第七章線性變換

1、第七章 線性變換7.1 7.1 線性映射線性映射7.27.2線性變換的運算線性變換的運算7.3 7.3 線性變換和矩陣線性變換和矩陣7.4 7.4 不變子空間不變子空間7.5 7.5 特征值和特征向量特征值和特征向量7.6 7.6 可以對角化矩陣可以對角化矩陣7.1 7.1 線性映射線性映射一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.1.1 線性映射的定義、例線性映射的定義、例. 7.1.2 線性變換的象與核線性變換的象與核.二、二、 教學目的教學目的: 1準確線性變換（線性映射）的定義，判斷給定準確線性變換（線性映射）的定義，判斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射）的法則是否是一個線性變換（線性映射）

2、 2正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能求給定線性變換的象與核聯(lián)系，并能求給定線性變換的象與核三、三、 重點難點重點難點: 判斷給定的法則是否是一個線性變判斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射），求給定線性變換的象與核換（線性映射），求給定線性變換的象與核 7.1.1 7.1.1 線性映射的定義、例線性映射的定義、例 設F是一個數(shù)域，V和W是F上向量空間. 定義定義1 設設是是V 到到W 的一個映射的一個映射. 如果下列條如果下列條件被滿足，就稱件被滿足，就稱是是V 到到W 的一個線性映射：的一個線性映射：對于任意對于任意 對于任意對于

3、任意容易證明上面的兩個條件等價于下面一個條件：容易證明上面的兩個條件等價于下面一個條件：對于任意對于任意 和任意和任意,V).()()()()(,aaVFaFba,V)()()(baba在在中取中取 ，對，對進行數(shù)學歸納，可以得到：進行數(shù)學歸納，可以得到：（1）（2）0a0)0()()()(1111nnnnaaaa例例1 對于對于 的每一向量的每一向量 定義定義 是是 到到 的一個映射，我們證明，的一個映射，我們證明，是一個線是一個線性映射性映射. 2R21,xx 321211,Rxxxxx3R2R例例2 令令H是是 中經(jīng)過原點的一個平面中經(jīng)過原點的一個平面.對于對于 的每的每一向量一向量，令

4、，令 表示向量表示向量在平面在平面H上的正射影上的正射影.根據(jù)射影的性質(zhì)，根據(jù)射影的性質(zhì)， 是是 到到 的一個線的一個線性映射性映射. 3V3V :3V3V例例3 令令A是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個m n矩陣，對于矩陣，對于n元列空元列空間的間的 每一向量每一向量 mFnxxx21規(guī)定： 是一個是一個m1矩陣，即是空間矩陣，即是空間 的一個向量，的一個向量，是是 到到 的一個線性映射的一個線性映射. mFmFnF例例4 令令V 和和W是數(shù)域是數(shù)域F 上向量空間上向量空間.對于對于V 的每一向的每一向量量令令W 的零向量的零向量0與它對應，容易看出這是與它對應，容易看出這是V 到到W的一個線性映射

5、，叫做零映射的一個線性映射，叫做零映射. 例例5 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個向量空間，取定上一個向量空間，取定F的一個數(shù)的一個數(shù)k，對于任意，對于任意 定義定義容易驗證，容易驗證，是是V 到自身的一個線性映射，這樣一到自身的一個線性映射，這樣一個線性映射叫做個線性映射叫做V 的一個位似的一個位似. 特別，取特別，取k = 1，那么對于每一，那么對于每一 都有都有 這時這時就是就是V到到V的恒等映射，或者叫做的恒等映射，或者叫做V的單位映的單位映射，如果取射，如果取k = 0，那么，那么就是就是V 到到V的零映射的零映射. ,V k,V ,例例6 取定取定F的一個的一個n元數(shù)列元數(shù)列 對于對于

6、的每一向量的每一向量 規(guī)定規(guī)定 容易驗證，容易驗證，是是 到到F的一個線性映射，這個線性的一個線性映射，這個線性映射也叫做映射也叫做F上一個上一個n元線性函數(shù)或元線性函數(shù)或 上一個線性上一個線性型型. .21naaanF.21nxxx Fxaxaxann2211nFnF例例7 對于對于Fx 的每一多項式的每一多項式 f（x），令它的導數(shù)），令它的導數(shù) 與它對應，根據(jù)導數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義與它對應，根據(jù)導數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義的映射是的映射是Fx到自身的一個線性映射到自身的一個線性映射. xf 例例8 令令Ca, b是定義在是定義在a, b上一切連續(xù)實函數(shù)所上一切連續(xù)實函數(shù)所成的成的R上向量空

7、間，對于每一上向量空間，對于每一 規(guī)定規(guī)定 仍是仍是a, b上一個連續(xù)實函數(shù)，根據(jù)積分上一個連續(xù)實函數(shù)，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，的基本性質(zhì)，是是Ca, b到自身的一個線性映射到自身的一個線性映射. ,baCxf dttfxfxa xf定義定義2 設設是向量空間是向量空間V到到W的一個線性映射的一個線性映射, (1) 如果如果 那么那么 叫做叫做 在在之下的象之下的象.(2) 設設 那么那么 叫做叫做 在在 之下的原象之下的原象.,VV | )()(VVV,WW W)( |VW定理定理7.1.1 設設V 和和W 是數(shù)域是數(shù)域F 上向量空間，而上向量空間，而 是一個線性映射，那么是一個線性映射，那么V

