數(shù)列求和常用的五種方法

1、數(shù)列求和常用的五種方法一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:n(a1 an)Sn2nan(n 1)d22、等比數(shù)列求和公式:na1印(1 qn)(q 1)3、Snk n( n 1)k 124、nk2k 11護(hù) 1)(2n1)5、Snk3k 11尹n 1)1.log3 xlog 2 31，求xx2x3解：由log 3 xlog2 3log3 xlog 3 2Snx x2=x(1 x1 x12n12a a.q1 q(q 1)的前n項(xiàng)和.由等比數(shù)列求和公式得12n二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種

2、 方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是 等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 2.求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n - 1的通項(xiàng)與等比 數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積當(dāng) X 1時(shí)，Sn 13 5>IZ設(shè)xSn 1X3x2 5x3 7x4(2n 1)xn設(shè)制錯(cuò)位一得(1X)Sn 1 2X2x22x3 2x42x1(2n 1)xn錯(cuò)位相減再利用等的求和公(11x)Sn 1 2x 1(2n1)xa0, abnSn1，數(shù)列an lga,(2n 1)xn 11)xn (1 x)2(2nan是首項(xiàng)為a.(nN)，求數(shù)

3、列bn(1 x)公比也為a的等比數(shù)列,的前n項(xiàng)和Sn。解析:a,SaSnn ua ,bnn(a 2a2,23(a 2an a3alga33a4n nan na)lg a1)lg a-得：(1 a)Sn/ 2(a ana na1)lgaSna lg a2 1(1 n na)a(1 a)點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列an的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，那么數(shù)列1 2n 1 n72n 12anbn的前n項(xiàng)和Sn求解，均可用錯(cuò)位相減法。三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù) 列倒過(guò)來(lái)排列反序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(ai務(wù)).f(-)f(n 1)nn的值;2數(shù)列an滿足：

4、an1f(0) f()2 f()nn列an是例4.函數(shù)f(x)對(duì)任意x R，都有f(x) f (1 x)f(- 1) f(1)，數(shù)n等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給與證明。3bn44a-1S-3216nTn b,2 b22bn2試比擬Tn與Sn的大小。解：1令x 1,可得f(1)丄，2242anf(0)f(-)f(-)nn,n1上n 2anf(1)f()f ()nn1n 12 anf(0)f(1)f()f()nnn 1an43bn -,Tn16(11 1.2影n2332Sn1 n 1111f() f (- -)f() f(1 -)-nnnn 2n 1f() f (1)n2 1f (-) f (1)f(0)nn

5、f(1)f(0)1(n 1)21 1112)16(1-)n1 223(n 1) n16n四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類(lèi)數(shù) 列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、 再將其合并即可 例5.求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和,求和例6.A解：設(shè) Sn(1 1) (- 4)a111,4,-2aa1(27)a7, ,4 3n 2， a1(h 3n 2)a將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得1 1Sn (1-2a a當(dāng)a= 1時(shí),1)(14aSn3n 2)分組Sn = 2=(3n1)n2分組1n a1丄a求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前當(dāng)a 1時(shí)，Sn>1/(3n

6、 1)n2n項(xiàng)和.解：設(shè) ak k(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 knn3Sn k(k 1)( 2k 1) =(2kk 1k 1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nnn32k 3 kkk 1k 1k 1分組23k k)(3n1)n2=2(13 23n3) 3(1222n2) (1 2n)2 2=n (n 1) n(n 1)(2n 1)2n(n22H = n(n 1) (n22)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng), 最終到達(dá)求和的目的.通項(xiàng)分解裂項(xiàng)如：1f(n 1) f(n)2si n1cos n cos(n 1)tan(n 1)tann3a1 1 n(n 1) n4an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 12(2n 112n 1)5_ 1 n(n1)( n 2)(n 1)(n(6) ann 2n(n 1)12n2(n1) n n(n 1)12n1n 2n 1缶那么S例7.求數(shù)列解：設(shè)a的前n項(xiàng)和._n 1裂項(xiàng)裂項(xiàng)求和=C.2 d) (.3. 2)n) * n