




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念考慮如下數(shù)列:21 111,.,.2 22n由此數(shù)列可構(gòu)造如下新的數(shù)列:1211, 1,.2SS 111122nnS 112112n12(1),2n顯然有1limlim2(1)22nnnnSS河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 很自然地,可將S=2理解為數(shù)列 各項(xiàng)相加(無(wú)限多項(xiàng))的和,并記為12n211112222n通常,簡(jiǎn)記為1122nn一般地,給定一個(gè)實(shí)數(shù)序列u1,u2,u3,稱u1+u2+un+為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)
2、數(shù),簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù),記為 ,即2nnu121 (8.1)nnnuuuu河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 其中第n項(xiàng)un稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng),u1稱為首項(xiàng),首項(xiàng)下標(biāo)也可記為其他整數(shù),如級(jí)數(shù) 的首項(xiàng)為u0,而級(jí)數(shù) 的首項(xiàng)為u2.0nnu2nnu級(jí)數(shù)(8.1)前n項(xiàng)之和記為Sn,即Sn=u1+u2+un (8.2)稱Sn為級(jí)數(shù)(8.1)的部分和.S1=u1, S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3,河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 這表明,級(jí)數(shù)(8.1)的部分和Sn構(gòu)成一個(gè)數(shù)列Sn有極限S;顯然,由式(8.2)有SnSn1=un,n=2,3, (8.3)定義8.1 設(shè)Sn為級(jí)數(shù)(8.1)的部分和.若數(shù)列Sn有極限S,即 ,則稱級(jí)數(shù)
3、(8.1)收斂,并稱極限值S為級(jí)數(shù)(8.1)的和,記為limnnSS121.nnnuuuuS如果部分和數(shù)列Sn沒(méi)有極限,則稱級(jí)數(shù)(8.1)發(fā)散.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.1 討論幾何級(jí)數(shù) 的斂散性.其中a,q為非零常數(shù).11nnaq解解 該級(jí)數(shù)的部分和為1(1)(1)1nnnaqSaaqaqqq(1)當(dāng)|q|1時(shí),有 .所以,當(dāng)|q|1時(shí),幾何級(jí)數(shù)收斂,且有l(wèi)im(1)nnSaq11(| 1)1nnaaqqq河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 (3)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na(n時(shí)),故級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)q=1時(shí), 時(shí),Sn的極限不存在,故級(jí)數(shù)發(fā)散. 11 ( 1),2nnaSn 總之,|q|1時(shí), .所以,|q|1
4、時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.limnnS 河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.2 討論級(jí)數(shù) 的斂散性.1(1)nnn n解解 由111(1)1nun nnn可知111 22 3(1)nnSn n11111(1) ()()2231nn111n 于是lim1nnS所以,所給級(jí)數(shù)收斂,且有111(1)nn n河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.3 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.11nn證證 由拉格朗日中值公式可知11ln(1)ln (1)nnnnn由此不等式可得1112nSn (ln2 ln1) (ln3 ln2)ln(1) ln nn ln(1)n于是limnnS 從而調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.11nn河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 定理8.1(級(jí)數(shù)收斂
5、的必要條件) 如果級(jí)數(shù)(8.1)收斂,則有l(wèi)im0 (8.4)nnu證證 因級(jí)數(shù)(8.1)收斂,故極限limnnS與1limnnS皆存在且極限值相等,于是,由式(8.3),有1limlim()nnnnnuSS1limlimnnnnSS這個(gè)定理很重要,常用來(lái)判別級(jí)數(shù)發(fā)散.0河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 但是,應(yīng)注意的是,式(8.4)成立時(shí),級(jí)數(shù)(8.1)不一定收斂.式(8.4)成立是級(jí)數(shù)(8.1)收斂的必要條件,而不是充分條件.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 例例8.4 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.2211nnnn解解 因?yàn)?21limlim 1 0nnnnnun所以,由定理(8.1)可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 二
6、、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)8.1 設(shè)a,b為常數(shù),級(jí)數(shù) 均收斂,則級(jí)數(shù) 收斂,且有11,nnnnuv1()nnnaubv111() (8.5)nnnnnnnaubvaubv證證 設(shè)級(jí)數(shù) 的部分和分別記為 ,則111(),nnnnnnnaubvuv,nnnS S S1122()()()nnnSaubvaubvaubv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 1212()()nnauauaubvbvbvnnaSbS因 收斂,故它們的部分和的極限存在,設(shè)為11,nnnnuvlimlim()nnnnnSaSbSlimlimnnnnaSbSaSbS由此可知, 收斂,且式(8.5)成立.1()nnnaubv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 1121( )53 (1)nnn n由性質(zhì)8.1和例8.1、8.2可知,級(jí)數(shù)收斂,且有112111( )2253 (1)315nnn n河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 性質(zhì)8.2 若級(jí)數(shù) 與 都收斂,且unvn (n=1,2,),則有1nnu1nnv11nnnnuv證證 設(shè) 與 的部分和分別為 、 ,則由unvn(n=1,2,)有1nnu1nnvnSnbS1212nnnnSuuuvvvS于是有11limlimnnnnnnnnuSSv河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 性質(zhì)8.3 級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)8.4 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù),仍為收斂級(jí)數(shù),且收斂于原級(jí)數(shù)的和
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 知識(shí)管理在現(xiàn)代企業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用與創(chuàng)新
- 2025年01月山東聊城市冠縣單位公開(kāi)招聘9人筆試歷年典型考題(歷年真題考點(diǎn))解題思路附帶答案詳解-1
- 知識(shí)產(chǎn)權(quán)侵權(quán)預(yù)警系統(tǒng)構(gòu)建與實(shí)施
- 粉碎秸稈銷售合同范本
- 化纖漿粕在眼鏡框架材料中的輕量化技術(shù)考核試卷
- 信托業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控機(jī)制考核試卷
- 商業(yè)綜合體項(xiàng)目投資與效益分析考核試卷
- 農(nóng)業(yè)機(jī)械化與農(nóng)業(yè)品牌建設(shè)考核試卷
- 樓房定金協(xié)議合同范本
- 工期定額-民用建筑
- 黃土地質(zhì)災(zāi)害類型及其危害性評(píng)估
- 交際德語(yǔ)教程第二版A1Studio[21] 課后習(xí)題參考答案
- 最新修改 班組安全管理建設(shè)--5831模式通用課件
- 氣割、電氣焊作業(yè)的應(yīng)急救援預(yù)案
- 2018年柴油機(jī)大修工程量單
- 超級(jí)精美PPT模版美國(guó)經(jīng)典ppt模板(通用珍藏版2)
- 2022年“葉圣陶杯”全國(guó)中學(xué)生新作文大賽專用稿紙
- 中醫(yī)內(nèi)科方歌-八
- 氣動(dòng)控制閥的定義分類及工作原理詳解
- 梯形練字格A4紙打印版
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論