工程力學(xué)C：第三章 力偶系

1、2022年年3月月22日日2022-3-221引言引言力力 是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。物體運(yùn)動(dòng)狀物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變態(tài)的改變移動(dòng)移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)用用力矢力矢來(lái)度量來(lái)度量用用力矩力矩來(lái)度量來(lái)度量力矩是力矩是度量力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)度量力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量。的物理量。力矩本質(zhì)上仍是力。力矩本質(zhì)上仍是力。2022-3-222目錄2022-3-223ABdF3-1 3-1 平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念和計(jì)算平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念和計(jì)算( )OMFF d ( )2OMFOAB ( )OMF2022-3-224 R12()()()()()OOOOnOiMFMFMFMFMF證明：證明：cbdO

2、xOb = Oc + Od()2OMFOABOA Ob R1()2OMFOACOA Oc 2()2OMFOADOA Od R12()()()OOOMFMFMFR()()OOiMFMF而：而：R12FFFABRFDC1F2F3-1 3-1 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩2022-3-225( )()()OOxOyyxMFMFMFxFyFR()()OiiyiixMFx Fy FyxAOxyFxFyF3-1 3-1 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩2022-3-226Or 已知：已知：F，r求：力求：力 F 塊對(duì)輪心塊對(duì)輪心O的力矩。的力矩。h解：（解：（1）直接計(jì)算）直接計(jì)算( )cosOMFFhFr（

3、2）利用合力之矩定理計(jì)算）利用合力之矩定理計(jì)算r( )()()()cosOOOtOtMFMFMFMFFrFrFtF3-1 3-1 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩2022-3-2273-2 3-2 平面力偶理論平面力偶理論2022-3-228FABdCF力偶臂力偶臂力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶矩力偶矩:MFd 力偶力偶()M F,F M3-2 3-2 平面力偶理論平面力偶理論2022-3-229性質(zhì)性質(zhì)1 1. .力偶不能合成為一個(gè)力，力偶不能合成為一個(gè)力，故力偶也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。故力偶也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。因此因此力力和和力偶力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基是靜力學(xué)的兩個(gè)

4、基本要素。本要素。性質(zhì)性質(zhì)2 2. .力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩與矩心位置無(wú)關(guān)，恒等于力偶矩與矩心位置無(wú)關(guān)，恒等于力偶矩。矩。(,)()( )()()OOOMF,FMFMFF dxMFMF xd F F驗(yàn)證：驗(yàn)證：FOxdF3-2 3-2 平面力偶理論平面力偶理論2022-3-2210性質(zhì)性質(zhì)3 3. .平面力偶等效定理：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果平面力偶等效定理：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩個(gè)力偶彼此等效。力偶矩相等，則兩個(gè)力偶彼此等效。推論推論1：；推論推論2：MMM注：性質(zhì)注：性質(zhì)3 3只適用于剛體。只適用于剛體。FdFF0 0ABF0 0DCF2F

5、1 1F 2 2F1 1F0 0F 0 03-2 3-2 平面力偶理論平面力偶理論力偶二要素力偶二要素: 大小和轉(zhuǎn)向大小和轉(zhuǎn)向2022-3-22113-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡31 11FdFdM 4222F dF dM4343,FFFFFF4321()MFdFF dMM=0iMiMM ABd1Fd12Fd21F2F3F3F4F4FABFdF2022-3-2212BF？MaaABCa求：求：A、 C 處約束力。處約束力。已知：已知：a, M解：解：（1）取取AB為研究對(duì)象為研究對(duì)象（2）取）取BC為研究對(duì)象為研究對(duì)象BCABM0,20AMMFa22ABFFMaB

6、22CBFFFMa 若將此力偶移至若將此力偶移至BC構(gòu)件上，再求構(gòu)件上，再求A、C處約束力。在此處約束力。在此種情況下，力偶能否在其作用面內(nèi)移動(dòng)，力偶對(duì)任意點(diǎn)之矩種情況下，力偶能否在其作用面內(nèi)移動(dòng)，力偶對(duì)任意點(diǎn)之矩是否還等于力偶矩。是否還等于力偶矩。BFCFAF3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡2022-3-2213M1M2CABDM2CDM1AB解解: (1)取取AB為研究對(duì)象為研究對(duì)象(2) 取取CD為研究對(duì)象為研究對(duì)象求：平衡時(shí)求：平衡時(shí)M1、M2之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。已知：已知：AB=CD=a, BCD=3010,cos30= 0BMF aM解得解得13=2

7、BaMF2= 0,sin30 = 0CMMF a2C1=2Ma F解得解得因?yàn)橐驗(yàn)?FB = FCBFAFCFDF3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡2022-3-2214DBCMaaEDCBAaa求：求：A、B、C、D、E處處的約束力。的約束力。解解: (1) 取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象= 0,= 0AMMF a=ABMFFa(2) 取取BCD為研究對(duì)象為研究對(duì)象DF確定確定 D 處約束力的方向處約束力的方向BFAFBFCF3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡2022-3-2215CAE EF(4) 取取ACE為研究對(duì)象為研究對(duì)象o= 0

8、,sincos45 = 01sin=5yCEFFF5=CMFaMDE(3) 取取DE為研究對(duì)象為研究對(duì)象o= 0,sin45= 0DMF aM2=DEMFFaEFDFAFCFMaaEDCBAaaBFAF3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡2022-3-2216PRMoAMMBC 當(dāng)當(dāng) M=PR 時(shí)，系統(tǒng)處于平時(shí)，系統(tǒng)處于平衡，因此力偶也可以與一個(gè)力衡，因此力偶也可以與一個(gè)力平衡，這種說(shuō)法對(duì)嗎平衡，這種說(shuō)法對(duì)嗎? 圖示系統(tǒng)平衡否，若平衡，圖示系統(tǒng)平衡否，若平衡，A、B處約束力的方向應(yīng)如何確處約束力的方向應(yīng)如何確定。定。思考題？思考題？3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡

9、平面力偶系的合成與平衡2022-3-2217空間的力對(duì)空間的力對(duì)O點(diǎn)之矩取決于：點(diǎn)之矩取決于：（1）力矩的）力矩的 大小大小；（2）力矩的）力矩的 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向；（3）力矩）力矩 作用面方位作用面方位。3-4 空間力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩 須用一矢量表征須用一矢量表征( )OM FOA(x,y,z)BhyxzFr( )=2OM FFhOAB2022-3-2218xyzr=xi+yj+zkF=Fi+F j+Fk( ) =()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF kOA(x,y,z)Bhyxz( )OM FFr定位矢量定位矢量( )O

10、M F3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-2219Oxyzh 力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)軸與平面交軸的平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)的矩。點(diǎn)的矩。 力對(duì)軸之矩用來(lái)表征力對(duì)軸之矩用來(lái)表征 當(dāng)力與軸在當(dāng)力與軸在同一平面同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。BAFbzFxyF( )zM F( )=()= 2zOxyxyM FM FF hOAb 注：注：3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-2220( ) =( ) =( ) =xzyyxzzyxMFyFzFMFzFxFMFxFyFy(

11、)=()=( )+( )=zOxyOxOyxM FM FM FM FxF yFxyzxyzF=F+F+F=Fi+F j+FkyzOxA(x,y,z)BabxyFzFxFyFxyFxFyF3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-2221( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。于力對(duì)該軸的矩。( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k( )=( )=( )=x

12、zyyxzzyxM FyF zFM FzF xFM FxFyF3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-2222（1）力對(duì)點(diǎn)的矩）力對(duì)點(diǎn)的矩 ( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k回顧：回顧：空間力矩的計(jì)算空間力矩的計(jì)算OA(x,y,z)Brhyxz( )OM FF( )=2OM FFhOAB2022-3-2223 力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該軸的力對(duì)軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)的矩。平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)的矩。（2）力對(duì)軸的矩）力對(duì)軸的矩 ( )( )( )xzyyxzzyxMFyF

13、zFMFzFxFMFxFyFOABabhzFxyFyzOxA(x,y,z)BabxyFxFyFzFxFyFxyF( )()2zOxyxyMFMFF hOab 2022-3-2224（3）力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系）力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。投影，等于力對(duì)該軸的矩。( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F2022-3-2225解：解：(1) 直接計(jì)算直接計(jì)算z( )Oxyi j kM F r Fx y zF F F 0=cossin=cosc

14、os=sinxyzxaybzFFFFFF3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩求：求：已知：已知：F、 a、b、 、 ( )OM F2022-3-2226( ) =( )( )( )=sinsin(cossincoscos)OxyzMFMF iMF jMF kFbiFajFbFak(2) 利用力矩關(guān)系利用力矩關(guān)系( ) =sin( ) =sin( ) =cos sincos cosxzyzzyxMFF bFbMFF aFaMFxFyFFbFa3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-2227222( ) =( ) cos=+OAOMFMFFababc已知：

