第二章 彈性力學(xué)平面問(wèn)題有限單元法

1、2-1 彈性力學(xué)問(wèn)題的解析法是把彈性體看成由無(wú)限多個(gè)、無(wú)限小的微元體組合而成，通過(guò)對(duì)其中任一個(gè)微元體的分析，建立對(duì)彈性體內(nèi)各點(diǎn)都適用的基本方程。然后用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法求解這些方程并設(shè)法滿(mǎn)足邊界條件，從而 得到精確的解析解。 有限單元法則首先作了物理上的近似。它把連續(xù)彈性體近似看成由有限多個(gè)、有限大小、彼此只在有限個(gè)點(diǎn)相聯(lián)接的單元組合而成，即近似把實(shí)際物體分割成有限個(gè)有限大小的多邊形(對(duì)平面問(wèn)題)、多面體(對(duì)空間問(wèn)題)或桿件(結(jié)桿系結(jié)構(gòu))，這些多邊形、多面體或桿件就稱(chēng)為有限單元(簡(jiǎn)稱(chēng)單元)。各單元之間只在結(jié)點(diǎn)處相聯(lián)接，而單元周邊的互相分離的。2-2 現(xiàn)在所述的有限單元法(實(shí)為有限單元位移法)取全部

2、結(jié)點(diǎn)的(廣義)位移作為基本未知量。這樣就把原來(lái)是無(wú)限多自由度的體系簡(jiǎn)化成有限多自由度的體系。以上過(guò)程稱(chēng)為連續(xù)體的有限單元離散化。 為了求得全部結(jié)點(diǎn)上的位移，并最終求得各單元內(nèi)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力，有限單元法是從任一個(gè)典型單元開(kāi)始分析。有限單元法又作了一次數(shù)學(xué)上的近似：構(gòu)造適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)(稱(chēng)為位移模式)，把單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移用單元的結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。有限單元法認(rèn)為每個(gè)單元內(nèi)部符合彈性力學(xué)的基本假設(shè)，嚴(yán)格運(yùn)用彈性力學(xué)的基本方程的幾何方程和物理方程，從而建立起單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變、應(yīng)力分別與單元結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，為最后當(dāng)求出結(jié)點(diǎn)位移后，再順利求得單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力作好了準(zhǔn)備。單元的平衡條件是用虛功方程代替

3、的，由此得到重要的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧獎(jiǎng)偠确匠?，即單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，為進(jìn)一步的整體平衡分析作好準(zhǔn)備。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為單元分析。2-3 最后考慮整個(gè)體系的平衡。由于所有的單元上都已沒(méi)有外載荷 (全部移置到結(jié)點(diǎn)上了)，全部結(jié)點(diǎn)的平衡就代表了整體的平衡。對(duì)所有的結(jié)點(diǎn)建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)載荷 平衡的關(guān)系，然后利用單元?jiǎng)偠确匠贪阉械慕Y(jié)點(diǎn)力都換成結(jié)點(diǎn)位移的表達(dá)式，就建立了結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)載荷的關(guān)系式總剛度方程。這是一個(gè)代數(shù)方程組，未知量就是結(jié)點(diǎn)位移，引入已知的位移邊界條件改造這個(gè)方程組后，就可借助計(jì)算機(jī)求解而得到所有結(jié)點(diǎn)的位移。有了結(jié)點(diǎn)位移，再利用單元分析中的位移函數(shù)和已準(zhǔn)備好的幾何方程和物理方程的演變

4、式，可以按需要容易地求得任一單元內(nèi)任一點(diǎn)位移、應(yīng)變或應(yīng)力。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為整體分析。2-4對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單而且也是最常用的單元是三角形單元和矩形單元。例如， 圖2-1所示為一個(gè)托架梁，可以當(dāng)做彈性力學(xué)的平面問(wèn)題處理。我們見(jiàn)將其劃分位三角形網(wǎng)格，各單元再結(jié)點(diǎn)處用光滑的 平面較連接，每各單元所受的載荷也移置到結(jié)點(diǎn)上，成為結(jié)點(diǎn)載荷。圖2-1a2-5 在位移為零的結(jié)點(diǎn)處，或者在位移很小可以忽略的結(jié)點(diǎn)處，設(shè)置相應(yīng)的支座鉸鏈。在圖（a）中，固定邊AB各點(diǎn)的位移均為零。所以在AB邊上的各結(jié)點(diǎn)處應(yīng)設(shè)置固定支座鉸鏈。這樣就得出托架得有限單元計(jì)算簡(jiǎn)圖，如圖（b）所示。圖2-1b2-6 把連續(xù)體進(jìn)行有限單元離散時(shí)，