8、 的任意子空間的任意子空間在在之下的象是之下的象是W 的一個子空間，而的一個子空間，而W 的任意子空的任意子空間在間在之下的原象是之下的原象是V 的一個子空間的一個子空間. WV :特別，向量空間特別，向量空間V 在在之下的象是之下的象是W 的一個的一個子空間，叫做子空間，叫做的象的象, 記為記為 即即另外，另外，W 的零子空間的零子空間 0 在在之下的原象是之下的原象是V 的一個子空間，叫做的一個子空間，叫做的核，的核，記為記為即即),Im().()Im(V),(Ker.0)(|)(VKer定理定理7.1.2 設設V和和W是數(shù)域是數(shù)域F向量空間，而是一個線向量空間，而是一個線性映射，那么性映

9、射，那么(i) 是滿射是滿射(ii) 是單射是單射證明證明 論斷論斷(i)是顯然的是顯然的,我們只證論斷我們只證論斷(ii)如果如果是單射是單射,那么那么ker()只能是含有唯一的零向量只能是含有唯一的零向量.反過來設反過來設ker() = 0. 如果如果 那么那么 從而從而 所以所以 即即是單射是單射.WV :W)Im(0)(Ker).()(, 而V, 0)()()(.0)ker(,如果線性映射如果線性映射 有逆映射有逆映射 ，那么是，那么是W 到到V 的一個線性映射的一個線性映射.WV :17.2 線性變換的運算 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布7.2.1 加法和數(shù)乘加法和數(shù)乘7.2.2線性變換的

10、積線性變換的積7.2. 3線性變換的多項式線性變換的多項式二、二、 教學目的教學目的:掌握線性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會做運算掌握線性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會做運算.掌握線性變換的多項式掌握線性變換的多項式, 能夠求出給定線性變換的能夠求出給定線性變換的多項式多項式.三、三、 重點難點重點難點: 會做運算會做運算. 7.2.1 加法和數(shù)乘 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個向量空間，上一個向量空間，V到自身的一個到自身的一個線性映射叫做線性映射叫做V 的一個線性變換的一個線性變換.我們用我們用L（V）表示向量空間和一切線性變換所成）表示向量空間和一切線性變換所成的集合，設的集合，設定義定義: 加

11、法加法: 數(shù)乘數(shù)乘: , 那么是那么是V的一個線性變換的一個線性變換.可以證明可以證明: 和和 都是都是V 的一個線性變換的一個線性變換. ,),(,FkvL)()(:)(:kkk令令 ，那么對于任意，那么對于任意 和任意和任意 Fba,V 證明證明 ).()()()()()()()()()()()()(bababababababa所以所以 是是V的一個線性變換的一個線性變換 k令令 ，那么對于任意，那么對于任意 和任意和任意 Fba,V. )()()()() )()()()(babkakbakbakba所以所以k是是V的一個線性變換的一個線性變換. 線性變換的加法滿足變換律和結合律線性變換的

12、加法滿足變換律和結合律,容易證明容易證明,對對于任意于任意 ,以下等式成立以下等式成立: )(,vL(1)(1);(2)(2).()(令令表示表示V到自身的零映射到自身的零映射,稱為稱為V的零變換的零變換,它顯然它顯然具有以下性質(zhì)：對任意具有以下性質(zhì)：對任意 有：有： )(vL(3)(3)設設 的負變換的負變換指的是指的是V到到V的映射的映射容易驗證，容易驗證，也是也是V的線性變換，并且的線性變換，并且 ),(vL).(:（4 4）)(線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：,)()5(kkk,)()6(lklk),()()7(lkkl,1)8(這里這里k k, ,l l是是F

13、 F中任意數(shù)，中任意數(shù)，,是是V V的任意線性變換的任意線性變換. .定理定理7.2.1 L（V）對于加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域）對于加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域F上一個向量空間上一個向量空間. 設設 容易證明合成映射容易證明合成映射 也是也是V上的線上的線性變換，即性變換，即 我們也把合成映射我們也把合成映射 叫叫做做與與的積，并且簡記作的積，并且簡記作 。除上面的性質(zhì)外，。除上面的性質(zhì)外，還有：還有： ),(,VL).(VL,)()9(,)()10(),()()()11(kkk對于任意對于任意 成立。成立。)(,vLFk證明證明 我們驗證一下等式（我們驗證一下等式（9）其余等式可以類似地）其余等式可

14、以類似地驗證。設驗證。設 我們有我們有.V),)()()()()()()()()(因而（因而（9 9）成立。）成立。 線性變換的乘法滿足結合律：線性變換的乘法滿足結合律：對于任意對于任意 都有都有 ),(,vL).()(因此因此,我們可以合理地定義一個線性變換我們可以合理地定義一個線性變換的的n次冪次冪 nn這里這里n n是正整數(shù)。是正整數(shù)。我們再定義我們再定義 0這里這里表示表示V到到V的單位映射，稱為的單位映射，稱為V的單位變換。這的單位變換。這樣一來，一個線性變換的任意非負整數(shù)冪有意義。樣一來，一個線性變換的任意非負整數(shù)冪有意義。 進一步，設進一步，設 .)(10nnxaxaaxf是是F

