第一章隨機(jī)過程課件

1、參考書：1.應(yīng)用隨機(jī)過程，林元烈編著，清華大學(xué)出版社；2.隨機(jī)系統(tǒng)分析引論，盛昭瀚，東南大學(xué)出版社；3.隨機(jī)過程，伊曼紐爾、帕爾遜著，鄧永錄、楊振業(yè)譯，高等教育出版社；4.隨機(jī)過程，Sheldon M1.Ross著。第一章 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 簡要回顧一下概率論中與本課程有關(guān)的基本概念：隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、事件、概率、隨機(jī)變量、概率分布、數(shù)字特征等。一、基本概念v試驗(yàn)結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)言，三個(gè)特征:可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，可預(yù)先知道試驗(yàn)所有可能結(jié)果；每次試驗(yàn)前不能確定那個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合，記為隨機(jī)事件樣本空間的子集A稱為隨機(jī)事件，用A、B

2、、C表示1.1 概率空間概率空間隨機(jī)試驗(yàn)注：由于事件是集合，故集合的運(yùn)算（并、交、差、上極限、下極限、極限等）都適用于事件。稱 為必然事件，W樣本空間 也是一個(gè)事件，W空集 稱為不可能事件。F注：所謂某個(gè)事件在 試驗(yàn)中是否出現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的某個(gè)樣本點(diǎn)是否出現(xiàn)，因此一個(gè)事件實(shí)際上對應(yīng)于的一個(gè)確定的子集。事件的概率論運(yùn)算 子集的集合論運(yùn)算。 在實(shí)際問題中，并不是對所有的事件樣本空間（的所有子集）都感興趣，而是關(guān)心某些事件（的某些子集）及其發(fā)生的可能性大?。ǜ怕剩?。 為了數(shù)學(xué)上處理方便，我們常要求這些子集組成的類具有一些基本性質(zhì)（即對事件需加一些約束） 代數(shù)（事件族）二、;).1(FW定義

3、1.1設(shè)樣本空間 的某些子集構(gòu)成的集合記為F，如果F滿足下列性質(zhì)：eWFAAW ，則若FA).2(.,2, 1,).3(1FAkFAkkk 則若F中的元素稱為事件。則稱F為 代數(shù)（Bord事件域），稱為可測空間),(FW例如，例如，包含包含A的最大的的最大的 代數(shù)是代數(shù)是 的一切的一切子集組成的集類子集組成的集類W對于某個(gè)事件對于某個(gè)事件A A包含它的包含它的 代數(shù)不是唯一的代數(shù)不是唯一的而包含而包含A的最小的的最小的 代數(shù)則是：代數(shù)則是：,FWAA注：注：F F（）表示由）表示由的子集全體構(gòu)成的集合類，的子集全體構(gòu)成的集合類，顯然滿足上述定義的（顯然滿足上述定義的（1）（3），但這個(gè)族常），

4、但這個(gè)族常常顯得太大以致對于某些樣本空間而言不可以在常顯得太大以致對于某些樣本空間而言不可以在這樣的族上定義滿足三條公理的概率函數(shù)這樣的族上定義滿足三條公理的概率函數(shù))(P。 為了建立概率的數(shù)學(xué)理為了建立概率的數(shù)學(xué)理論通常只需把事件族論通常只需把事件族取為具有定義（）（）中并包含了我們感取為具有定義（）（）中并包含了我們感興趣的所有集合的的最小子集族。興趣的所有集合的的最小子集族。三、概率的公理化定義三、概率的公理化定義 為了完成隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，還要規(guī)定隨機(jī)事件族上的概率函數(shù)即對中的每個(gè)事件要定義一個(gè)稱作為的概率的數(shù) ，作為事件A的函數(shù)必須假定滿足三條公理。)(P)(AP非負(fù)性；1)(0,

