有理數(shù)乘方概念

1、.有理數(shù)乘方22、73也可以看做是乘方運(yùn)算的結(jié)果，這時(shí)它們表示數(shù)，分別讀作“2的2次冪”、“7的3次冪”，其中2與7叫做底數(shù)（base）,2與3叫做指數(shù)（exponent）。這種求n個(gè)相同因數(shù)a的積運(yùn)算叫做乘方（power），乘方的結(jié)果叫做冪（power），a叫做底數(shù)（base number），n叫指數(shù)（exponent）。任何數(shù)的0次方都是1，例：3º=1（注：0º無(wú)意義）有理數(shù)乘方同底數(shù)冪法則同底數(shù)冪相乘除，原來(lái)的底數(shù)作底數(shù)，指數(shù)的和或差作指數(shù)。推導(dǎo)：設(shè)am*an中，m=2，n=4，那么a2*a4=（a*a）*(a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a=a6=a(2+4

2、)所以代入：am*an=a(m+n)用字母表示為：am·an=a(m+n) 或 am÷an=a(mn) （m、n均為自然數(shù)）1）152×153； 2）32×34×38； 3）5×52×53×54××5901）152×153=15(2+3)=1552）32×34×38=3(2+4+8)=3143）5×52×53×54××590=5(1+2+3+90)=540951有理數(shù)乘方正整數(shù)指數(shù)冪法則ak=a*a*.*a（k個(gè)a）

3、，其中kN*（即k為正整數(shù)）有理數(shù)乘方指數(shù)為0冪法則a0=1 ，其中a0 ，kN*推導(dǎo)：a0=a(1-1)=(a1)/(a1)=a/a=1有理數(shù)乘方負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則a(-k)=1/(ak) ，其中a0,kN*推導(dǎo)：a(-k)=a(0-k)=(a0)/(ak)=1/(ak)2有理數(shù)乘方正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪法則a(m/n)=，其中n0 ， m/n>0，m,nN*（即m,n為正整數(shù)）有理數(shù)乘方負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪法則a-(m/n)=，其中，am0（0，a0），m/n>0，n0，m,nN*推導(dǎo)：a-(m/n)=a(0-m/n)=(a0)/a(m/n)=1/a(m/n)=1/=分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，當(dāng)n=2k,kN

4、*， 且am<0時(shí)，則該數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義特別地，0的非正數(shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義有理數(shù)乘方平方差兩數(shù)和乘兩數(shù)差等于它們的平方差。用字母表示為：（a+b）（a-b)=a2-b2推導(dǎo)：(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=(a2+ab)-(b2+ab)=a2-b23有理數(shù)乘方冪的乘方法則冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。用字母表示為：（am）n=a(m×n)冪的乘方特別指出：amn=a(mn)有理數(shù)乘方積的乘方積的乘方，先把積中的每一個(gè)因數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘。用字母表示為：（a×b）n=an×bn這個(gè)積的乘方法則也適用于三個(gè)以上乘數(shù)積的乘方。如：（a

5、×b×c）n=an×bn×cn有理數(shù)乘方同指數(shù)冪乘法同指數(shù)冪相乘，指數(shù)不變，底數(shù)相乘。用字母表示為：（an）*（bn）=（ab）n有理數(shù)乘方完全平方兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方的和加上（或者減去）它們的積的2倍。用字母表示為：（a+b）2=a2+2ab+b2或（ab）2=a22ab+b2我們一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。有理數(shù)乘方立方和a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)有理數(shù)乘方立方差a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)4有理數(shù)乘方多項(xiàng)式平方(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac有理數(shù)乘方

6、二項(xiàng)式艾薩克·牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式。二項(xiàng)式是乘方里的復(fù)雜運(yùn)算。右圖為二項(xiàng)式計(jì)算法則。一般來(lái)說(shuō)，二項(xiàng)式也可以這樣表示：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 這就是著名的楊輝三角。有理數(shù)乘方速算有些較特殊的數(shù)的平方，掌握規(guī)律后，可以使計(jì)算速度加快，現(xiàn)介紹如下。由n個(gè)1組成的數(shù)的平方我們觀察下面的例子。12=1112=1211112=1232111112=1234321111112=1234543211111112=由以上例子可以看出這樣一個(gè)規(guī)律；求由n個(gè)1組成的數(shù)的平方，先由1寫(xiě)到n，再由n寫(xiě)到1，即：111（n個(gè)1）2=1234(n-1)n(n-1)