5、首先要考慮到選用哪一種形狀的單元。這一選擇取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、計(jì)算精度的要求及描述該問(wèn)題所必須的獨(dú)立空間坐標(biāo)的數(shù)目。對(duì)于平面問(wèn)題，通常采用直角三角形和矩形單元，特別是三角形單元比較適宜于模擬有曲線(xiàn)邊界的物體或結(jié)構(gòu)。一般說(shuō)來(lái)，單元各邊的比例不能相差太大。計(jì)算實(shí)踐表明，單元各邊的比例相差太大是影響計(jì)算精度的一個(gè)重要因素。故應(yīng)避免取狹長(zhǎng)的單元。對(duì)三角形單元而言。在劃分網(wǎng)格時(shí)應(yīng)盡量使所有單元接近于等邊三角形。但通常為了適應(yīng)結(jié)構(gòu)的邊界形狀及單元由大到小的過(guò)渡，很難實(shí)現(xiàn)這一要求，不過(guò)應(yīng)盡可能的滿(mǎn)足。 2-7 在劃分網(wǎng)格時(shí)，就整體來(lái)說(shuō)，單元的大?。淳W(wǎng)格的疏密）要根據(jù)精度要求和計(jì)算機(jī)的速度及容量來(lái)決定。一

6、般講來(lái)，單元越小，網(wǎng)格越密，計(jì)算結(jié)果越精確。但是，單元越多，要求計(jì)算機(jī)容量就越大。因此，單元?jiǎng)澐侄嗌俸线m，一方面要考慮計(jì)算精度的要求；另一方面要根據(jù)計(jì)算機(jī)的條件，應(yīng)在計(jì)算機(jī)的容量范圍內(nèi)來(lái)決定單元的大小和數(shù)量。原則是，在保證必要的計(jì)算精度條件下，單元應(yīng)盡量取的少些。 在單元的排列上，應(yīng)根據(jù)計(jì)算者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)所計(jì)算的對(duì)象進(jìn)行判斷，在應(yīng)力剃度變化大的部位和重要的部位，單元應(yīng)取小些，網(wǎng)格也劃分的密些。反之，在應(yīng)力變化平緩的部位和不重要的部位，單元可取大些，網(wǎng)格也就稀些 2-8 在劃分單元還應(yīng)考慮到，當(dāng)計(jì)算對(duì)象的厚度或者其彈性性質(zhì)有突變之處，除了在這些部位單元應(yīng)取小之外，還應(yīng)把突變線(xiàn)作為單元的邊界線(xiàn)。如

7、果結(jié)構(gòu)受有集度突變的分布載荷或集中載荷時(shí)，在這些部位的單元同樣應(yīng)當(dāng)取小些，并且在載荷突變處和集中力處應(yīng)布置結(jié)點(diǎn)，以使應(yīng)力的突變得到一定程度的反映。 總之，把連續(xù)體進(jìn)行有限單元離散而成計(jì)算簡(jiǎn)圖，是綜合運(yùn)用工程判斷力的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，要決定單元的形狀、大?。ňW(wǎng)格的疏密）、數(shù)目、單元的排列以及約束的位置等，其總的目標(biāo)應(yīng)使得原來(lái)的物體會(huì)或結(jié)構(gòu)盡可能精確地得到模擬。這個(gè)過(guò)程進(jìn)行的正確與否，是關(guān)系到整個(gè)計(jì)算的精度高低，應(yīng)當(dāng)特別加以注意。2-9 從離散體系中任取一個(gè)單元，如圖所示。三個(gè)結(jié)點(diǎn)按反時(shí)針?lè)较蝽樞蚓幪?hào)為i、j、m。結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。一、單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)

8、力向量由彈性力學(xué)平面問(wèn)題可知，一個(gè)連續(xù)體，每點(diǎn)應(yīng)有兩個(gè)位移，因此每個(gè)結(jié)點(diǎn)應(yīng)有兩個(gè)位移分量，則三角形共有六個(gè)自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如圖b所示。各結(jié)點(diǎn)位移向量可寫(xiě)成那么，三角形單元的單元結(jié)點(diǎn)位移向量是iioivujjojvummomvu TmmjjiiTTomTojToiovuvuvu,2-10 結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力向量是 單元結(jié)點(diǎn)力的向量是 在有限單元位移法中，取結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。單元分析的基本任務(wù)是建立單元結(jié)點(diǎn)力下結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，也就是要建立關(guān)系式 式中，K o是66階矩陣，稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析先要建立單元?nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力分別與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，這不光是推導(dǎo)上式