5、) 1 (APFA有對規(guī)范性；1(2W）（P,)3(21AA若兩兩互不相容，即)(jiAAjiF有11)()(kkkkAPAP則稱P為（，F(xiàn)）上的概率，（，F(xiàn)，P）稱為概率空間，P（A）為事件A的概率。定義1.2：設(shè)（，P）是可測空間 是定義在F上的實(shí)值函數(shù)，如果 滿足)(AP)(AP由此定義出發(fā)，可推出概率的其它一些性質(zhì)：; 0)()4(FP)()(),()()(,)5(APBPAPBPABPBAFBA且則若即概率具有單調(diào)性；211121)()()(, 2 , 1,)6(limAAAPAAAPAPnFAiiiinnn若若則設(shè)1,1nAAnn當(dāng)新事件：1limiinnAA1,1nAAnn當(dāng)1l

6、imiinnAA連續(xù)性定理?xiàng)l件概率v在事件B已發(fā)生這一條件下，事件A發(fā)生的概率。)()()|(BPBAPBAP全概率公式v若有N個(gè)互斥事件Bn（n=1,2,N），它的并集等于整個(gè)樣本空間，則NiiiBPBAPAP1)()|()(四、幾個(gè)重要公式四、幾個(gè)重要公式加法公式)()()()(,ABPBPAPBAPFBA則若v設(shè)事件A1，A2，An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，概率P(Ai)0,i=1,2,n,對于任何一個(gè)事件B，若P(B)0, 有NiiiiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(貝葉斯公式獨(dú)立事件)()()(BPAPBAP1.2 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一、一維隨機(jī)變量

7、及其分布函數(shù)一、一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)由于數(shù)學(xué)分析不能直接利用來研究集合函數(shù)，這樣影響對隨機(jī)現(xiàn)象的研究。解決這個(gè)問題的方法，主要是設(shè)法在集合函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中所研究的點(diǎn)函數(shù)間建立某種聯(lián)系，從而能用數(shù)學(xué)分析去研究隨機(jī)現(xiàn)象。X(e)就是一個(gè)函數(shù)，它把樣本點(diǎn)映射到實(shí)數(shù)軸上，隨機(jī)變量就是從原樣本空間到新樣本空間的一種映射，我們通常把這樣一種對應(yīng)關(guān)系稱之為在概率空間上的一個(gè)隨機(jī)變量。下面我們給出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)定義。定義定義1.4：設(shè)（：設(shè)（ ，F(xiàn)，P）是概率空間，）是概率空間，X=X(e)是定義在是定義在上的實(shí)函數(shù)，如果對任意實(shí)數(shù)上的實(shí)函數(shù)，如果對任意實(shí)數(shù)x，e:X(e) x F，則稱，則稱X(e)是是

8、F上的隨機(jī)變量。上的隨機(jī)變量。事件隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：只取有限個(gè)數(shù)值或可列無窮多個(gè)值。只取有限個(gè)數(shù)值或可列無窮多個(gè)值。連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：從原樣本空間到新樣本：從原樣本空間到新樣本空間的映射是某一個(gè)范圍，是一段（或幾空間的映射是某一個(gè)范圍，是一段（或幾段）實(shí)線（也可能是整個(gè)坐標(biāo)軸），隨機(jī)段）實(shí)線（也可能是整個(gè)坐標(biāo)軸），隨機(jī)變量可以取值于某一區(qū)間中的任一數(shù)。變量可以取值于某一區(qū)間中的任一數(shù)。分布函數(shù)（一個(gè)描述隨機(jī)變量取值的概分布函數(shù)（一個(gè)描述隨機(jī)變量取值的概率分布情況的統(tǒng)一方法）率分布情況的統(tǒng)一方法）xxeXePxF),)(:()( 。xFxFxFxFxFFxFF；x

9、FxF，xxxF：xFxx0,3; 10, 1lim, 0lim2:12121即右連續(xù)有時(shí)即當(dāng)是非降函數(shù)具有下列性質(zhì)分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的概率分布用分布律描述：的概率分布用分布律描述：,2 , 1,kpxXPkk:)(描述的概率分布用密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量xfX xxkkpxF:分布函數(shù) dttfxFx分布函數(shù)為：離散型隨機(jī)變量的概率分布用分布列描述01分布二項(xiàng)分布泊松分布qXPpXP)0(,)1(nkqpCkXPknkkn2,1 ,0,)(,2,1 ,0,!)(kekkXPk連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布用概率密度描述均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布其它,0,1)(bxaabxfxexf