7、4321注意：其中n只占一個(gè)數(shù)位，滿(mǎn)10應(yīng)向前進(jìn)位，當(dāng)然，這樣的速算不宜位數(shù)過(guò)多。由n個(gè)3組成的數(shù)的平方我們?nèi)杂^察具體實(shí)例：32=9332=10893332=11088933332=11108889333332=1111088889由此可知：333（n個(gè)3）2 = 1111【(n-1)個(gè)1】0 8888【(n-1)個(gè)8】9個(gè)位是5的數(shù)的平方把a(bǔ)看作10的個(gè)數(shù)，這樣個(gè)位數(shù)字是5的數(shù)的平方可以寫(xiě)成；（10a+5）2的形式。根據(jù)完全平方式推導(dǎo)；（10a+5）2=（10a）2+2×10a×5+52=100a2+100a+25=100a×（a+1）+25=a×（a

8、+1）×100+25由此可知：個(gè)位數(shù)字是5的數(shù)的平方，等于去掉個(gè)位數(shù)字后，所得的數(shù)與比這個(gè)數(shù)大1的數(shù)相乘的積，后面再寫(xiě)上25。有理數(shù)乘方圖示(25=2*2*2*2*2)1一、目標(biāo)預(yù)設(shè)1、知識(shí)與技能（1）在現(xiàn)實(shí)背景中，理解有理數(shù)乘方的意義，敘述有理數(shù)乘方的概念；（2）能進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。2、過(guò)程與方法2變“冪”為“乘”是由轉(zhuǎn)化的思想把新問(wèn)題（有理數(shù)乘方）轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)（有理數(shù)的乘法）來(lái)解決。經(jīng)歷有理數(shù)乘方的概念的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)乘方概念與有理數(shù)乘法的聯(lián)系；3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)觀察、類(lèi)比、歸納得出正確的結(jié)論。發(fā)展綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)：在理解有理數(shù)乘方意義的

9、基礎(chǔ)上進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。2、難點(diǎn)：與所學(xué)知識(shí)進(jìn)行銜接，處理帶各種符號(hào)的乘方運(yùn)算。三、教學(xué)準(zhǔn)備1、教具：多媒體2、預(yù)習(xí)建議：（1）乘方的定義。（2）乘方的初步運(yùn)算。四、教學(xué)方法：引導(dǎo)探索法，嘗試指導(dǎo)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位五、教學(xué)設(shè)計(jì)思路：教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，注重學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中的思維，通過(guò)學(xué)生討論、歸納得出的知識(shí)，比教師的單獨(dú)講解要記得牢，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)的能力。然后通過(guò)一些練習(xí)來(lái)鞏固這些知識(shí)。1、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題聽(tīng)音頻資料，通過(guò)棋盤(pán)上的學(xué)問(wèn)一則故事，引入問(wèn)題：64個(gè)二相乘怎么計(jì)算.吸引學(xué)生注意，為下文引入乘方的概念鋪墊。師：到底國(guó)王傻不傻呢.大家先別急著下

10、結(jié)論，等大家學(xué)完了本節(jié)課程，就能回答這個(gè)問(wèn)題了。請(qǐng)大家看細(xì)胞分裂示意圖，由計(jì)算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂后細(xì)胞的個(gè)數(shù)，引入乘方的概念。師：有些時(shí)候，我們會(huì)遇到幾個(gè)相同因數(shù)相乘的式子，比如五個(gè)2相乘，我們要寫(xiě)很長(zhǎng)，這樣的式子有更簡(jiǎn)單的表示方式嗎.2、自主學(xué)習(xí)，講解定義（1）請(qǐng)大家閱讀課本關(guān)于有理數(shù)的乘方這節(jié)課程的內(nèi)容。（五分鐘）（2）請(qǐng)大家在閱讀的同時(shí)，思考屏幕上的三個(gè)問(wèn)題：（板書(shū)課題：有理數(shù)的乘方）什么叫乘方.求 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方用字母怎么表示.讀作什么.每個(gè)字母表示什么.分別請(qǐng)學(xué)生回答相關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。注： 乘方是一種和加減乘除一樣的一種運(yùn)算；指數(shù)n要以小寫(xiě)的形式寫(xiě)于底數(shù)的右上角；了解乘方的意義，從冪轉(zhuǎn)為乘。（3）了解乘方的指數(shù)，底數(shù)，冪的定義乘方的結(jié)果叫做冪；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。明確了表示a的冪的這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)之后，做幾道口答題?？雌聊唬没A(chǔ)題來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生參與討論回答的積極性，為后續(xù)學(xué)習(xí)熱身。有理數(shù)乘方性質(zhì)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都得0.有理數(shù)乘方例題某種細(xì)胞每過(guò)30分便由一個(gè)分裂成2個(gè)。經(jīng)過(guò)5h，這種細(xì)胞由一個(gè)能分裂成多少個(gè).解答：1個(gè)細(xì)胞30min后分裂成2個(gè)，1h后分裂成2×2個(gè)，1.5h后分裂成2×2×2個(gè)5h后