9、的需要，也為最后求出結(jié)點(diǎn)位移后再順利求得單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力作好準(zhǔn)備。oioioiYXFojojojYXFomomomYXF TomomojojiioiTTomTojToioYXYXYXFFFF, oooKF2-11二、單元位移模式 有限單元法雖然對(duì)計(jì)算對(duì)象的整體作了物理近似，但在每個(gè)單元內(nèi)部，則仍然認(rèn)為符合彈性力學(xué)的基本假設(shè)，因此彈性力學(xué)的基本方程在每個(gè)單元內(nèi)部仍然適用。 若求出彈性體內(nèi)部的位移分量，就可以從幾何方程求出應(yīng)變分量，從物理方程求出應(yīng)力分量。有限單元法即使求得各結(jié)點(diǎn)位移，卻無(wú)法直接利用幾何方程和物理方程來(lái)求應(yīng)變和應(yīng)力。因此需要把單元的結(jié)點(diǎn)位移與單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移聯(lián)系起來(lái)，即人為的假

10、定一個(gè)位移模式(位移函數(shù))，使單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以近似地有單元結(jié)點(diǎn)的位移表示。2-12 選擇單元位移模式時(shí)，最簡(jiǎn)單的是單元的位移分量u、v取為坐標(biāo)x、y的多項(xiàng)式。考慮到三角形單元共有六個(gè)自由度，且位移函數(shù)u、v在三個(gè)結(jié)點(diǎn)處的數(shù)值應(yīng)該等于這三個(gè)結(jié)點(diǎn)處的六個(gè)位移分量ui、vi、uj、vj、um、vm。據(jù)此，可設(shè)單元位移分量是坐標(biāo)x、y的線(xiàn)性函數(shù)，即 u(x,y)= a1+a2x+a3y v(x,y)=a4+a5x+a6y 在上式中，含有六個(gè)參數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6。恰好可由三個(gè)結(jié)點(diǎn)的六個(gè)位移分量完全確定，即在i、j、m三點(diǎn)應(yīng)有 ui=a1+a2xi+a3yi vi=a4+a5xi+

11、a6yi uj=a1+a2xj+a3yj vj=a4+a5xj+a6yj um=a1+a2xm+a3ym vm=a4+a5xm+a6ym2-13 求解上式，可以將參數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6用結(jié)點(diǎn)位移表示出來(lái)，即a1=(aiui+ajuj+amum)/2A a4=(aivi+ajvi+amvm)/2Aa2=(biui+bjuj+bmum)/2A a5=(bivi+bjvj+bmvm)/2Aa3=(ciui+cjuj+cmum)/2A a6=(civi+cjvj+cmvm)/2A式中ai=(xjym-xmyj), bi=yj-ym, ci=xm-xjaj=(xmyi-xiym), bj

12、=ym-yi, cj=xi-xmam=(xiyj-xjyi), bm=yi-yj, cm=xj-xiijmijmjiimmjmmjjiiyxyxyxyxyxyxyxyxyxA2111121A為三角形單元的面積。2-14經(jīng)過(guò)運(yùn)算得用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移模式為 (2-1)式中的Ni、Nj、Nm由下式輪換得出 Ni(x,y)=(ai+bix+ciy)/2A (i、j、m)上式后面的記號(hào)(i、j、m)表示經(jīng)過(guò)字母相應(yīng)輪換后，該式實(shí)際上是三個(gè)公式。也可簡(jiǎn)寫(xiě)成 fo=INi INj INmo=No (2-2)式中，I為二階單位矩陣，而Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它反映單元內(nèi)部位移的分布狀態(tài)，稱(chēng)

13、為位移的形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為形函數(shù)。矩陣N稱(chēng)為形函數(shù)矩陣。并且形函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處具有以下性質(zhì)：omjimjioyxNyxNyxNyxNyxNyxNyxvyxuf),(0),(0),(00),(0),(0),(),(),(2-15 Ni(xi,yi)=1, Nj(xi,yi)=0, Nm(xi,yi)=0 Ni(xj,yj)=0, Nj(xj,yj)=1, Nm(xj,yj)=0 Ni(xm,ym)=0, Nj(xm,ym)=0, Nm(xm,ym)=1根據(jù)形函數(shù)的這些性質(zhì)，再由(2-1)和(2-2)可以看出，單元位移模式可以直接通過(guò)單元結(jié)點(diǎn)位移o插值表示出來(lái)，所以，Ni,Nj,Nm也稱(chēng)為位移插值函數(shù)。