10、ax,21)(222)(0,00,)(xxexfx隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布在給定某任意的隨機(jī)變量X，以及它的概率分布函數(shù)FX(x)，希望進(jìn)一步求出給定的隨機(jī)變量的某些可測函數(shù)（如Y=g(X)）的概率分布函數(shù)。非線性放大器YXY的概率分布函數(shù)公式為),)(:()(XYeyXgePyFW如果上式右端概率的導(dǎo)數(shù)對于y處處存在，那么這個(gè)導(dǎo)數(shù)就給出了隨機(jī)變量Y的概率密度),)(:()(XYeyXgePdydyfW二、二、n維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義1.5 設(shè)（ ，F(xiàn)，P）是概率空間，X=X(e)（X1(e),Xn(e)）是定義在上的n維空間Rn中取值的向量函數(shù)。如果對于

11、任意x=(x1,xn) Rn，e:X1(e) x1,Xn(e) xn F，則稱X=X(e)為n維隨機(jī)變量。稱為X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù) nniiinnnxXePxeXxeXxeXePxxxFxF:,:,22112 .1:,21具有下列性質(zhì)維聯(lián)合分布函數(shù)nxxxFn ；xxx，F(xiàn)xxxxnni是非降函數(shù)對于每個(gè)變量,12121 ；aaaF，bbabbabbFbbabbFbbbFniba，bababa，Rnnjijinjjjiiininiiiniinnn0,1, 1,;,;,3211,111111111212211其中中的任意區(qū)域?qū)τ?；xxx，F(xiàn)xxxxnni是右連續(xù)的對于每個(gè)變量

12、,22121率中任一超長方體中的概落在nRX 1,01,lim, 2 , 1, 0,lim421212121nnnixxxFxxxFxxxnixxxxFxii三、邊緣分布三、邊緣分布若二維聯(lián)合分布函數(shù)中有一個(gè)變元趨于無窮，則其極限函數(shù)便是一維分布函數(shù)，對于這種特殊性質(zhì)，我們稱其為邊緣緣分布。),(),()()(yFyYXPyYPyFY對于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y，其聯(lián)合分布函數(shù)為：),(yxF則：分別稱FX(x)和FY(y)為 關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣緣分布函數(shù)。),(yxF),(),()()(xFYxXPxXPxFX離散型隨機(jī)變量（X，Y）邊緣緣分布律計(jì)算如下連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）邊緣緣概率密度

13、計(jì)算如下dyyxfxfX),()(, 2 , 1,)(1ippxXPjijii, 2 , 1,)(1jppyYPiijjjdxyxfyfY),()(相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意實(shí)數(shù)x，y有)()()()(),(yYPxXPyYxXPyYxXP則稱X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。若X，Y為相互獨(dú)立隨機(jī)變量，則有)()(),()()(),(yfxfyxfyFxFyxFYXYX聯(lián)合密度邊緣密度邊緣密度聯(lián)合密度四、條件分布四、條件分布)()()|(BPBAPBAP)()()|()|(|BPBxXPBxXPBxFBX)(),()|(|yfduyufyYxFYxYX條件

14、概率條件分布函數(shù)兩邊對x微分)(),()|(|yfyxfyxfYYXxYXYXduyufyYxF)|()|(|1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征v隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望v隨機(jī)變量函數(shù)的期望值v方差v協(xié)方差v相關(guān)系數(shù)v獨(dú)立與不相關(guān)一、斯蒂爾吉斯積分（補(bǔ)充）一、斯蒂爾吉斯積分（補(bǔ)充）1.有限區(qū)間上的斯蒂爾吉斯積分 bxxxa，nba，baxgxfn100,分點(diǎn)為個(gè)子區(qū)間分成把區(qū)間有界函數(shù)上的兩個(gè)是定義在區(qū)間設(shè)定義nkxxkk1,max1令 111,kkknkkkkxgxgfSxx作和式上任意取一個(gè)點(diǎn)在每一個(gè)子區(qū)間 .,Stieltjesbaxgxf的斯蒂爾吉斯積分上在區(qū)間對函數(shù)則稱此極限為函