15、上一個多項式，而上一個多項式，而 以以代替代替x，以，以 代替代替 ，得到，得到V的一個線性變換的一個線性變換 ),(VL0a0a.10nnaaa 這個線性變換叫做當這個線性變換叫做當 時時f (x)的值，并且的值，并且記作記作 x).(f（1）因為對于任意因為對于任意 我們也可將我們也可將 簡記作簡記作 ，這時可以寫，這時可以寫,)(,00aaV0a0a.)(10nnaaaf（2）帶入法：如果帶入法：如果 并且并且 ,)(),(xFxgxf).()()()()()(xgxfxxgxfx那么根據(jù)那么根據(jù)L L( (V V ) )中運算所滿足的性質(zhì)中運算所滿足的性質(zhì), ,我們有我們有 ).()(

16、)()()()(gfgf 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.3.1 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 7.3.2 坐標變換坐標變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣相似矩陣二、教學目的二、教學目的: 1熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣，以及給定熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關于這個基矩陣為的線性變換階矩陣和基，求出關于這個基矩陣為的線性變換 2由向量由向量關于給定基的坐標，求出關于給定基的坐標，求出()關于這個基的坐關于這個基的坐標標 3已知線性變換關于某個基的矩陣，熟練地求出

17、已知線性變換關于某個基的矩陣，熟練地求出關于另關于另一個基的矩陣。一個基的矩陣。三、重點難點三、重點難點: 線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換, 坐標變換坐標變換, 相似矩陣。相似矩陣。 現(xiàn)在設現(xiàn)在設V是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個n維向量空間，令維向量空間，令是是V的一的一個線性變換，取定個線性變換，取定V的一個基的一個基 令令 ,21nnnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(設設 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211N 階矩陣階矩陣A 叫做線性變換叫做線性變換關于基關于基 的的矩陣矩陣. 上面的表達常常

18、寫出更方便的形式上面的表達常常寫出更方便的形式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(212121設設V是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個n 維向量空間維向量空間, 是它的一個基是它的一個基, 關于這個基的坐標是關于這個基的坐標是 而而()的坐標是的坐標是 問問: 和和 之間有什么關系之間有什么關系? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx設設.),(21212211nnnnxxxxxx因為因為是線性變換，所以是線性變換，所以 （2 2）.)(,),(),()()()()(21212211nnnnxxxxxx將（將（1）代入（）代入（

19、2）得）得 .),()(2121nnxxxA最后，等式表明，最后，等式表明， 的坐標所組成的坐標所組成的列是的列是 ),()(21n關于.21nxxxA綜合上面所述綜合上面所述, 我們得到坐標變換公式：我們得到坐標變換公式：定理定理.1 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個n 維向量空間，維向量空間，是是V的一個線性變換，而的一個線性變換，而關于關于V的一個基的一個基 的矩陣是的矩陣是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211如果如果V中向量中向量關于這個基的坐標是關于這個基的坐標是 ，而而()的坐標是的坐標是 ， ),(21nxxx),(21nyyy那么那

20、么nnxxxAyyy2121例例1 在空間在空間 內(nèi)取從原點引出的兩個彼此正交的內(nèi)取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量單位向量 作為作為 的基的基.令令是將是將 的每一向的每一向量旋轉(zhuǎn)角量旋轉(zhuǎn)角的一個旋轉(zhuǎn)的一個旋轉(zhuǎn). 是是 的一個線性變換的一個線性變換.我們我們有有 2V21,2V2V2V .cossin,sincos212211所以所以關于基關于基 的矩陣是的矩陣是21,cossinsincos設設 ，它關于基，它關于基 的坐標是的坐標是 ,而而 的坐標是的坐標是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxyy 引理引理7.3.2 設設V是數(shù)域是數(shù)域F

21、上一個上一個n 維向量空間，維向量空間， 是是V的一個基，那么對于的一個基，那么對于V 中任意中任意n個向量個向量 ，有且僅有，有且僅有 V 的一個線性變的一個線性變換換，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(證證 設設 nnxxx2211是是V中任意向量中任意向量.我們?nèi)缦碌囟x我們?nèi)缦碌囟xV到自身的一個映到自身的一個映射射：nnxxx2211)(我們證明，我們證明，是是V的一個線性變換。設的一個線性變換。設Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyy

22、xxxyxyxyx設設 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn這就證明了這就證明了是是V的一個線性變換。線性變換的一個線性變換。線性變換顯然顯然滿足定理所要求的條件：滿足定理所要求的條件：niii, 2 , 1)(如果如果是是V的一個線性變換，且的一個線性變換，且 niii, 2 , 1)(那么對于任意那么對于任意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx從而從而 .定理定理.3 設設V V 是數(shù)域是數(shù)域 F F 上一個上一個n n 維向量空間，維向量