14、前面已經(jīng)提到，有限單元法隨著單元的細(xì)分，網(wǎng)格的加密，在一定條件下，位移模式引起的誤差會(huì)收斂的，即所得的解答收斂于問(wèn)題的精確解。這“一定條件”是指單元位移模式必須滿(mǎn)足的條件：(1)位移模式必須在單元內(nèi)連續(xù)，而相鄰單元間公共邊界上的位移必須協(xié)調(diào)。后者意味著單元的變形不能在單元之間引起裂開(kāi)或重迭。2-16(2)位移模式必須包含單元的剛體的位移。這是因?yàn)槊總€(gè)單元的位移一般總是包含著兩個(gè)部分：一部分由本單元的變形引起的，另一部分是與本單元的變形無(wú)關(guān)的，即剛體位移，它由其他單元發(fā)生的變形連帶引起。(3)位移模式必須包含單元的常量應(yīng)變。這從物理意義上就可以理解。因?yàn)楫?dāng)單元的尺寸取得很小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變也

15、將相差很小，而當(dāng)單元的尺寸取得無(wú)限小時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)趨近于常量。通常把滿(mǎn)足上述第一個(gè)條件的單元，稱(chēng)為協(xié)調(diào)(或連續(xù))單元；滿(mǎn)足第二、第三個(gè)條件的單元稱(chēng)為完備單元。理論和實(shí)踐都已證明：為了使有限單元法的解答在單元尺寸逐漸取小時(shí)能夠收斂于正確解答，條件(2)(3)是必要條件，而再加上條件(1)就是充分條件。2-17有限單元法的分析，以結(jié)構(gòu)上的全部荷載都是結(jié)點(diǎn)荷載為前提；而結(jié)構(gòu)上的真實(shí)荷載往往并不作用在結(jié)點(diǎn)上，如體力和面力等。因此需要把它們按靜力等效的原則向結(jié)點(diǎn)移置，成為等效結(jié)點(diǎn)荷載。這里的靜力等效，是指能量等價(jià)，即原來(lái)作用在單元上的荷載與移置到結(jié)點(diǎn)上的荷載，它們?cè)趩卧娜魏翁撐灰粕纤鞯奶摴?yīng)

16、相等。據(jù)圣維南原理，荷載作這樣的移置而引起的誤差是局部性的，不致影響到整個(gè)結(jié)構(gòu)，并且隨單元的細(xì)分，這一影響逐步縮小。考察下圖所示的單元，設(shè)作用在單元上的體力PV=X,YT,分布面力PA=X,YT和集中力Q = Qx,QyT，把它們向結(jié)點(diǎn)移置后得到的等效結(jié)點(diǎn)荷2-18圖2-22-19載列陣為 P o=Pxio ,Pyio,Pxjo,Pyjo,Pxmo,PymoT設(shè)單元發(fā)生了某種虛位移，單元結(jié)點(diǎn)虛位移為 o=ui,vi,uj,vj,um,vmT單元內(nèi)的虛位移則為 fo=No (a)按虛功相等的靜力等效原則，可得到下式 (b)式中為單元位移函數(shù)在集中力作用點(diǎn)b處的取值，將式（a）代入上式，同時(shí)考慮到

17、矩陣相乘的轉(zhuǎn)置規(guī)則，式（b）可改寫(xiě)為 (c)由于是任意的，則上式兩邊與其相乘的矩陣應(yīng)相等，于是得到等效結(jié)點(diǎn)載荷為hdxdyPfhdsPfQfPVTAeAsTeTebeTe)()()()(hdxdyPNhdsPNQNPVtTAATsTbTeeTe)()()(2-20 (2-1) 從上式可以看出，等效結(jié)點(diǎn)載荷與所選取的單位位移模式有關(guān)。對(duì)我們所討論的三角形單元線(xiàn)性位移模式，等效結(jié)點(diǎn)載荷分別計(jì)算如下：一、 分布體積力設(shè)單元只作用有單位體積的體力向量P=X Y,如圖所示，根據(jù)式（2-1）得相應(yīng)的等效結(jié)點(diǎn)載荷為 (2-2)當(dāng)單元?jiǎng)澐州^小而可認(rèn)為P在單元內(nèi)均勻分布時(shí)，式（2-2）可寫(xiě)成 (d) 式中的形函

18、數(shù)可改寫(xiě)為面積坐標(biāo)，即N =Li , N =Lj ,Nm =Lm , 因此式（d）中形函數(shù)的積分可改為用坐標(biāo)的積分。由公式可得到hdxdyPNhdsPNQNPVTAATsTbe)(hdxdyPNPVTAeVTAjiePdxdyINmININhP2-21將上式結(jié)果呆入式（d）得 (e)令 為單元總體力W在x,y方向的分量，于是式（d）寫(xiě)成 (2-3a)結(jié)論：均布體力的等效結(jié)點(diǎn)載荷由單元總體力的三分之一分配到三個(gè)結(jié)點(diǎn)上面形成。32)!2001(! 1 !0 ! 1001AAdxdyLLLdxdyNmjAiAi30010AdxdyLLLdxdyNmjAiAj31010AdxdyLLLdxdyNmjA

19、iAmYXhAPTe10011001100131XAhWxYAhWyTyxyxyxeWWWWWWP3131313131312-22 二 分布面力設(shè)單元只在邊界面上作用有分布面力，且為均勻分布。單位面積上的面力向量為，如圖所示，圖2-32-23相應(yīng)的等效結(jié)點(diǎn)載荷為 (2-4)其中，積分是沿著單元邊界線(xiàn)進(jìn)行的。為簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，可采用面積坐標(biāo)表示。其實(shí)，在邊界上，邊界方程為.應(yīng)用面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形單元上的積分可算出以下積分AsTmjiePdsINININhPlldsLLdsNjjmjmji21)!110(! 1 !010lldsLLdsNmjmjjmm21)!110(! 1 !0100dsNj

20、mi2-24式中l(wèi)為 邊界長(zhǎng)度。將上式代入式（2-4），得到相應(yīng)的等效結(jié)點(diǎn)載荷 令 為邊界上總面力在x,y方向上的分量，則等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣 (2-4a)上式表明：與作用在單元邊界線(xiàn)上的均布面力相應(yīng)的等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣，系面載荷總和之半分配在邊界兩端結(jié)點(diǎn)上形成的。jmYXlhPTe10011001000021,XhlWx,YhlWyTyxyxeWWWWP00212121212-25三 集中力 設(shè)在單元邊界上的b點(diǎn)，作用有集中力 ，如圖所示。 TyxQQQ 圖2-42-26三 集中力同樣由式（2-1）結(jié)果。可以得出 (2-5)為了計(jì)算 ，首先計(jì)算b點(diǎn)的面積坐標(biāo)。由于b點(diǎn)在上，所以 ，再由面積坐標(biāo)的定

21、義得到 于是 (f)把 式（f）代入式（2-5），可以得到 ( 2-5a) QNPTbe bN0mbLllLjAAibillLiAAjbj 0IIIILILILINININNllllmbjbibmbjbibbij TyllxllyllxlleQQQQPjjjj002-27結(jié)論：?jiǎn)卧吔缇€(xiàn)上的集中力的等效 結(jié)點(diǎn)載荷列陣，系將該力按杠桿原理分配到邊界線(xiàn)兩端的結(jié)點(diǎn)上。 當(dāng)然，最好是在劃分單元時(shí)，就把集中力所在處安排成結(jié)點(diǎn)，也就不存在集中力向結(jié)點(diǎn)移置的問(wèn)題了。2-28 結(jié)構(gòu)的整體分析含有兩層意思：其一，整個(gè)離散體系的各單元在變形后必須在結(jié)點(diǎn)處協(xié)調(diào)地連接起來(lái)。即與某結(jié)點(diǎn)i相連接的n個(gè)單元，在該處必須具有

22、相同的結(jié)點(diǎn)位移（結(jié)點(diǎn)位移連續(xù)函數(shù)），即 (2-6)其二，組成離散體的各結(jié)點(diǎn)的所有必須滿(mǎn)足平衡條件。即，對(duì)與體系上與某一結(jié)點(diǎn)I直接相連的所有各單元作用于該結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)力，應(yīng)與作用在該結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)載荷保持平衡。即， (2-7)21iniiieieiRF02-29這里， 表示直接與結(jié)點(diǎn)結(jié)合的所有單元求和。為單元（e）在結(jié)點(diǎn)I的結(jié)點(diǎn)力向量，即 。 為結(jié)點(diǎn)I的結(jié)點(diǎn)力載荷總向量，通常它應(yīng)等于各單元在結(jié)點(diǎn)I處的等效結(jié)點(diǎn)載荷向量的和，即 (2-8)但如果該結(jié)點(diǎn)I同時(shí)還有直接作用于其上的集中力 ，則在結(jié)點(diǎn)處的結(jié)點(diǎn)載荷總量應(yīng)用為 (2-9)整體分析的基于任務(wù)，是根據(jù)上述原則建立用結(jié)點(diǎn)位移表示的整個(gè)離散體系的平衡方

23、程式。解方程組，即可獲得各結(jié)點(diǎn)的位移。 eTeieieIiYXFxiiRRyiRTeeiiPRxiiQQTyiQIeieiQPR2-30一、 整個(gè)剛度矩陣的形成及其特點(diǎn) 2-312-32一、 整個(gè)剛度矩陣的形成及其特點(diǎn) 形成整個(gè)剛度矩陣是整體分析的主要任務(wù)，以圖所示的離散體系為例，來(lái)說(shuō)明整體矩陣的形成過(guò)程。單元和結(jié)點(diǎn)的編號(hào)都已示于圖中 假定單元?jiǎng)偠染仃囈亚蟮?，于是，各單元的各剛度方程，根?jù)式（2-3）和式（2-4），分別為 (1).單元：i=1,j=2,m=3 (a) (2).單元：I=2,j=5,m=3 (b)1312111331321311233122121113112111131211K

24、KKKKKKKKFFF232522235235232223255252223225222232522KKKKKKKKKFFF2-33(3).單元：i=4,j=5,m=2 (c)(4).單元:I=4,j=6,m=5 (d)現(xiàn)在再來(lái)建立各結(jié)點(diǎn)的平衡方程。按照結(jié)點(diǎn)的編號(hào)順序，根據(jù)方程（7-32），分別得到各結(jié)點(diǎn)的平衡矩陣方程式為 (e)323534322325324352355354342345344323534KKKKKKKKKFFF454644455456454465466464445446444454644KKKKKKKKKFFF,646545253544434323132322212111R

25、FRFFFRFFRFFRFFFRF2-34將結(jié)點(diǎn)力表達(dá)式(a)、(b) 、(c)、(d)相應(yīng)的代入(e)的各平衡方程中，并利用結(jié)點(diǎn)位移連續(xù)條件（2-6），即可以得到用結(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程。以結(jié)點(diǎn)2為例，由方程(a)、(b)、(c)求得各單元在結(jié)點(diǎn)2處之結(jié)點(diǎn)力為 (f)代入(e)中的結(jié)點(diǎn)2的平衡方程中，則有,444346465453525323132322212111232253254324323223522522222231232122112112KKKFKKKFKKKF)()()(253252254324322312323222221221121RKKKKKKKKK2-35根據(jù)同樣的步驟可

26、以寫(xiě)出其余各結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的平衡方程式，為簡(jiǎn)明起見(jiàn)可列出表1。2-36l表1(2-10)2-37結(jié)構(gòu)的的結(jié)點(diǎn)位移列陣：TTTTTTT654321TTTTTTTRRRRRRR654321為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)載荷列陣；矩陣若定義為2-38666564565554535246451444235333231252423222113121100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK（2-11）且各子矩陣分別為 ,.,466664656546464456564553552555545435454253533522525244646445345454443444434242235352331333323213

27、2321313132522525324242232232332222212222121211131311121211111KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2-39則式（2-10）可簡(jiǎn)寫(xiě)作 （2-10a）這里， 稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣或稱(chēng)為總剛度矩陣；方程（2-10）或方程（2-10a）稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的整體平衡方程組，或稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。 建立結(jié)構(gòu)的總剛度方程的關(guān)鍵是形成結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。從（2-10）或（2-11）所顯示出來(lái)的總剛度矩陣中各子矩陣（或稱(chēng)元素）的組成規(guī)律可以看出：矩陣 中的子矩陣 是與I個(gè)結(jié)點(diǎn)直

28、接相連的各單元?jiǎng)偠染仃囍谐霈F(xiàn)的相應(yīng)子矩陣 的疊加，即 。例如：矩陣 中子矩陣 是由與結(jié)點(diǎn)“3”直接相連的單元和單元的剛度矩陣中所有出現(xiàn)的元素 和 迭加結(jié)果。RKKKijKeijKeijeijKK23K123KK223K2-40為具體起見(jiàn)，仍以上圖的示例進(jìn)行說(shuō)明。 (1) 首先計(jì)算出結(jié)構(gòu)中所有單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｆ渌髟匾来晤?lèi)推，都有這個(gè)特點(diǎn)。這就表明，具體組成總剛度矩陣時(shí)，并不需要重復(fù)前述的推導(dǎo)方法，即先對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)列出類(lèi)似于式（g）那樣的方程，再組合起來(lái)求得整體剛度矩陣。特別是當(dāng)網(wǎng)格劃分較密，單元數(shù)目較多，這種方法實(shí)際上有很大困難的。其實(shí)，只要注意到上述的特點(diǎn)，當(dāng)計(jì)算出單元?jiǎng)偠染仃囍?，就可以按?/p>

29、述方法直接形成總剛度矩陣。2-41 (2) 按照結(jié)構(gòu)所具有的結(jié)點(diǎn)數(shù)，畫(huà)出如式（2-10）那樣的表格，即總剛度方程位置表格。表格中的每一元素用兩個(gè)腳標(biāo)ij表示：第一個(gè)腳標(biāo)I表示行號(hào)（實(shí)際是結(jié)點(diǎn)力Fi的編號(hào)），第二個(gè)腳標(biāo)j表示列號(hào)（相當(dāng)于結(jié)點(diǎn)自由度的編號(hào)）。如表示底i行第j列元素。 (3)將單元?jiǎng)偠染仃囍械脑馗鶕?jù)其腳標(biāo)依次填入表格（1)中第i行第j列的位置上。照這樣的步驟繼續(xù)進(jìn)行下去，直到把所有各單元?jiǎng)偠染仃囍械母髟囟挤诺奖碇邢鄳?yīng)的位置為止。這一步稱(chēng)為“對(duì)號(hào)入座”。 (4)將表中同一位置上的各元素相迭加，就得到總剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩陣。在無(wú)元素處，空格為零。如此便得到總剛度矩陣K.2-42這

30、種“對(duì)號(hào)入座”組集總剛度矩陣的方法，稱(chēng)為直接剛度法。應(yīng)該指出，在按直接剛度法組集總剛度矩陣時(shí)，首先要用到各單元?jiǎng)偠染仃嚕鴨卧獎(jiǎng)偠染仃囀且詥卧Y(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)為依據(jù)的，但總剛度矩陣是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)總編號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)的，因此，要注意達(dá)到這中間有一個(gè)把單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)與結(jié)點(diǎn)總編號(hào)對(duì)應(yīng)起來(lái)的問(wèn)題。在上圖中，結(jié)點(diǎn)編號(hào)為1，2，3，4，5，6，而結(jié)點(diǎn)的局部號(hào)對(duì)每一單元來(lái)說(shuō)則為i.j.m,可以展開(kāi)成如下的階的矩陣，即 （h）于是，可以將式（2-10）具體寫(xiě)成式（2-12），如表（2）所示。結(jié)構(gòu)有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此應(yīng)當(dāng)有十二個(gè)方程以求解十二個(gè)位移分量，上式則具體地顯示出這一點(diǎn)。22211211klklklklklkkk

31、kk2-43l表(2)（2-12）2-44l（2-10）（2-11）（2-12）可以看到l（1）總剛度矩陣諸元素都集中分布于對(duì)角線(xiàn)附近，形成“帶狀”。這是因?yàn)橐粋€(gè)結(jié)點(diǎn)的平衡方程除與本身的結(jié)點(diǎn)位移有關(guān)外，還與那些和它直接直接相連系的單元的結(jié)點(diǎn)位移有關(guān)，而不在同一單元上的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間相互沒(méi)有 影響。例如，結(jié)點(diǎn)3與單元、直接直接相連接。它的平衡方程除與結(jié)點(diǎn)3的位移有關(guān)外，還與結(jié)點(diǎn)1、2、5的結(jié)點(diǎn)位移有關(guān)，但結(jié)點(diǎn)3與終點(diǎn)4、6無(wú)關(guān)，所以l為零。因此，總剛度矩陣是稀疏的且呈帶狀分布。通常把從每一行的第一個(gè)非零元素起，至該行的對(duì)角線(xiàn)上的元素止的元素的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為總剛度矩陣的在該行的“帶寬”。帶寬以外的元素全

32、為零。帶寬的大小，除與相關(guān)結(jié)點(diǎn)的位移個(gè)數(shù)有關(guān)外，還與相鄰結(jié)點(diǎn)編號(hào)之差值有關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，每行帶寬都小于結(jié)構(gòu)的總位移數(shù)。利用總剛度矩陣具有的稀疏帶狀的性質(zhì)，在編制程序中只需存放帶寬內(nèi)的元素，可以大量的節(jié)約計(jì)算機(jī)容量。在算題時(shí)，應(yīng)盡量減少相鄰結(jié)點(diǎn)編號(hào)之差值，從而可以減少帶寬。34K36K2-45 (2)由于總剛度矩陣K是由于各單元?jiǎng)偠染仃嘖e組集而成的，單元?jiǎng)偠染仃嚲哂袑?duì)稱(chēng)性，總剛度矩陣必具有對(duì)稱(chēng)性，即矩陣中的下三角元素與上三角元素對(duì)稱(chēng)。因此，在編制程序時(shí)，可以只存放下三角元素，這又可以大量節(jié)約計(jì)算機(jī)容量。 （3）由于單元?jiǎng)偠染仃嚲哂衅娈愋?。因此，總剛度矩陣必具有奇異性。故在求解總剛度方程時(shí)。需要根

33、據(jù)約束條件（結(jié)點(diǎn)支撐條件），修正總剛度方程，消除總剛度矩陣的奇異性能求解 以上結(jié)論，雖然是以上圖的簡(jiǎn)單模型得到的，但它對(duì)于具有任意n個(gè)自由度的體系同樣是適用的。2-46三、邊界約束條件的處理 由于總剛度矩陣為奇異性矩陣，為求得位移解，必須先利用給定的邊界結(jié)點(diǎn)的約束條件對(duì)總剛度方程進(jìn)行處理，消除總剛度矩陣k的奇異性，然后求解。 平面問(wèn)題中，一個(gè)結(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)自由度，故一個(gè)邊界結(jié)點(diǎn)最多也只可能有兩個(gè)約束條件即： *iTiiTiiivuvu根據(jù)不同的支承情況，約束條件可以分為：1。零位移約束 上圖所示的離散化模型，在1、4結(jié)點(diǎn)處裝置鉸支座約束，因此，被約束結(jié)點(diǎn)方向位移應(yīng)為零，即 2-470411vvu

34、（i） 當(dāng)引入條件（i）后，則在方程組（2-12）位移列陣中出現(xiàn)零值，在整體剛度矩陣中，與這種位移為零的結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的行和列的元素，在求其它的位移時(shí)將不起作用，因而可以從矩陣K中劃區(qū)。當(dāng)然，方程組的階數(shù)也隨之降低了。這種修正平衡方程組的方法，可稱(chēng)為降維（階）法，它明顯的改變了矩陣K中原來(lái)的排列和矩陣的階數(shù)。這對(duì)于單元數(shù)少，采用手算的情況是比較適用的；但對(duì)于使用電子計(jì)算機(jī)時(shí)，這反而使程序的編制變得復(fù)雜。2-48l2、 非零位移約束l 邊界約束條件也有可能不是限制位移為零，而是給出已知的值，即 ,*iu,*1v*4vj（j）其中 、 、 均為已知值。將式（j）引入方程后，為使修改后的平衡方程組保留原

35、有階數(shù)和不變更方程的排列順序，不使計(jì)算機(jī)程序作大的改動(dòng)，其處理方法主要有兩種，其一為：1）、在整體剛度矩陣中，把與給定結(jié)點(diǎn)位移的腳標(biāo)I相應(yīng)的第I行和第列的元素都代之以零，但主對(duì)角線(xiàn)上的相應(yīng)元素 取1。例如在條件（j）的情況下，應(yīng)在方程組（2-12）的矩陣K中，把第一行和第一列，第二行和第二列，第八行和第八列iiK2-49l的元素都置零，把 224412221111,KKK都取為1。（2）、在載荷列陣R中，把相應(yīng)的 用給定的 代替，而R中的其余元素，則應(yīng)從中減去給定的結(jié)點(diǎn)位移并乘上矩陣K中適當(dāng)?shù)牧许?xiàng)。iRi通過(guò)以上的修正，方程組（2-12）變換為 2-5022662166226521652164

36、126611661265116511642256215622552155215422532153225221521256115612551155115412531153125211521246114612451145114412421142223521352233213322322132123511351233113312321132222521252124222321232222212212251125112412231123122211220000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000001000000

37、0000001KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK665544332211vuvuvuvuvuvu226422612161612641261116162254225121515125412511151512441241114142234223121313223422312131322242221212121224122111212KKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRKKKRyxyxxyyyx= （2-13）2-51l顯然，方程組的階數(shù)并未改變，由方程組（37）立即可以得出結(jié)點(diǎn)位 移

38、 au 11v4v 計(jì)入位移約束條件的另一方法稱(chēng)為“乘大數(shù)法”。該法只是把矩陣 中相應(yīng)的對(duì)角線(xiàn)元素 和 中的元素 加以修正。即 kiik RiR（1）把矩陣 中與給定的結(jié)點(diǎn)位移腳標(biāo) 和相應(yīng)的主對(duì)角線(xiàn)的元素 乘以相當(dāng)大的一個(gè)數(shù)，例如 ， 中的其它元素不變。 kiiik k（2）把載荷列陣 中的對(duì)應(yīng)項(xiàng) 代之以給定點(diǎn)的位移乘以相應(yīng)的主對(duì)角線(xiàn)元素 同時(shí)乘以相同的大數(shù) ， 中的其它元素不變。對(duì)于給定的邊界條件（j），則應(yīng)把方程組（2-12）中的主對(duì)角線(xiàn)元素 、 、 分別乘以 RiRiik R1111K2211K15101151012244K2-5215101l（在矩陣中已用虛線(xiàn)框出）； 中的 、 、 分別用 、 、 代替，于是方程組（2-12）變化為 R1xR2yR4yR15111110 K15221110 K15224410