15、數(shù) xdgxfba記為 。Sx，xg，SS積分就變成黎曼積分則如果取推廣黎曼積分的積分是高等數(shù)學(xué)中積分簡稱 ，xgxgfSnkkkk存在如果極限1100limlim，k的取法無關(guān)且與子區(qū)間的分法和2.無限區(qū)間上的無限區(qū)間上的S積分積分 ，Sxgxf，ba，xgxf可積的是對上若在任意有限區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)上是定義在無限區(qū)間設(shè)定義, ，xgxf的斯蒂吉斯積分上在無限區(qū)間對則稱此極限為, 存在且極限babaxdgxflim xdgxf記為 級數(shù)積分可化為通常積分或取一些特殊形式時(shí)當(dāng)在積分中，xg，. 3 ，xx，xg個(gè)有限多個(gè)或無限可列多躍點(diǎn)為它的跳上的階梯函數(shù)是在若,21積分化成黎曼積分。后者把積分

16、化為和式前者把S，S kkkkxgxgxfxdgxf：00則 xg，xg它的導(dǎo)函數(shù)為上的可微函數(shù)是在若, dxxgxfxdgxf則 的數(shù)學(xué)期望或均值。為則稱，若的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量定義XxxdFEXxdFxxFX左邊的積分稱為斯蒂吉斯積分, 2 , 1,kpxXP，Xkk分布律為為離散型隨機(jī)變量若1kkkpxEX則 xf，X概率密度為為連續(xù)型隨機(jī)變量若 dxxxfEX則二、數(shù)學(xué)期望二、數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的期望值隨機(jī)變量函數(shù)的期望值已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望，dxxfxgdyyyfXgEYEXY)()()()()(對于多維隨機(jī)變量維連續(xù)函數(shù)是的聯(lián)合分布函

17、數(shù)為維隨機(jī)變量若nXXXgXXXFXXXnnnn,212121nnnxxxdFxxxgXXXgE,212121設(shè)X1,X2, ,Xn為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=a1X1+a2X2+anXn的數(shù)學(xué)期望。)()()()()()()()(221122112211nnnnnnXEaXEaXEaXaEXaEXaEXaXaXaEYE已知隨機(jī)變量X1和X2，求隨機(jī)變量函數(shù)YaX1+bX2的數(shù)學(xué)期望)()(),(),(),()()(212121221211212121XbEXaEdxdxxxfxbdxdxxxfxadxdxxxfbxaxYE加權(quán)和的期望等于加權(quán)期望的和求數(shù)學(xué)期望是線性運(yùn)算數(shù)學(xué)期望的線性運(yùn)算不

18、受獨(dú)立條件限制已知隨機(jī)變量X1和X2，求隨機(jī)變量函數(shù)Yg1(X1)g2(X2)的數(shù)學(xué)期望 21212211),()()(dxdxxxfxgxgYE假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立，則有)()(),(212121xfxfxxfXX因此，有)()()()()()()()()()(211122221111212122112121XgEXgEdxxfxgdxxfxgdxdxxfxfxgxgYEXXXX EYEXXYE，YX則相互獨(dú)立特別若 ,三、方差（隨機(jī)變量取值的離散程度）的方差為則稱若是隨機(jī)變量設(shè)定義XEXXEDX，EX，X2222EXEX：DX計(jì)算公式XDX 標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)則相互獨(dú)立若baDYb