23、空間， 是是V V 的一個基，對于的一個基，對于V V 的每一個線的每一個線性變換性變換，令，令關于基關于基 的矩陣的矩陣A A與與它對應，這樣就得到它對應，這樣就得到V V 的全體線性變換所成的集合的全體線性變換所成的集合L L（V V）到）到F F上全體上全體n n 階矩陣所成的集合階矩陣所成的集合 的一的一個雙射，并且如果個雙射，并且如果 , ,而而 ， 則則 (3)(3) (4) (4) ,21n,21n)(FMn)(,vLAB,FaaAaBAAB證證 設線性變換設線性變換關于基關于基 的矩陣是的矩陣是A。那么那么 是是 的一個映射。的一個映射。,21nA)()(FMVLn到nnnnn

24、naaaaaaaaaA212222111211是是F上任意一個上任意一個n階矩陣。令階矩陣。令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj反過來，設反過來，設顯然顯然關于基關于基 的矩陣就是的矩陣就是A. 這就證這就證明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的雙射的雙射. ,21n)()(FMVLn到設設 我們有我們有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BAnnnn由于由于是線性變換是線性變換, 所以所以 niiijniiijnibb1

25、1., 2 , 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以關于基關于基 的矩陣就是的矩陣就是AB。（。（7）式成立，至于（式成立，至于（6）式成立，是顯然的。）式成立，是顯然的。,21n推論推論.4 設數(shù)域設數(shù)域F上上n 維向量空間維向量空間V 的一個線性的一個線性變換變換關于關于V 的一個取定的基的矩陣是的一個取定的基的矩陣是A，那么，那么可可逆必要且只要逆必要且只要A可逆，并且可逆，并且 關于這個基的矩陣就關于這個基的矩陣就是是 . 11A證證 設設可逆。令可逆。令 關于所取定的基的矩陣是關于所取定的基的矩陣是B。由（由

26、（7），）， 1.1AB然而單位變換關于任意基的矩陣都是單位矩陣然而單位變換關于任意基的矩陣都是單位矩陣 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反過來，設反過來，設 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 ,A.)(1AvL使.1IAA我們需要對上面的定理我們需要對上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深刻意義的深刻意義加以說明加以說明: 1. 取定取定n 維向量空間維向量空間V的一個基之后的一個基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作為線性

27、空間作為線性空間)AnnFVL)(研究一個抽象的線性變換研究一個抽象的線性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個就可以轉(zhuǎn)化為研究一個具體的矩陣具體的矩陣. 也就是說也就是說, 線性變換就是矩陣線性變換就是矩陣.以后以后,可可以通過矩陣來研究線性變換以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換也可以通過線性變換來研究矩陣來研究矩陣. 2. 我們知道我們知道, 數(shù)域數(shù)域F上一個上一個n 維向量空間維向量空間V 同構同構于于 , V上的線性變換上的線性變換 nF)(:轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 上一個具體的變換上一個具體的變換: nFnnxxxAxxx2121也就是說也就是說, 線性變換都具有上述形式線性變換都具有上述形式

28、. 定義：定義：設設 A，B 是數(shù)域是數(shù)域 F 上兩個上兩個 n 階矩陣階矩陣. 如果存如果存在在F上一個上一個 n 階可逆矩陣階可逆矩陣 T 使等式使等式成立，那么就說成立，那么就說B與與A相似，記作：相似，記作： . ATTB1BA n階矩陣的相似關系具有下列性質(zhì)：階矩陣的相似關系具有下列性質(zhì)：1. 自反性：每一個自反性：每一個n階矩陣階矩陣A都與它自己相似，都與它自己相似，因為因為2. 對稱性：如果對稱性：如果 ，那么，那么 ；因為由因為由.1AIIABA AB .)(11111BTTTBTAATTB得BA CB CA 3. 3. 傳遞性：如果傳遞性：如果且且那么那么事實上，由事實上，由

29、 得得BUUCATTB11和).()()()(111TUATUTUATUCTnn,2121設線性變換設線性變換關于基關于基 的矩陣是的矩陣是 A , 關于基關于基 的矩陣是的矩陣是 B , 由基由基 到基到基 的過渡矩陣的過渡矩陣T, 即即:,21n,21n,21n,21n定理定理7.3.4 在上述假設下在上述假設下, 有有: ATTB1即即: 線性變換在不同基下的矩陣是相似的線性變換在不同基下的矩陣是相似的. 反過來反過來, 一對相似矩陣可以是同一個線性變換在不同基下的一對相似矩陣可以是同一個線性變換在不同基下的矩陣矩陣. 證明留做練習證明留做練習一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.4.1 定義與

30、基本例子定義與基本例子 7.4.2 不變子空間和線性變換的矩陣化簡不變子空間和線性變換的矩陣化簡 7.4.3 進一步的例子進一步的例子二、教學目的二、教學目的 1掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間方法性變換的不變子空間方法 2會求給定線性變換的一些不變子空間會求給定線性變換的一些不變子空間三、重點難點三、重點難點 驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間、會求給驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間、會求給定線性變換的一些不變子空間。定線性變換的一些不變子空間。 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個向量空間上一個向量空間,是是V的

