第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念考慮如下數(shù)列:21 111,.,.2 22n由此數(shù)列可構(gòu)造如下新的數(shù)列:1211, 1,.2SS 111122nnS 112112n12(1),2n顯然有1limlim2(1)22nnnnSS河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 很自然地,可將S=2理解為數(shù)列 各項(xiàng)相加(無(wú)限多項(xiàng))的和,并記為12n211112222n通常,簡(jiǎn)記為1122nn一般地,給定一個(gè)實(shí)數(shù)序列u1,u2,u3,稱u1+u2+un+為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)

2、數(shù),簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù),記為 ,即2nnu121 (8.1)nnnuuuu河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 其中第n項(xiàng)un稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng),u1稱為首項(xiàng),首項(xiàng)下標(biāo)也可記為其他整數(shù),如級(jí)數(shù) 的首項(xiàng)為u0,而級(jí)數(shù) 的首項(xiàng)為u2.0nnu2nnu級(jí)數(shù)(8.1)前n項(xiàng)之和記為Sn,即Sn=u1+u2+un (8.2)稱Sn為級(jí)數(shù)(8.1)的部分和.S1=u1, S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3,河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 這表明,級(jí)數(shù)(8.1)的部分和Sn構(gòu)成一個(gè)數(shù)列Sn有極限S;顯然,由式(8.2)有SnSn1=un,n=2,3, (8.3)定義8.1 設(shè)Sn為級(jí)數(shù)(8.1)的部分和.若數(shù)列Sn有極限S,即 ,則稱級(jí)數(shù)

3、(8.1)收斂,并稱極限值S為級(jí)數(shù)(8.1)的和,記為limnnSS121.nnnuuuuS如果部分和數(shù)列Sn沒(méi)有極限,則稱級(jí)數(shù)(8.1)發(fā)散.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.1 討論幾何級(jí)數(shù) 的斂散性.其中a,q為非零常數(shù).11nnaq解解 該級(jí)數(shù)的部分和為1(1)(1)1nnnaqSaaqaqqq(1)當(dāng)|q|1時(shí),有 .所以,當(dāng)|q|1時(shí),幾何級(jí)數(shù)收斂,且有l(wèi)im(1)nnSaq11(| 1)1nnaaqqq河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 (3)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na(n時(shí)),故級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)q=1時(shí), 時(shí),Sn的極限不存在,故級(jí)數(shù)發(fā)散. 11 ( 1),2nnaSn 總之,|q|1時(shí), .所以,|q|1

4、時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.limnnS 河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.2 討論級(jí)數(shù) 的斂散性.1(1)nnn n解解 由111(1)1nun nnn可知111 22 3(1)nnSn n11111(1) ()()2231nn111n 于是lim1nnS所以,所給級(jí)數(shù)收斂,且有111(1)nn n河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.3 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.11nn證證 由拉格朗日中值公式可知11ln(1)ln (1)nnnnn由此不等式可得1112nSn (ln2 ln1) (ln3 ln2)ln(1) ln nn ln(1)n于是limnnS 從而調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.11nn河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 定理8.1(級(jí)數(shù)收斂

5、的必要條件) 如果級(jí)數(shù)(8.1)收斂,則有l(wèi)im0 (8.4)nnu證證 因級(jí)數(shù)(8.1)收斂,故極限limnnS與1limnnS皆存在且極限值相等,于是,由式(8.3),有1limlim()nnnnnuSS1limlimnnnnSS這個(gè)定理很重要,常用來(lái)判別級(jí)數(shù)發(fā)散.0河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 但是,應(yīng)注意的是,式(8.4)成立時(shí),級(jí)數(shù)(8.1)不一定收斂.式(8.4)成立是級(jí)數(shù)(8.1)收斂的必要條件,而不是充分條件.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.4 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.2211nnnn解解 因?yàn)?21limlim 1 0nnnnnun所以,由定理(8.1)可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 二

6、、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)8.1 設(shè)a,b為常數(shù),級(jí)數(shù) 均收斂,則級(jí)數(shù) 收斂,且有11,nnnnuv1()nnnaubv111() (8.5)nnnnnnnaubvaubv證證 設(shè)級(jí)數(shù) 的部分和分別記為 ,則111(),nnnnnnnaubvuv,nnnS S S1122()()()nnnSaubvaubvaubv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 1212()()nnauauaubvbvbvnnaSbS因 收斂,故它們的部分和的極限存在,設(shè)為11,nnnnuvlimlim()nnnnnSaSbSlimlimnnnnaSbSaSbS由此可知, 收斂,且式(8.5)成立.1()nnnaubv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 1121( )53 (1)nnn n由性質(zhì)8.1和例8.1、8.2可知，級(jí)數(shù)收斂,且有112111( )2253 (1)315nnn n河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 性質(zhì)8.2 若級(jí)數(shù) 與 都收斂,且unvn (n=1,2,),則有1nnu1nnv11nnnnuv證證 設(shè) 與 的部分和分別為 、 ,則由unvn(n=1,2,)有1nnu1nnvnSnbS1212nnnnSuuuvvvS于是有11limlimnnnnnnnnuSSv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 性質(zhì)8.3 級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)8.4 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù),仍為收斂級(jí)數(shù),且收斂于原級(jí)數(shù)的和