15、已知： F 、 a、b、c求：求： 力力F 對(duì)對(duì)OA軸之矩軸之矩( ) = 0000OijkMFrFbFFbi（2）利用力矩關(guān)系）利用力矩關(guān)系( )OM FzOabcAxy F3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩解：（解：（1）計(jì)算）計(jì)算( )OM F2022-3-2228( )/ 200/ 2/ 2+22 22 2DBMFrFijkbbFFFbFbFbijk 已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：力求：力 F 對(duì)對(duì)OA 邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：利用力矩關(guān)系解：利用力矩關(guān)系xyz22+22+2BFFjFkbribjOAB

16、CDF3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-222911=+22ACnik( )( )11() ()22 22 2224ACDACMFMFnFbFbFbijkikFb OABCDxyzF( )+22 22 2DFbFbFbMFijk3-4 3-4 空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩空間力對(duì)點(diǎn)和軸之矩2022-3-22303-5 空間力偶理論空間力偶理論(1) 力偶矩的大??；力偶矩的大小；(2) 力偶的轉(zhuǎn)向；力偶的轉(zhuǎn)向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 空間力偶矩矢為空間力偶矩矢為自由矢量自由矢量，即可以在保證大小和方向不，即可以在保證大小和方向不變的情況下在剛體內(nèi)任意移

17、動(dòng)。變的情況下在剛體內(nèi)任意移動(dòng)?？臻g力偶的定義空間力偶的定義:右手螺旋右手螺旋FBAFM2M2F2F力偶矩矢：力偶矩矢： 或或 M()M F,F 2022-3-2231BA證明：證明：FB1A11F2FORF兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的。自由矢量自由矢量MFRF2F1F2022-3-2232 空間力偶系的合成與平衡空間力偶系的合成與平衡xyzMM iM jM k121212=+=+=+=xxxnxixyyynyiyzzznzizMMMMMMMMMMMMMMM222=+cos() =cos() =cos() =xyzxyzMMMMMM,iMMM,

18、jMMM,kM 合力偶矩矢：合力偶矩矢：12=+=niMMMMMzOxyABC1M2M3MnM2022-3-2233000ixiyizMMM0niiM1xyzMMMM2222022-3-22341F1F2F2Fxyz1o2oAB10,nixiM已知已知 O1和和O2圓盤與水平軸圓盤與水平軸AB固連固連 ， O1盤垂直于盤垂直于z軸，軸， O2盤垂直于盤垂直于x軸，盤面上分別作用力偶，如圖示。兩盤半軸，盤面上分別作用力偶，如圖示。兩盤半徑徑r=20 cm,F1=3 N,F2=5 N, AB=80 cm，不計(jì)構(gòu)件自重，不計(jì)構(gòu)件自重，試計(jì)算軸承試計(jì)算軸承A和和B處的約束力。處的約束力。解：取整體為研

19、究對(duì)象解：取整體為研究對(duì)象AxFAzFBxFBzF10,niziM220AzFrFAB120AxFrFAB解得：解得：1.5 NAxBxFF2.5 NAzBzFF2022-3-22353-6 結(jié)論與討論結(jié)論與討論1. 平面力對(duì)點(diǎn)之矩平面力對(duì)點(diǎn)之矩()2OMF dOAB F2. 合力矩定理：合力矩定理：R12()()()()()OOOOnOiMFMFMFMFMF 3. 平面力偶和力偶矩平面力偶和力偶矩力偶力偶兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。2022-3-2236 力偶在任一軸上的投影等于零，且對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒力偶在任一軸上的

20、投影等于零，且對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，力偶矩與矩心的位置無(wú)關(guān)。等于力偶矩，力偶矩與矩心的位置無(wú)關(guān)。4. 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡平衡條件：平衡條件：0iMiMM合成結(jié)果：合成結(jié)果：力偶的等效定理：力偶的等效定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。則彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。MFd 力偶矩2022-3-2237（1）力對(duì)點(diǎn)的矩）力對(duì)點(diǎn)的矩 ( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k5. 空間力矩的計(jì)算空間力矩的計(jì)算OA(x,y,z)Brhyxz( )OM FF( )=2OM