31、一個線性變的一個線性變換換.定義定義 V的一個子空間的一個子空間W說是在線性變換說是在線性變換之下不變之下不變, 如果如果 . 如果子空間如果子空間W在在之下不變，那么之下不變，那么W就叫做就叫做的一個不變子空間的一個不變子空間. WW )(注意注意:子空間子空間W在線性變換在線性變換之下不變之下不變,指指 , 即即: 并不能說并不能說: WW )(WW,)(W,)(例例1 V本身和零空間本身和零空間0顯然在任意線性變換之下顯然在任意線性變換之下不變不變.例例2 令令是是V的一個線性變換，那么的一個線性變換，那么的核的核Ker()的像的像Im()之下不變之下不變.例例3 V的任意子空間在任意位

32、似變換之下不變的任意子空間在任意位似變換之下不變. 例例4 令令是是 中以某一過原點的直線中以某一過原點的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)為軸，旋轉(zhuǎn)一個角一個角的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是是的一個一維不變的一個一維不變子空間，而過原點與子空間，而過原點與L垂直的平面垂直的平面H是是的一個二維的一個二維不變子空間不變子空間. 3V例例5 令令F x是數(shù)域是數(shù)域F上一切一元多項式所成的向量上一切一元多項式所成的向量空間，空間， 是求導數(shù)運對于每一自然數(shù)是求導數(shù)運對于每一自然數(shù)n，令，令 表示一切次數(shù)不超過表示一切次數(shù)不超過n的多項式連同零的多項式連同零多項式所成的子空間多項式所成的子空間. 那么那么

33、在在不變不變. )()(:xfxfxFxxFx 設設W是線性變換是線性變換的一個不變子空間的一個不變子空間.只考慮只考慮在在W上的作用，就得到子空間上的作用，就得到子空間E本身的一個線性變本身的一個線性變換，稱為換，稱為在在W上的限制，并且記作上的限制，并且記作 這樣，這樣，對于任意對于任意 然而如果然而如果 那么那么 沒有意義。沒有意義。.| w,W)()(|w,W)(|w 設設V是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個n維向量空間，維向量空間，是是V的一個的一個線性變換。假設線性變換。假設有一個非平凡不變子空間有一個非平凡不變子空間W，那，那么取么取W的一個基的一個基 再補充成再補充成V的一個基的一個基

34、 由于由于W在在之下不變，所以之下不變，所以 仍在仍在W內(nèi)，因而可以由內(nèi)，因而可以由W的基的基 線性表示。我們有：線性表示。我們有： ,21r.,121nrra)(,),(),(21rr,21.)(,)(,)(,)(1, 1111,11, 11,11, 11221112211111nnnrnrrrnnnnrnrrrrrrrrrrrrrrrraaaaaaaaaaaaaa因此，因此，關于這個基的矩陣有形狀關于這個基的矩陣有形狀 ,231AoAAA而而A中左下方的中左下方的O表示一個表示一個 零矩陣零矩陣.rrn )(r,21這里這里 rrrraaaaA11111是是 關于關于W的基的基 w|的矩陣

35、，的矩陣，由此可見，如果線性變換由此可見，如果線性變換有一個非平凡不變子空有一個非平凡不變子空間，那么適當選取間，那么適當選取V V的基，可以使與的基，可以使與對應的矩陣對應的矩陣中有一些元素是零。特別，如果中有一些元素是零。特別，如果V V可以寫成兩個非可以寫成兩個非平凡子空間的平凡子空間的 直和：直和： 那么選取那么選取 的一個基的一個基 和和 的一個基的一個基 湊成湊成V V的一個基的一個基 當當 都在都在之下不變時，容易看出，之下不變時，容易看出，關于這樣選取的關于這樣選取的基的矩陣是基的矩陣是21WW 與,21WWV1Wr,212W.,1nra,21n21WW 與,21AooAA這里

36、這里 是一個是一個r r階矩陣階矩陣, ,它是它是 關于基關于基1A1| wr,21一般地一般地，如果向量空間如果向量空間V可以寫成可以寫成s個子空間個子空間 的直和，并且每一子空間都在線性變的直和，并且每一子空間都在線性變換換之下不變，那么在每一子空間中取一個基，湊之下不變，那么在每一子空間中取一個基，湊成成V的一個基，的一個基，關于這個基的矩陣就有形狀關于這個基的矩陣就有形狀SWWW,21sAAA0.021 這里這里 關于所取的關于所取的 的基的矩陣的基的矩陣.iiWA|是iW的矩陣，而的矩陣，而 是是 nrnr階矩陣，它是階矩陣，它是 關于關于基基 的矩陣。的矩陣。 2A2|wnra,1

37、例例6 令令 是例是例4所給出的所給出的 的線性變換的線性變換. 顯然顯然 是是一維子空間一維子空間L與二維子空間與二維子空間H的直和，而的直和，而L與與H在在 之下不變之下不變. 取取L的一個非零向量的一個非零向量 ，取，取 H 的兩個的兩個彼此正交的單位長度向量彼此正交的單位長度向量 那么那么 是是 的一個基，而的一個基，而關于這個基的矩陣是關于這個基的矩陣是3V3V1,32321,3V.cossin0sincos0001例例7 如果如果 ，那么，那么子空間是兩個21,WW.,2121子空間仍是一個WWWW 證：證：1. 任取任取,21WW 2. 任取任取21)()()2 , 1(WWWi