19、DXabYaXD，YX,22四、協(xié)差與相關(guān)系數(shù)的協(xié)方差為則稱是隨機(jī)變量設(shè)定義YXEYYEXXEBEYEXYXXY,9 . 122大小之間的線性相關(guān)程度的，表示相關(guān)系數(shù)YXXY)()()()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov引入一個(gè)描述兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)程度的系數(shù)DYDXYXCovdefXY),(XY稱為歸一化的協(xié)方差系數(shù)或相關(guān)系數(shù)。11XY若XY0，則稱隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)。五、五、K階原點(diǎn)矩、階原點(diǎn)矩、k階中心矩階中心矩隨機(jī)變量X，若E|X|k，稱EXk為k階原點(diǎn)矩。1)()(iXkikikdxxfxxXPxXE離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量又若EX存在，且E|X-EX|k ，稱)(kX

20、EXE為X的k階中心矩。1)()()()()(iXkikikdxxfXExxXPXExXEXE離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量一階原點(diǎn)矩就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，)(xxdFEX數(shù)學(xué)期望大致的描述了概率分布的中心。二階中心矩就是隨機(jī)變量的方差，2)(EXXEDXdef方差反映隨機(jī)變量取值的離散程度。01分布泊松分布正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望和方差（見表11）中心化的兩個(gè)隨機(jī)變量X-EX，Y-EY的互相關(guān)矩稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，)()()()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov協(xié)方差是描述隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)變量X和Y概率相關(guān)的程度。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立不相關(guān)0)(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov統(tǒng)計(jì)獨(dú)

21、立不相關(guān)設(shè)Z是一個(gè)隨機(jī)變量，具有均勻概率密度其它,020,21)(zzfZ令X=sinZ，Y=cosZ，求隨機(jī)變量X和Y是否相關(guān)，是否獨(dú)立？1.4 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)、母函數(shù) 數(shù)學(xué)特征只反映了概率分布的某些側(cè)面，一般并不能通過它們來確定分布函數(shù)，這里將要引進(jìn)的特征函數(shù)，既能完全決定分布函數(shù)而又具有良好的分析性質(zhì)。一、復(fù)隨機(jī)變量., F,上的實(shí)值隨機(jī)變量都是概率空間與如果PYXWiEYEXEZ數(shù)學(xué)期望為復(fù)隨機(jī)變量則稱iYXZ對復(fù)隨機(jī)變量也可以平行于實(shí)隨機(jī)變量建立起一系列結(jié)果。是相互獨(dú)立的若例如nZ，ZZ,21nnEZEZEZZZZE2121則二、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 的特征函數(shù)為稱

22、的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量定義XxxdFeeEtgxFXitxitX必然存在。故隨機(jī)變量的特征函數(shù)由于的復(fù)值函數(shù)，的特征函數(shù)是一個(gè)實(shí)變量, 1itxet對離散型隨機(jī)變量，若其分布律為 12 , 1,kkkpetgkpxXPkitxk，則 xf，若其分布密度函數(shù)為對于連續(xù)型隨機(jī)變量 dxxfetgitx則 的付里葉變換。特征函數(shù)是密度函數(shù)這時(shí)xf， 有反演公式的條件下在積分理論根據(jù)dttg，F(xiàn) dttgexfitx21三、特征函數(shù)的性質(zhì)三、特征函數(shù)的性質(zhì) tgtg，tgg1, 101 110 xdFg證： tgxdFexdFetgitxitx 01gxdFetgitx 上一致連續(xù)在特征函數(shù),2tg

23、ttghtgh，ttg有時(shí)當(dāng)無關(guān)的與總上一致連續(xù)：在所謂0, 0, xdFhxxdFxdFexdFxdFexdFeetghtg：AAAxAAihxAxihxitxxhti2sin22121證 。，h，xdFAtAx從而證明了結(jié)論第二個(gè)積分也任意小可使然后選充分小的任意小使無關(guān)，可選足夠大的上式右邊已與 kkknEXignk，ntgX，EXnX03時(shí)且當(dāng)次可微分特征函數(shù)的則存在階矩的若隨機(jī)變量kitxkkitxkkxexiedtd證： xdFx，kXk故階矩存在的由于因而可作下理積分號下的微分 xdFexixdFedtdtgitxkkitxkkk kkkEXigt0, 0 即得取此性質(zhì)使我們可以

