分布函數和離散隨機變數

1、2022/3/2214.分布函數和離散隨機變數分布函數和離散隨機變數 Distribution Functions and Discrete Random Variablesp2.4.1 隨機變數隨機變數(Random variables)定義定義 一個實值函數一個實值函數 X: SR 被稱為實驗的隨機被稱為實驗的隨機變數變數 假如假如， 對每一區(qū)間對每一區(qū)間 I R, 是一事件是一事件。 在機率在機率, 集合集合 通常簡寫成通常簡寫成 或或 簡單表示為簡單表示為 )(:IsXs)(:IsXsIX IX p3.隨機變數隨機變數(Random variables)例子例子：假設從假設從52張牌中

2、隨機地抽張牌中隨機地抽3張張(一個一個的一個一個的抽且放回去抽且放回去). 令令 X 表抽黑桃的張數表抽黑桃的張數;則則 X 是一個隨機變數是一個隨機變數. p4.隨機變數隨機變數(Random variables)假如黑桃出現表假如黑桃出現表 s，其他出現表，其他出現表 t，則，則x是一實值是一實值函數在所函數在所 定義的樣本空間上定義的樣本空間上 S=(s,s,s), (t,s,s), (s,t,s), (s,s,t), (s,t,t), (t,s,t), (t,t,s), (t,t,t), by X(s,s,s)=3, X(s,t,s)=2, X(s,s,t)=2, X(s,t,t)=1

3、, and so on. p5.隨機變數隨機變數(Random variables)P(X=0)=P(t,t,t)=27/64P(X=1)=P(s,t,t),(t,s,t),(t,t,s)=27/64P(X=2)=P(s,s,t),(s,t,s),(t,s,s)=9/64P(X=3)=P(s,s,s)=1/64假如抽牌且不放回去假如抽牌且不放回去P(X=i)=C(13,i)C(39,3-i)/C(52,3) for i=0,1,2,3. p6.隨機變數隨機變數(Random variables)例子例子：在美國在美國, 雙胞胎的人數比率近似雙胞胎的人數比率近似1/90. 令令 X 表示直到第一

4、對雙胞胎出生的出生數表示直到第一對雙胞胎出生的出生數 。 X 是隨機變數是隨機變數. p7.隨機變數隨機變數(Random variables)用用 T表示雙胞胎且表示雙胞胎且 N表示單胞胎表示單胞胎. X 是一在樣本空間是一在樣本空間上的實值函數上的實值函數 X 的可能值為的可能值為 1, 2, 3, ,.,NNNTNNTNTTS 9019089).()(11iiTNNNNPiXP p8.4.2分布函數分布函數(Distribution functions)定義定義:假如假如 X 是隨機變數是隨機變數(random variable), 則則函數函數 F 定義在定義在 且定義且定義 F(t)

5、=P(X=t) 是稱為是稱為 X 的的分布函數分布函數. ),(p9.分布函數分布函數(Distribution functions)分布函數的一些性質分布函數的一些性質:F 是非遞減函數是非遞減函數; 即即, if tu, then F(t)=F(u).2. 3.4. F 是右連續(xù)是右連續(xù); 即即, 在在R中每一中每一t, F(t+)=F(t) 1)(limtFt0)(limtFtp10.分布函數分布函數(Distribution functions) 有關有關X的事件的事件用用F表示的事表示的事件機率件機率有關有關X的事件的事件用用F表示的事表示的事件機率件機率X = aF(a)a X a

6、1 F(a)a X bF(b-) F(a)X aF(a-)a = X = a1 F(a-)a = X bF(b-) F(a-)X = aF(a) F(a-)p11.分布函數分布函數(Distribution functions)例子例子：下面是隨機變數下面是隨機變數X 的分布函數的分布函數 31322/112/212/1104/00)(xxxxxxxxFp12.分布函數分布函數(Distribution functions)計算計算:P(X2)P(X=2)P(1=X3/2)P(X=5/2)P(2X= 0p15.離散隨機變數離散隨機變數(Discrete random variables)定義定