38、Wii,21WW 21)()()2 , 1(WWWiWii例例8 如果如果 ，那么對任何，那么對任何 子空間是WIaaaafnnnn011)(子空間是)(fW證：證： ，那么，那么 子空間是WWWfnkWWWWWWWk)(), 2 , 1()()()()(2例例9 判定下列子空間在給定的判定下列子空間在給定的 下是否為不變下是否為不變子空間子空間 （1 1） ,| ) 0 ,(),0 ,(),(,:21213212132133FxxxxWxxxxxxxxFF（2 2）,| )0 ,(), 0(),(,:2121322132133FxxxxWxxxxxxxFF（3 3） ),()(,:xFWxf

39、fDxFxFDn（4 4） ,)()(,:0 xFWdxxfxfJxRxRJnx解解 WxxxxWxx)0 ,()(,)0 ,(212121WW) 1 , 2 , 0()(,)0 , 1 , 1 ()(1)()()(xFfnnfnfxFxfnnWxfJxRxndxxxRxxfnnxnnn)(,11)(10即(1) (1) 是是. . (2) (2) 否否. . (3) (3) 是是. . (4) (4) 否否. . 例例1010 是是V V上一個線性變換，上一個線性變換，W W 是是 生成的子空間：生成的子空間： . . 則則. . s,21), 2 , 1()(siWWi是不變子空間),(2

40、1sLW證：證： )(,),(),()(21sLW必要性：必要性：W W中不變子空間，中不變子空間， ), 2 , 1()()(,),(),()(21siWWLWis充分性：如果充分性：如果 ,)(WWi)(,),(),(21sL而是包含是包含)(,),(),(21s的最小子空間，的最小子空間， WLWs)(,),(),()(21例例1111 設設是是V V上的線性變換，上的線性變換，是是V V上的非零向上的非零向量，且量，且 )(,),(,1k線性無關，但線性無關，但)(),(,),(,1kk線性相關線性相關. 那么那么 是包含是包含的最的最小不變子空間小不變子空間. )(,),(,(1kL

41、證證 (1)(1) 線性表出線性表出, ,因此因此 這樣，這樣， 的生成元在的生成元在下的象下的象 全部屬全部屬 于于 . .所以所以 是一個是一個不變子空間不變子空間)(,),(,)(1kk可由)(,),(,()(1kkL)(,),(,(1kL)(,),(),(2k)(,),(,(1kL)(,),(,(1kL（2）對任何包含對任何包含的不變子空間的不變子空間W， 故故 ， 即即 包含包含W的一個最小子空間的一個最小子空間. WWk)(,),(),(12WLk)(,),(,(1)(,),(,(1kL例例12 設設 是是V的一給基的一給基,在在 下下的矩陣為的矩陣為 4321,4321,1221

42、113200102111A求包含求包含 的最小子空間的最小子空間. 1解解 算算 的坐標為（用的坐標為（用“( )”( )”表表示取坐標）示取坐標）)(),(,121143011201)()(,1201)()(,0001)(112111AAA中線性無關中線性無關 41211)(),(),(F在的坐標排成的行列式為：的坐標排成的行列式為： )(),(),(,131211014109320000010111190104301)()(1213A因此因此 431123431121143)(2)(321,L1是包含是包含 的最小子空間的最小子空間. . 注意到注意到 與與 是等價向量組，因此是等價向量組

43、，因此 321,431,),(,431321LL7.5 特征值與特征向量 7.5.1 7.5.1 引例引例 7.5.2 7.5.2 矩陣特征值和特征向量的定義矩陣特征值和特征向量的定義 7.5.3 7.5.3 特征值和特征向量的計算方法特征值和特征向量的計算方法 7.5.4 7.5.4 矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)小結小結 1.1.理解特征值和特征向量的概念理解特征值和特征向量的概念 2.2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法 3.3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì)掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì) 矩陣的特征值和特征向量的

44、求法及性質(zhì)矩陣的特征值和特征向量的求法及性質(zhì)7.5.1 引例 在經(jīng)濟管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會遇到矩陣的特征值和在經(jīng)濟管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會遇到矩陣的特征值和特征向量的問題特征向量的問題. 它們之間的關系為它們之間的關系為 ) 1 (223001001yxyyxx寫成矩陣形式，就是寫成矩陣形式，就是1x是目前的工業(yè)發(fā)展水平是目前的工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測量單位以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測量單位). 發(fā)展與環(huán)境問題已成為發(fā)展與環(huán)境問題已成為21世紀各國政府關注和重點，為了定量分世紀各國政府關注和重點，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關系，有人提出了以下的工業(yè)增長模型：設析污

45、染與工業(yè)發(fā)展水平的關系，有人提出了以下的工業(yè)增長模型：設 0 x是某地區(qū)目前的污染水平是某地區(qū)目前的污染水平(以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測量單位量單位)， 0y若干年后若干年后(例如例如5年后年后)的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為 和和.1y)2(22130011yxyx記記 111yx， 000yx， 2213A， 即即(2)式可寫成式可寫成 ) 3(01A設當前的設當前的 T)1 , 1(0，則，則 .11444112213111yx即即 004A，由此可以預測若干年后的污染水平與工業(yè)發(fā)由此可以預測若干年后的污染水平與工業(yè)