24、方便地求得隨機(jī)變量的各階矩 ：ZZZtttn，tgnn有和復(fù)數(shù)及任意實(shí)數(shù)即對任意正整數(shù)是非負(fù)定函數(shù),4212102111111,nkkXitnknllXitkXitknknllknlklkZeEZeZeEZZeEZZttgklklXltkti證：01,lZZttgknlklk ：XXXX，XXXnn的特征函數(shù)為則是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量若2121,5 tgtgtgtgnXXXX21)( n，iXtgiXi, 2 , 1的特征函數(shù)是隨機(jī)變量其中也相互獨(dú)立所以復(fù)隨機(jī)變量相互獨(dú)立因?yàn)樽CnitXitXnee，X，XX：,121 tgtgeEeEeeEeEeEtgnnnnXXitXitXitXitXXXXi

25、titX11121所以 atgetgbabaXYXibtY則為常數(shù)設(shè),6 atgeeEeeEeEt：gXitbitaXitbbaXititYY證明（7）特征函數(shù)與分布函數(shù)是相互唯一確定的 dttgiteexFxF，xFxxtgxF：TTitxitxT2121lim,1221則的連續(xù)點(diǎn)是又為的特征函數(shù)設(shè)分布函數(shù)逆轉(zhuǎn)公式證略唯一性定理： 分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定 有時(shí)的連續(xù)點(diǎn)趨于沿當(dāng)上的每一連續(xù)點(diǎn)在應(yīng)用逆轉(zhuǎn)公式證，xFy，xF，： dttgiteeyFxFxFTTitxityTyy-limlim21lim而分布函數(shù)由其連續(xù)點(diǎn)上的值唯一決定不連續(xù)點(diǎn)利用右連續(xù)性 有下列更強(qiáng)的結(jié)果是絕可積函數(shù)時(shí)特別

26、當(dāng)，tg 而且的導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)則相應(yīng)的分布函數(shù)若定理，xF，dttg： dttgexfxFitx21)(dxexftgitx)()(即在特征函數(shù)絕對可積的條件下，概率密度與特征函數(shù)構(gòu)成一對付氏變換。 的連續(xù)點(diǎn)是及若由逆轉(zhuǎn)公式證明xFxx，： TTitxTdttgetxFxFtsin1lim則 TTitxTdttgettxFxFsin21lim2因此 tgtgettitxsin由于因此用控制收斂定理知（極限號與積分號交換的勒貝格控制收斂定理） dttgexFxFxfxFitxz212lim)(0 。tgxf，tg，通過付里葉變換來聯(lián)系與特征函數(shù)分布密度是絕對可積的條件下在因此四、多元特征函數(shù)四、多

27、元特征函數(shù),11. 1. 12121nnnRtttt，nXXXX維隨機(jī)向量是設(shè)定義。n特征函數(shù)的性質(zhì)一維隨機(jī)變量的維特征函數(shù)具有類似于 的特征函數(shù)為則稱XXtiEEetttgtgnkkkXt inX121exp, 是否獨(dú)立?？捎么伺袆e反之也成立相互獨(dú)立）若（nnXXXtXtinXn，XX，tgtgeE，t，ttg，X，XXnnn,2112121111性質(zhì). 2中一致連續(xù)，在nnRtttg),().1 (21, 1)0 , 0 , 0(),(21gtttgn且),(),(2121nntttgtttgkejjttgttgkXXXXXXetnXjjnjjjjkk, 2 , 1,30121121則個(gè)中

28、任意是）設(shè)（征函數(shù)個(gè)分量的邊緣分布的特這是任意k012121211212121,)4(nnlennntttknknkkkkkknkkittgtttXXXE DXEXEXtgX，pnBX,12及的特征函數(shù)求設(shè)例 nitknkitnkknknknkknitkknkknqpeqpeCqpCetgnkpqqpCkXP：X：00, 2 , 1 , 0,1,的分布律為解 220222220/0/0)3(qnnpqqpedtdigiEXnpqpedtdig iEXtnittnit 知由性質(zhì)npqEXEXDX22故 dxexexixedxetg：tgX，NXxxXitxxitx222222222121102且

