不定積分概念與性質(zhì)PPT精選文檔

1、 第五章第五章 不定積分不定積分 本章的教學(xué)基本要求是：本章的教學(xué)基本要求是：1、理解原函數(shù)和不定積分的定義，掌握、理解原函數(shù)和不定積分的定義，掌握原函數(shù)和不定積分的性質(zhì)；原函數(shù)和不定積分的性質(zhì)；2、熟練掌握不定積分的基本公式及湊微、熟練掌握不定積分的基本公式及湊微分法；分法；3、熟練掌握不定積分的換元積分法和分、熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。部積分法。 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念四、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)三、基本積分表三、基本積分表五、小結(jié)五、小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意

2、義例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0( 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù). 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念( primitive function )定義定義原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 簡言

3、之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理定理關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)的原函數(shù),)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )

4、()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C .的全部原函數(shù)的全部原函數(shù)是是說明說明xfcxF 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分不定積分(indefinite integral)的定義：的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的原原函函數(shù)數(shù)稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .定義定義原函數(shù)原函數(shù) :( )( )( )( )( )(

5、 )( )( )( )( )df x dxf xdxdf x dxf x dxFx dxF xcdF xF xcf x dxF xc不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系或例例1 1 求求.5dxx 解解:,656xx .665Cxdxx 解解:例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 某商品的邊際成本為某商品的邊際成本為 , , 求求總成總成 解解:cxx2100dxxxC)2100()(其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù)cx2100 本函數(shù)本函數(shù) . . )(xC二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義 顯然，求不定積分得到一顯然，求不定積分得到

6、一積分曲線族積分曲線族,在同一橫在同一橫坐標(biāo)坐標(biāo) 處處,任一曲線的切線有任一曲線的切線有相同的斜率相同的斜率.0 xx0 xy0 x實(shí)例實(shí)例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 三、三、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kCkxkdx() 1 (是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)

7、(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 基本積分表基本積分表 導(dǎo)數(shù)基本公式導(dǎo)數(shù)基本公式 0dx=c C =0 （C為常數(shù)）為常數(shù)） xndx = xn+1 /(n+1)+c (xn)= n xn-1 1

8、/xdx= ln|x|+ c (lnx) =1/x axdx= ax/lna + c (ax)= axlna exdx= ex + c (ex) = ex cosxdx=sinx + c (sinx) =cosx sinxdx=-cosx + c (cosx) =-sinxsec2xdx= tanx+c (tanx) =sec2x csc2xdx= -cotx+c (cotx) =-csc2xsecx. tanxdx= secx+c ( secx ) =secx. tanx cscx. cotxdx= -cscx+c (cscx) =- cscx. cotx1/(1-x2)1/2dx= arc

9、sinx+c (arcsinx) =1/(1-x2)1/21/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) =1/(1+x2) 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx Cxdxx 1)2(1 根根據(jù)據(jù)積積分分公公式式 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證：證： dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）四、四、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)(

10、dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解：解：.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 求不定積分的方法求不定積分的方法 (1) 直接積分法直接積分法 (2) 第一類換元法第一類換元法 (3) 第二類換元法第二類換元法 (4) 分部積分法分部積分法 直接積分法直接積分法 根據(jù)不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，根據(jù)不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)的不定積分可以直對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)的不定積分可以直接求出結(jié)果，或者只需經(jīng)過簡單的恒等變換，接求出結(jié)果，或者只需經(jīng)過簡單的恒等變換，

11、再輔以積分的法則，就可按基本公式求出結(jié)再輔以積分的法則，就可按基本公式求出結(jié)果，這樣的積分方法，叫做直接積分法。果，這樣的積分方法，叫做直接積分法。 該方法主要把該方法主要把被積函數(shù)變換成基本積分公式被積函數(shù)變換成基本積分公式中的被積函數(shù)的形式。中的被積函數(shù)的形式。 例例6 6 求積分求積分解：解：.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx例例7 7 求積分求積分解：解：.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arc

12、tan1Cxx 例例8 8 求積分求積分解：解：.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數(shù)和的積分例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解:,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,

13、 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy3.基本積分表（基本積分表（1）（）（13）5.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 1.原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 2.不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(4.求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系五、五、 小結(jié)小結(jié)基本積分表基本積分表 kCkxkdx() 1 (是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf dxxkf)()2(.)( dxxfk不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxx211)4(;a

14、rctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 作業(yè)題作業(yè)題: P183-184 1.(6) (15) (20) 2. 思考題思考題:P183-184 1.(4) (13) (22) (29) 一、一、 填空題：填空題： 1 1、 一個(gè)已知的一個(gè)已知的連續(xù)連續(xù)函數(shù)，有函數(shù)，有_個(gè)原函數(shù)，

15、其中個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè)任意兩個(gè)的差是一個(gè)_； 2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分； 3 3、 把把)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù))(xF的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是它的方程是 CxFy )(； 4 4、 由由)()(xfxF 可知， 在積分曲線族可知， 在積分曲線族CxFy )( )( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)C上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線彼此是些切線彼此是_的；的； 5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_， 則在該區(qū)間上， 則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在； 練習(xí)題練習(xí)題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二二、 求求下下列列不不定定積積分分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxx