2018年全國(guó)卷高考復(fù)習(xí)平面向量知識(shí)總結(jié)+題型

1、第一部分第一部分平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作 0 0單位向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量非零向量a a的單位向量為a a|a a|平行向量方向相同或相反的非零向量0 0 與任一向量平行或共線(xiàn)共線(xiàn)向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線(xiàn)向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋?不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0 0 的相反向量為 0 02.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量

2、和的運(yùn)算(1)交換律：a ab bb ba a.(2)結(jié)合律：(a ab b)c ca a(b bc c)減法求a a與b b的相反向量b b的和的運(yùn)算叫做a a與b b的差a ab ba a(b b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a a的積的運(yùn)算(1)|a a|a a|；(2)當(dāng)0 時(shí)，a a的方向與a a的方向相同；當(dāng)0 時(shí)，a a的方向與a a的方向相反；當(dāng)0 時(shí)，a a0 0(a a)a a；()a aa aa a；(a ab b)a ab b3.共線(xiàn)向量定理向量a a(a a0 0)與b b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b ba a.【基礎(chǔ)練習(xí)】【基礎(chǔ)練習(xí)】1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“

3、”)(1)零向量與任意向量平行.()(2)若a ab b，b bc c，則a ac c.()(3)向量AB與向量CD是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a a，b b共線(xiàn)時(shí)，一定有b ba a，反之成立.()(5)在ABC中，D是BC中點(diǎn)，則AD12(ACAB).()2.給出下列命題：零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；若a a，b b都是單位向量，則a ab b；向量AB與BA相等.則所有正確命題的序號(hào)是()A.B.C.D.3.(2017棗莊模擬)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD13AB43AC，若BCDC(R R)，則()A.2B.3C.2D.34.(2015

4、全國(guó)卷)設(shè)向量a a，b b不平行， 向量a ab b與a a2b b平行， 則實(shí)數(shù)_.5.(必修4P92A12改編)已知ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O， 且OAa a，OBb b， 則DC_，BC_(用a a，b b表示).6.(2017嘉興七校聯(lián)考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD12AB，BE23BC，若DE1AB2AC(1，2為實(shí)數(shù))，則1_，2_.考點(diǎn)一考點(diǎn)一平面向量的概念平面向量的概念【例 1】 下列命題中，不正確的是_(填序號(hào)).若|a a|b b|，則a ab b；若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則“ABDC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若a

5、ab b，b bc c，則a ac c.【訓(xùn)練 1】 下列命題中，正確的是_(填序號(hào)).有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段；向量a a與向量b b平行，則a a與b b的方向相同或相反；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解析不正確，向量可以用有向線(xiàn)段表示，但向量不是有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段也不是向量；不正確，若a a與b b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實(shí)數(shù)，可以比較大小.答案考點(diǎn)二考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例 2】 (2017濰坊模擬)在ABC中，P，Q分別是AB，BC的三

6、等分點(diǎn)，且AP13AB，BQ13BC.若ABa a，ACb b，則PQ()A.13a a13b bB.13a a13b bC.13a a13b bD.13a a13b b【訓(xùn)練 2】 (1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么EF等于()A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12AB23AD考點(diǎn)三考點(diǎn)三共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用【例 3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a a與b b不共線(xiàn).(1)若ABa ab b，BC2a a8b b，CD3(a ab b).求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka ab b和

7、a akb b共線(xiàn).【訓(xùn)練 3】已知向量ABa a3b b，BC5a a3b b，CD3a a3b b，則()A.A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)B.A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)C.A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)D.B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)第第二部分二部分平面向量基本定理與平面向量基本定理與坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理如果e e1，e e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a a1e e12e e2.其中，不共線(xiàn)的向量e e1，e e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)

8、運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2)，a a(x1，y1)，|a a|x21y21.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)，|AB| （x2x1）2（y2y1）2.4.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab bx1y2x2y10.【基礎(chǔ)練習(xí)】【基礎(chǔ)練習(xí)】1.(2017東陽(yáng)月考)已知向量a a(2，4)，b b(1，1)，則 2a ab

9、 b等于()A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)2.(2015全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，則向量BC()A.(7，4)B.(7，4)C.(1，4)D.(1，4)3.(2016全國(guó)卷)已知向量a a(m，4)，b b(3，2)，且a ab b，則m_.4.(必修 4P101A3 改編)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi).考點(diǎn)一考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用平面向量基本定理及其應(yīng)用【例 1】 (2014全國(guó)卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EBFC()A.ADB.12ADC.

10、12BCD.BC【訓(xùn)練 1】 如圖， 已知ABa a，ACb b，BD3DC， 用a a，b b表示AD， 則AD_.考點(diǎn)二考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算【例 2】 (1)已知向量a a(5，2)，b b(4，3)，c c(x，y)，若 3a a2b bc c0 0，則c c()A.(23，12)B.(23，12)C.(7，0)D.(7，0)【訓(xùn)練 2】 (1)已知點(diǎn)A(1，5)和向量a a(2，3)，若AB3a a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(7，4)B.(7，14)C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015江蘇卷)已知向量a a(2，1)，b b(1，2).若ma anb b(

11、9，8)(m，nR R)，則mn的值為_(kāi).考點(diǎn)三考點(diǎn)三平面向平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示【例 3】 (1)已知平面向量a a(1，2)，b b(2，m)，且a ab b，則 2a a3b b_.(2)(必修 4P101 練習(xí) 7 改編)已知A(2，3)，B(4，3)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|AP|32|BP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).【訓(xùn)練 3】 (1)(2017浙江三市十二校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1，3)，B(4，1)，則與AB同方向的單位向量是()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35(2)若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).第三部分

12、第三部分平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a a和b b，記OAa a，OBb b，則AOB(0180)叫做向量a a與b b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a a與b b，它們的夾角為，則數(shù)量|a a|b b|cos_叫做a a與b b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a ab b，即a ab b|a a|b b|cos_，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0，即 0 0a a0.(3)數(shù)量積幾何意義： 數(shù)量積a ab b等于a a的長(zhǎng)度|a a|與b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘積.2.平面向量數(shù)量

13、積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，為向量a a，b b的夾角.(1)數(shù)量積：a ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2.(2)模：|a a|a aa ax21y21.(3)夾角：cosa ab b|a a|b b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)兩非零向量a ab b的充要條件：a ab b0 x1x2y1y20.(5)|a ab b|a a|b b|(當(dāng)且僅當(dāng)a ab b時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a ab bb ba a(交換律).(2)a ab b(a ab b)

14、a a(b b)(結(jié)合律).(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律).【基礎(chǔ)練習(xí)】【基礎(chǔ)練習(xí)】1.(2015全國(guó)卷)向量a a(1，1)，b b(1，2)，則(2a ab b)a a等于()A.1B.0C.1D.22.(2017湖州模擬)已知向量a a，b b，其中|a a| 3，|b b|2，且(a ab b)a a，則向量a a和b b的夾角是_.3.(2016石家莊模擬)已知平面向量a a，b b的夾角為23， |a a|2， |b b|1， 則|a ab b|_.5.(必修 4P104 例 1 改編)已知|a a|5，|b b|4，a a與b b的夾角120，則向

15、量b b在向量a a方向上的投影為_(kāi).6.(2017瑞安一中檢測(cè))已知a a，b b，c c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a a(1，2)，|b b|1，且a ab b與a a2b b垂直，則向量a ab b_；a a與b b的夾角的余弦值為_(kāi).【考點(diǎn)突破】【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用（用已知表示未知）（用已知表示未知）【例 1】 (1)(2015四川卷)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|6，|AD|4，若點(diǎn)M，N滿(mǎn)足BM3MC，DN2NC，則AMNM等于()A.20B.15C.9D.6(2)(2016天津卷)已知ABC是邊

16、長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則AFBC的值為()A.58B.18C.14D.118【訓(xùn)練 1】 (1)(2017義烏市調(diào)研)在 RtABC中，A90，ABAC2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足BE13BC，則AEBD_.(2)(2017寧波質(zhì)檢)已有正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DECB的值為_(kāi)；DEDC的最大值為_(kāi).考考點(diǎn)二點(diǎn)二平面向量的夾角與垂直平面向量的夾角與垂直【例 2】 (1)(2016全國(guó)卷)已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，則m()A.8B.6C.6D.8(2)若向量a a(k，3)，b b(1，4)，c c(2，1