29、由于解的特征函數(shù)求設(shè)例 ttgdxetieideeidxixetgxitxxitxxitxxitx22222222222221 ctetgcttgtdttgtdgttgtg221221ln, 0即 010cg由 22tetgX的特征函數(shù)為： tgY，aNYY的特征函數(shù)求設(shè)隨機(jī)變量例2,3 222222tiattiatXiatYeeetgetg 222,1 , 0tXetgNX知由例設(shè)解,2aNYaXY則令的特征函數(shù)由性質(zhì)知YpnmBYXZYX，pmB，YpnBX,4則相互獨(dú)立與且若例 nmitzqpetg mitYnitXqpetgqpetg,證 5由性質(zhì)pnmBZ,由唯一性定理知的概率密度。

30、利用特征函數(shù)求設(shè)例YXYUX,cos,2,2. 5其他的概率密度為：解：因?yàn)?02,2,1)(xxfX20cos22coscosY21)(gdxedxeeEeEtxitxitXititYdxuxdxduux21sin,cos令102112)(duuetgituY利用特征函數(shù)與分布一一對應(yīng)的唯一性得10,112)(2yyyfYY的概率密度為：注：求隨機(jī)變量的特征函數(shù)的方法（3）用Fourier變換去求解。（1）一般定義求解；（2）對一些特殊分布可化為微分方程求解；（4）利用特征函數(shù)求多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布。要求：（1）會(huì)求一些常用的隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（2）記住一些重要分布的特征函數(shù)，如正態(tài)分

31、布；（3）利用特征函數(shù)求相應(yīng)隨機(jī)變量的各階矩；五、母函數(shù)。，隨機(jī)變量隨機(jī)變量為整數(shù)我們稱取值非負(fù)整數(shù)的的占有重要的地位負(fù)整數(shù)值那些只取非在離散型隨機(jī)變量中210 對于整值隨機(jī)變量，有一種處理方法很便于應(yīng)用，這就是母函數(shù)法。 的母函數(shù)。為則稱分布律為是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量設(shè)定義XpsSESPkpkXPXkkkkX0, 2 , 1 , 0,。，ssP，pkk變量都存在母函數(shù)對任何整值隨機(jī)因此一致收斂且絕對收斂至少在由冪級數(shù)的收斂性知由于1)(10例、求二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布的母函數(shù)knkknqpCkXP二項(xiàng)分布2 , 1 , 0,!kekkXPk泊松分布： nnknkknkknkknkknqp

32、sqpsCsqpCsP00)( 10!sskkkeeeseksP, 2 , 1,1kpqkXPk幾何分布 11111kkkkkqspsqspspsqsP（1）唯一性，非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布列 由其母函數(shù)唯一確定六、母函數(shù)的性質(zhì) 100, 2 , 1 , 0,nkkkknkkkkknspspspsP證： , 1 , 0,!0!00nnPppnP，snnnn則令：ns，階導(dǎo)數(shù)得求兩邊對 nkknknnspnkkkpnsP11!1 12PEX，EX，XsP則存在若的母函數(shù)是設(shè) 2111PPPDX，DX 則存在若 221101,kkkkkkkkkspkksPskpsPspsP證：由 11, 1kPk

33、pEXsk得令 222111PPPEXEXDX 故 112PppkkXXEkk npsqsP，母函數(shù)為二項(xiàng)分布例npqpnnpnppnDX22222 2122111pnnppsqnnPsn npppsqnPEXsn111 21211 sseP 1sesP：母函數(shù)為泊松分布例 111ssePEX22DX3、獨(dú)立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積 。及，相應(yīng)的母函數(shù)為及概率分布律分別為變量為相互獨(dú)立的整值隨機(jī)設(shè)sBsAba，YXkk,也是整值隨機(jī)變量顯然的概率分布下面首先計(jì)算Z，YXZririrYiXPrYXPrZPc0,記0110bababacZrrrr的概率分布為：則 0rrrscsC記 00