7、義 隨機變數隨機變數X 的機率函數的機率函數(probability function) p 的可能值的可能值 x1, x2, x3, 是一從是一從R to R的函數的函數，滿足下列性質滿足下列性質. (a) p(x)=0 if x x1, x2, x3, (b) p(xi)=P(X=xi) and hence p(xi)=0 (c) 1)(1iixpp16.離散隨機變數離散隨機變數(Discrete random variables)例子例子： 此函數為機率函數嗎此函數為機率函數嗎?Sol: .0,.3 , 2 , 1) 3/2()(elsewherexcxpx21) 3/2(11iicp1

8、7.4.4離散隨機變數的期望值離散隨機變數的期望值( Expectations of discrete random variables)定義定義 隨機變數隨機變數X的期望值表為的期望值表為 其中其中p(x) 是機率函數而集合是機率函數而集合 A是是隨機變數隨機變數X 的可能值的可能值 假如級數使為絕對收斂則假如級數使為絕對收斂則E(X) 存在存在. E(X) 也稱為平均值也稱為平均值(mean)或或 X的期望值可用的期望值可用EX表示表示, 或或 .AxxxpXE)()(Xp18.離散隨機變數的期望值離散隨機變數的期望值( Expectations of discrete random va

9、riables)例子例子： 有一遊戲有一遊戲 , 玩者連續(xù)玩者連續(xù)拋錢幣直到出現正面拋錢幣直到出現正面. 假如假如出現正面出現正面發(fā)生在第發(fā)生在第K次次拋擲拋擲, 則則玩者贏玩者贏 2k 元元.問題問題: 要玩這遊戲要玩這遊戲, 人們要有多少錢才能玩這公平人們要有多少錢才能玩這公平的遊戲的遊戲? p19.離散隨機變數的期望值離散隨機變數的期望值( Expectations of discrete random variables)解解: 令令 X 表示玩者贏的錢表示玩者贏的錢. 則則 X 是一隨機變數是一隨機變數,可能值為可能值為 2, 4, 8, 且且 P(X=2k)=1/2k, k=1,

10、2, 3, 所以所以,這結果指出這結果指出即使人可能有大量金錢玩仍然是一不公平的遊戲即使人可能有大量金錢玩仍然是一不公平的遊戲. 1111)21(211kkkkEXp20.離散隨機變數的期望值離散隨機變數的期望值( Expectations of discrete random variables) 定理定理4.1 假如假如 X 是一常數隨機變數是一常數隨機變數, 即即, P(X=c)=1, c是常數是常數, 則則 EX=c. 定理定理4.2 令令 g 是一實值函數是一實值函數,則則 g(X) 是一隨是一隨機變數及機變數及 AxxpxgXgE)()()(p21.離散隨機變數的期望值離散隨機變數

11、的期望值( Expectations of discrete random variables) 預備定理預備定理 令令 g1, g2, , gn實值函數實值函數, 且且 令令 a1, a2, , an 是實數是實數. 則則 )()()()()()(22112211XgEaXgEaXgEaXgaXgaXgaEnnnnp22.4.5離散隨機變數的變異數及動差離散隨機變數的變異數及動差(Variances and moments of discrete random variables)定義定義 X的變異數的變異數(Variance) X的標準差的標準差(Standard deviation )

12、)()(2EXXEXVar)(XVarXp23.離散隨機變數的變異數及動差離散隨機變數的變異數及動差 定理定理 4.3 Var(X) = EX2 (EX)2 證明證明: Var(X) = E(X-EX)2 = EX2 2XEX + (EX)2 = E(X2) 2EXEX +(EX)2 = E(X2) (EX)2 應用應用: (EX)2 0 有有 P(|Y-w|=t) = P(|X-w|=t) 定理定理 4.6 假設假設 EX=EY=a. 如如 X 比比Y更集中在更集中在 a , 則則 Var(X)=0 是整數是整數, 且且 r0 任意任意實數實數. Eg(X)定義定義E(Xn)E(|X|r)E(X-c)E(X-c)nE(X-EX)nX第第 n 動差動差 X第第 n 絕對動差絕對動差X第第 1 動差動差 about cX第第 n