46、發(fā) 展水平。展水平。由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣A A乘以向量乘以向量 恰好等于恰好等于 的的4 4倍，倍，倍數(shù)倍數(shù)4 4及向量及向量 即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特征向量征向量. .0007.5.2 特征值和特征向量的定義定義定義1：設設A是一個是一個n階矩陣，階矩陣，是是 F 中的一個數(shù)，如果存在中的一個數(shù)，如果存在 V 中非零中非零向量向量 ，使得，使得 A那么稱那么稱為矩陣為矩陣A的一個特征值，的一個特征值，稱為稱為A屬于特征值屬于特征值的特征向量的特征向量.例例 2213A因因 11444112213解解:所以所以4是是 2213

47、A的一個特征值，的一個特征值， 11是是A的屬于的屬于4的特征向量的特征向量. 3341212332213又又 故故 33也是也是A的屬于的屬于4的特征向量的特征向量. 注注1：是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 )0( cc，c也是也是A的屬于的屬于的特的特征向量征向量 練習練習1(1) (1) 如果向量如果向量 是矩陣是矩陣 的特征向量，的特征向量，則則k k = _= _11 112k(2) (2) 設設 ，下列向量中可以成為，下列向量中可以成為A A的的特征向量的是（特征向量的是（ ） 1322AA. 12 B. 32C. 41D. 01 2(1) (1) 解：解：1111

48、3212131kkk (2) (2) 解：解：1317122262 A.A.B.B.13412216 D.13032212 7.5.3 特征值和特征向量的計算方法使使 1是是A的特征值的特征值 .0A. 0).(0AI0)(XAI有非零解有非零解 . 0AI 注注2： 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .2是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 0且且 A. 0).(0AI是是 0)(XAI的非零解。的非零解。 注注3：是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 定義定義2： nnnnnnaaaaaaaaaA212222

49、111211nnnnnnAaaaaaaaaaAIf212222111211)(稱為稱為A的特征多項式。的特征多項式。 0 AI稱為稱為A的特征方程，的特征方程， AI 稱為稱為A的特征矩陣。的特征矩陣。 例例1 1 設設 ，求，求A A的全部特征值、特征的量。的全部特征值、特征的量。 1322A21334(4)(1)022IA解：解： A A的特征多項式為的特征多項式為1A A的特征值為的特征值為 1241 ， 對于對于 解解214,(4)0IA X由于由于 得基礎解系得基礎解系33112200111 A A的對應于的對應于 的全部特征向量為的全部特征向量為 111(0)cc141233022

50、xx即即對于對于 解解 21, ()0IA x 1223023xx即即由于由于 323122300得基礎解系得基礎解系2321A的對應于的對應于 的全部特征向量為的全部特征向量為21 222(0)cc注注4 4：A A的特征向量有無窮多個，分為兩大類：的特征向量有無窮多個，分為兩大類： 一類為一類為 一類為一類為111(0)1cc ，232c問題問題1 1：同類的兩個特征向量的線性相關性如何？同類的兩個特征向量的線性相關性如何？問題問題2 2：不同類的任兩個特征向量的線性相關性如不同類的任兩個特征向量的線性相關性如何？何？求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 計算特征多項式計算特征多項式 I

51、A2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 對于對于A的每一個特征值的每一個特征值 i，求相應的齊次線性方程組，求相應的齊次線性方程組 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全為零 ） 例例2：求矩陣求矩陣 001010100A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 的一個基礎解系的一個基礎解系 siii,21，則，則A的屬于的屬于 i的全部的全部特征向量為特征向量為解解 A的特征多項式的特征多項式 ) 1() 1(01010102AIA的特征值為的特征值為 121， .13對于對于 121，解，解 01

52、01000101321xxx101101000000101000得基礎解系得基礎解系: :101,01021A的屬于特征值的屬于特征值1的全部特征向量為的全部特征向量為 ),(212211不全為零cccc對于對于 13，解，解 101101020010101000得基礎解為得基礎解為 1013A的屬于特征值的屬于特征值 1 的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(333cc7.5.4 特征向量和特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 AA與有相同的特征值有相同的特征值 分析：要證分析：要證 AA與有相同的特征值有相同的特征值 只須證只須證 )()(AAff注意到注意到 |)( |AIAIAI性質(zhì)性質(zhì)3 3

53、 A A的主對角線上的元素的和稱為的主對角線上的元素的和稱為A A的跡，記作的跡，記作 )(ATr，則，則 nnrAAT2121|)(性質(zhì)性質(zhì)2 2 A A的屬于不同特征值的特征向量線性無關。的屬于不同特征值的特征向量線性無關。注意到注意到122112211212222111211)(|)(nnnnnnnnnnnnAaaaaaaaaaaaaaaaAIf（*） nnnnnnAAIf2112121) 1()()()(|)(（*） 在（*）和（*）中令 = 0 nnnAA21) 1(|) 1(|練習：練習：求求 2213A的特征值，特征向量。的特征值，特征向量。 解：解： A的特征多項式為的特征多項

