數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)

1、?2.3數(shù)學(xué)歸納法?教學(xué)設(shè)計(jì)湖北省通城縣第一中學(xué)魏 剛一、【教材分析】本節(jié)課選自?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修 2-2人教A版?第二章第三節(jié)?數(shù) 學(xué)歸納法?。在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)用不完全歸納法得出了許多結(jié)論，例如某些數(shù)列的通 項(xiàng)公式，但它們的正確性還有待證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是在合情推理的根底上，對(duì)歸 納出來(lái)的與正整數(shù)有關(guān)的命題進(jìn)行科學(xué)的證明，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演 繹過(guò)程。通過(guò)把猜測(cè)和證明結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)的思維。本節(jié)課是數(shù) 學(xué)歸納法的第一課時(shí)，主要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理， 并能夠用數(shù)學(xué)歸納法解決一些簡(jiǎn)單 的與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。二、

2、【學(xué)情分析】學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課新知的過(guò)程中可能存在兩方面的困難：一是從“骨牌游戲原理啟發(fā)得 到“數(shù)學(xué)方法的過(guò)程有困難；二是解題中如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法，尤其是第二步中如何使 用遞推關(guān)系，可能出現(xiàn)問(wèn)題。三、【策略分析】本節(jié)課中教師引導(dǎo)學(xué)生形成積極主動(dòng)，勇于探究的學(xué)習(xí)精神，以及合作探究的學(xué)習(xí)方式； 注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；體驗(yàn)從“實(shí)際生活 一一理論一一實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程；采用“教 師引導(dǎo)一一學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，在教與學(xué)的和諧統(tǒng)一中，表達(dá)數(shù)學(xué)的價(jià)值，注重信 息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的合理整合。四、【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能目標(biāo)：理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明某些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有

3、關(guān)的命題。2過(guò)程與方法目標(biāo)：努力創(chuàng)設(shè)愉悅的課堂氣氛，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氣氛中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)歸納遞推的數(shù)學(xué)思想。3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的思想，由生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，提 高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜測(cè)，小心求證，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的數(shù) 學(xué)能力。五、【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的根本思想，掌握它的根本步驟，能熟練運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推關(guān)系的應(yīng)用。六、【教學(xué)方法與工具】教法指導(dǎo)：本節(jié)課采用的教學(xué)方法是“啟、

4、思、演、練、結(jié)五字教學(xué)法，即：以具體的例子引入課題，啟發(fā)學(xué)生想去了解歸納法；通過(guò)提出問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生積極思考； 借助電腦的動(dòng)畫(huà)演示，提高直觀性與趣味性，延長(zhǎng)學(xué)生有意注意的時(shí)間；教學(xué)中，及時(shí)精 選一些練習(xí)幫助學(xué)生穩(wěn)固與強(qiáng)化知識(shí)，而“結(jié)那么包含兩方面的內(nèi)容1授課中教師的及時(shí)小結(jié)與點(diǎn)撥2聽(tīng)課時(shí)學(xué) 生的自我小結(jié)與穩(wěn)固。學(xué)法指導(dǎo)：1學(xué)習(xí)要求：課前預(yù)習(xí)教材中有關(guān)內(nèi)容；聽(tīng)課時(shí)積極思考大膽質(zhì)疑； 課后及時(shí)完成課外作業(yè)。2指導(dǎo)措施：通過(guò)設(shè)置問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生大膽思考；由具體 的事例吸引學(xué)生注意，通過(guò)直觀模型演示，化抽象為具體，突破教學(xué)難點(diǎn)；借助電腦聲像 效果，營(yíng)造愉悅課堂氣氛，提高學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)手段：多

5、媒體輔助課堂教學(xué)。七、【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維說(shuō)明引入數(shù)學(xué)歸納法的必要性情境一某人看到樹(shù)上有一只烏鴉，深有感觸“天下烏鴉一般黑。這個(gè)結(jié)論是否正確呢?情境二在數(shù)列an中，ai1,an 1d*rt(n N)發(fā)現(xiàn)aii2， a31a4-,由此猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an41 *-(n N).這個(gè)結(jié)論可靠嗎？怎樣才能說(shuō)明其正n確性?【設(shè)計(jì)意圖：】為了引入本節(jié)課的問(wèn)題，首先復(fù)習(xí)之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，承上啟下。以上兩個(gè)情境 都是不完全歸納法的表達(dá)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果不一定正確，而這里實(shí)際上表達(dá)了數(shù)學(xué)中的歸納思想。 歸納法分為“不完全歸納法只驗(yàn)證幾個(gè)個(gè)體成立，得到一般性結(jié)論，但結(jié)論不一定正確 和“完全歸納法

6、驗(yàn)證每個(gè)個(gè)體都成立，得到一般性結(jié)論，其結(jié)論一定正確。二、搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生興趣【實(shí)例：】播放多米諾骨牌的游戲視頻【探究：】多米諾骨牌全部倒下的條件【分析：】實(shí)驗(yàn)一：丨在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距適宜。用手推第一塊骨牌，但沒(méi)有推倒，第 塊骨牌，第三塊骨牌 自然也沒(méi)有倒下，游戲失?。?實(shí)驗(yàn)二：丨在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌間距出現(xiàn)分化，使第一塊骨牌和第二塊骨牌間距足夠 大，其他間距不變。這時(shí)用手推倒第一塊骨牌，但第二塊沒(méi)倒下，第三塊、第四塊 也沒(méi)有倒下，游戲失敗。此時(shí)讓學(xué)生比照實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)，分析原因；實(shí)驗(yàn)三：丨在該實(shí)驗(yàn)中用手推倒第一塊骨牌，然后第二塊骨牌 全部骨牌依次倒下；【設(shè)計(jì)意圖：】通過(guò)三個(gè)不盡相同而又密切相