34、000,rrrrrrkkrkllklklkllkkscsbasbasbsasBsAk機(jī)變量之和的場合個(gè)獨(dú)立整值隨此結(jié)論而推廣到數(shù)很適用母函的問題時(shí)在研究獨(dú)立隨機(jī)變量和n， sBsAEsEsssEsEsCYXYXYX或 sBsAsC(4) 隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量之和的母函數(shù)的母函數(shù)：則立的整值隨機(jī)變量獨(dú)是與同分布的整值隨機(jī)變量是相互獨(dú)立具有相若NjjnXY，XXNX，XX12121, sPGsH 的母函數(shù)、分別是、其中1XNsPsG sPGsPlNPskXPlNPslNkYPlNPslNkYPlNPslNUkYPskYPsHllklkljjklkkklkklkk00010000000/,證平均值的求商店

35、的日銷售額的錢又設(shè)每位顧客所化人的泊松分布服從參數(shù)設(shè)商店在一天的顧客數(shù)例ZNXNi,50,100,10002元解：1000001001000100100011EXENEZ，EXEN 11111EXENPGsPsPGsHEYss維正態(tài)分布n5 . 1一、密度函數(shù)與特征函數(shù)的聯(lián)合概率密度為：若維隨機(jī)變量定義nXXXX,21 axBaxBxxxfxfnnn12/12/2121exp21, 是對稱陣是常向量式中nxnijnbBaaaa,21BaNXnnX,記為維正態(tài)分布，維正態(tài)隨機(jī)變量或服從為則稱陣。的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差矩分別是隨機(jī)向量XBa,其特征函數(shù)為： Bttta ietttgtgBtttian2

36、1exp,2121njiaXaXEbnjEXajjiiijjj,1,1其中 服從一元正態(tài)分布個(gè)線性組合的充要條件是它的任一元正態(tài)分布服從njjjnXlZBaNnXXXX121,1二、幾個(gè)常用結(jié)論二、幾個(gè)常用結(jié)論nkjjkkjnjjjbllalN1,1,21exp),(BtttiaeEBaNXXit，則若證：),(,),(,21211nnnjjjXXXXllllXlXlZ為實(shí)數(shù)，則，取uult )(21)(exp)()(21)( exp)(2)(BllulaiuulBululiaeEeEugXuliiuZ),(BllalNZu以是任意實(shí)數(shù)都成立，所對),(BllalNXlZ 若21exp1)(B

37、llliaeEuugXil ，得：中取在),(BaNXl的任意性，所以由于 陣為任意，而元正態(tài)分布服從若nmABaNnX，XXXn,221nm：AAABAaNmAXY的秩注元正態(tài)分布服從則,AABAaXaXAEaYaYEBXXYYYX XYAaAEXAXEYE：a證 tBtta itAABttAaitABtAtAa ieEeEeEtgYYXXXXXtAiAXt iYt iY21exp21exp21expAABAaNYYXX,為正態(tài)隨機(jī)變量1.6 1.6 條件期望條件期望 ，且一個(gè)隨機(jī)變量，上的是概率空間設(shè)定義0,WAPF，APFX kxAPAxXPAxXPAxF，則稱/一、條件分布及條件期望（1）隨機(jī)變量關(guān)于事件的條件分布及條件期望的條件分布函數(shù)。關(guān)于事件為AX條件數(shù)學(xué)期望：AxdFxAXE/（2）離散型隨機(jī)變量的條件分布律及條件期望iijjijjipyjipyYxXPYX02 , 1,，有若對于給定的聯(lián)合分布律：是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量設(shè)定義jiijiijiijyYPpxpxyYXE11/的條件分布律；關(guān)于為則稱jjijjijiyYXppyYxXPp/的條件期望為：關(guān)于則jyYX 密度及條件期望連續(xù)型隨機(jī)變量的條件3聯(lián)合密度函數(shù)為：是兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)定義，YX dxyxfyxfyfyxfyxfY,/則稱0,2dxyxfyRyxyxf有對