引的不動(dòng)點(diǎn)與排斥的不動(dòng)點(diǎn) 定理定理設(shè) 是 的不動(dòng)點(diǎn)，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動(dòng)點(diǎn)；否則， 是 的排斥的不動(dòng)點(diǎn)。由于 故當(dāng) 0a1時(shí)，為吸引點(diǎn)，(a-1)/a為排斥點(diǎn)。當(dāng)1a3, 為排斥點(diǎn)，(a-1)/ a為吸引點(diǎn)。x)(xfx1| )( |xfx)(xfx)(xfaaafaf2)/ ) 1(,)0( 75 2 2 周期點(diǎn)周期點(diǎn) 得)1 (1)(1 ()(2xaxxxaxffx,/ ) 1(, 021aaxx3,2/ )321 (24, 3aaaaax76三、Feigenbaum圖 將區(qū)間（0, 4 以某個(gè)步長(zhǎng) （如 ）離散化。對(duì)每個(gè)離散的 值做迭代。忽略前50個(gè)迭代值，而把點(diǎn) 顯示在坐標(biāo)平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。a04. 0a),( ,),(),(1005251x