7、關(guān)的實(shí)驗(yàn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生從不同角度，比照感悟數(shù)學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維由隱形到顯性，由模糊到清晰，由片面到完整的過(guò)渡。三、立足生活，點(diǎn)燃思維的火花由多米諾骨牌游戲的原理啟發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)方法，解決情境二的問(wèn)題。第一塊骨牌必須要倒下任意相鄰的兩塊骨牌，假設(shè)前一塊倒下，那么后一塊也倒下1 *當(dāng)n 1時(shí)，猜測(cè)成立任意相鄰的兩項(xiàng)，假設(shè)n k時(shí)，猜測(cè)成立，即ak -(k N ),k1 那么當(dāng) n k 1 時(shí)ak1 乩二 (k N*) k1 1 ak 11 k 1k即當(dāng)n k 1時(shí)猜測(cè)成立1發(fā)現(xiàn)，對(duì)任意的正整數(shù)n猜測(cè)都成立，即該數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an -(n N*).n四、師生合作，形成概念。一般地，證明一個(gè)與正

8、整數(shù)n有關(guān)的命題，可以按照以下步驟進(jìn)行：1歸納奠基證明當(dāng)n取第一個(gè)值no noN時(shí)命題成立;2歸納遞推假設(shè)n k(k n0, k N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立完成這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)從no開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。上述這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法?！締?wèn)題一：】在上面第一步中，n是否必須從1開(kāi)始取值？假設(shè)不是，用反例說(shuō)明五、講練結(jié)合，穩(wěn)固概念【例：】用數(shù)學(xué)歸納法證明13 5.(2n 1) n2 1時(shí)，等式也成立?！驹O(shè)計(jì)意圖：】此題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程。首先， 證明出來(lái)；然后再讓學(xué)生當(dāng)“小老師，尋找另外一種證明過(guò)程中的錯(cuò)誤，通過(guò)糾錯(cuò)這一思維 過(guò)程，澄清了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)

9、的模糊認(rèn)識(shí)，“先正后反有助于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法。證明：(1)當(dāng) 1n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立;(2)假設(shè)nk( kN*)時(shí)等式成立，即:135(2k1)k2那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊135(2k1)1(2k1)( k1)2(k1)2右邊nk1時(shí)等式成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)nN*都成立。證明:(1)當(dāng)n【問(wèn)題二：】在證明過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)是如下這樣證明的：他的做法對(duì)嗎?那么等式成立;1時(shí)，左邊=1，右邊=1，假設(shè)n那么當(dāng)n時(shí)，等式成立，即11時(shí)，有(2k1) k2，(2k 1)-(2k1) (k 1)21時(shí)，等式也成立, 錯(cuò)因：第k+1步的結(jié)論不是以第 因此得到的結(jié)果未必正確 改

10、正：即當(dāng)nk步為條件得出的,N ,等式成立。證明過(guò)程中沒(méi)有用到第二步的歸納遞推,k2k 1時(shí),5.(2k1)有(2k1)13(2k 1) (2k1)(k即當(dāng)n k教師將一道題目用數(shù)學(xué)歸納法完整的【練習(xí)】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 22232n2 n(n l)62n 1)(n N*)證明： 當(dāng)n 1時(shí)，左邊：121，右邊：-一一1一空一1(k1)( k2)( 2kN*)二右邊左邊二右邊，等式成立。假設(shè)當(dāng)nk(k* rN )時(shí)等 式成 立，即122232.k2k(k1)( 2k61) * (kN )那么當(dāng)nk1(k N* r)時(shí)，左邊122 223k2( k 1)2k(k1)( 2k1)(k61)2即當(dāng)

11、n k 1時(shí)，等式也成立n N *等式成立?！驹O(shè)計(jì)意圖：】讓學(xué)生自己嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明之前學(xué)習(xí)中給出的公式一一正整數(shù)的平方和公式，加深了學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。當(dāng)堂檢測(cè)：1.觀察式子:11322 2，1115,12232322A1-1 臣111A 022n(n 2)2232n1C1112n1-1 r-2' 2(n > 2)23nn*右7，那么可歸納出式子為B. 11111A2)22n(n2232n1D. 11112nA22' 2(n2)23n2n12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a,，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an agn 1，前n項(xiàng)和公 式是Sn普(q六、回憶總結(jié)，反思

12、提高(1) 數(shù)學(xué)知識(shí)：數(shù)學(xué)歸納法 一一兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；(2) 數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題；(3) 數(shù)學(xué)思想：歸納思想、遞推思想。七、分層作業(yè)一、選擇題1 .用數(shù)學(xué)歸納法證明12 3252時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為A. (2k)2 B. (2k 3)22 1 2(2n 1)2 n(4n23C. (2k 1)2 D. (2k2凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸n+1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n)+n -11n 2A.f( n)+n +1 B.f(n )+n3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n=k+1時(shí)，不等式左邊1A.增加了一項(xiàng)'2(kC.增加了 “一12k二、填空題Sn5 假設(shè) f(k) =1三、解答題1)過(guò)程中，由n k遞推到n k 12)21)12(k1)C.1n 1B.D.12nf(n +1)為f(n)+n -213一 (n 2)