54、式為)4)(1(452213|)(2AIfA所以所以A的特征值為的特征值為 4, 121對于對于 11，解，解 121, 01212121得xx對于對于 42，解，解 11, 02211221xx故故A的屬于特征值的屬于特征值1的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(12111cc故故A的屬于特征值的屬于特征值4的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(1122cc1、定義、定義1：設設A是一個是一個n階矩陣，階矩陣，是是 F 中的一個數(shù)，如果存在中的一個數(shù)，如果存在 V 中非中非零向量零向量 ，使得，使得 A那么稱那么稱為矩陣為矩陣A的一個特征值，的一個特征值，稱為稱為A屬于特征值屬于特征值的

55、特征向量的特征向量.2、 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .3、 是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 計算特征多項式計算特征多項式 2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 對于對于A的每一個特征值的每一個特征值 i，求相應的齊次線性方程組，求相應的齊次線性方程組 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全為零 ） 的一個基礎解系的一個基礎解系 siii,21，則，則A的屬于的屬于 i的全部特征向量的全部

56、特征向量為為5、3個性質(zhì)。個性質(zhì)。 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.6.1 什么是可對角化什么是可對角化 7.6.2 本征向量的線性關系本征向量的線性關系 7.6.3 可對角化的判定可對角化的判定 7.6.4 矩陣對角化的方法及步驟矩陣對角化的方法及步驟二、二、 教學目的教學目的 1掌握可對角化的定義與判斷掌握可對角化的定義與判斷 2熟練掌握矩陣對角化的方法步驟熟練掌握矩陣對角化的方法步驟三、重點難點三、重點難點 可對角化的判斷與計算?？蓪腔呐袛嗯c計算。 n0000000000) 1 (21設設A是數(shù)域是數(shù)域F上一個上一個n階矩陣，如果存在階矩陣，如果存在F上一上一個個n階逆矩陣階逆矩陣T，

57、使得，使得 具有對角形式（具有對角形式（1）ATT1則說矩陣則說矩陣A可以對角化可以對角化. . 我們知道我們知道, 可以通過矩陣來研究線性變換可以通過矩陣來研究線性變換, 也也可以通過線性變換來研究矩陣，本節(jié)更多的通過線可以通過線性變換來研究矩陣，本節(jié)更多的通過線性變換來研究矩陣性變換來研究矩陣. 矩陣矩陣A可以對角化對應到線性可以對角化對應到線性變換就是變換就是: 設設是數(shù)域是數(shù)域F上上 維向量空間維向量空間V的一個線的一個線性變換，如果存在性變換，如果存在V的一個基，使得的一個基，使得關于這個基關于這個基的矩陣具有對角形式的矩陣具有對角形式(1), 那么說，那么說，可以對角化可以對角化.

58、) 1(nn很容易證明很容易證明, 可以對角化的充分必要條件是可以對角化的充分必要條件是有有 n個線性無關的本征向量個線性無關的本征向量. 這這n個線性無關的本個線性無關的本征向量顯然構成征向量顯然構成V的基的基. 因此，因此， 我們需要進一步研我們需要進一步研究本征向量的線性關系，需要研究在什么條件下究本征向量的線性關系，需要研究在什么條件下有有 n個線性無關的本征向量個線性無關的本征向量.7.6.2 7.6.2 本征向量的線性關系本征向量的線性關系 定理定理7.6.1 令令是數(shù)域是數(shù)域F上向量空間上向量空間V的一個線性變的一個線性變換換.如果如果 分別是分別是的屬于互不相同的特征的屬于互不

59、相同的特征根根 的特征向量，那么的特征向量，那么 線性線性無關無關.n,21n,21n,21證證 我們對我們對n用數(shù)學歸納法來證明這個定理用數(shù)學歸納法來證明這個定理當當n = 1時，定理成立。因為本征向量不等于時，定理成立。因為本征向量不等于零。設零。設n 1并且假設對于并且假設對于n1來說定理成立?，F(xiàn)在來說定理成立?，F(xiàn)在設設 是是的兩兩不同的本征值，的兩兩不同的本征值， 是屬于本是屬于本征值征值 的本征向量：的本征向量： n,21ii., 2 , 1,)()2(niiii如果等式如果等式 ,. 0)3(2211Faaaainn成立，那么以成立，那么以 乘（乘（3）的兩端得）的兩端得 n. 0

60、)4(2211nnnnnaaa另一方面，對（另一方面，對（3）式兩端施行線性變換）式兩端施行線性變換，注意到，注意到等式（等式（2），我們有），我們有 . 0)5(222111nnnaaa（5 5）式減（）式減（4 4）式得）式得 . 0)()()(111222111nnnnnnaaa根據(jù)歸納法假設，根據(jù)歸納法假設， 線性無關，所以線性無關，所以 121,n. 1, 2 , 1, 0)(nianii但但 兩兩不同，所以兩兩不同，所以 代代入（入（3），因為），因為 所以所以 這就證明了這就證明了 線性無關。線性無關。n,21. 0121naaa, 0n. 0nan,21推論推論7.6.2 設設