低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算：第五章

1、低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算第五章：黏性流寄出和低速邊界層1本章主要內(nèi)容一描述黏性流動(dòng)的NS方程二流動(dòng)相似率和相似性參數(shù)三邊界層的概念和方程 邊界層分離四湍流基本知識(shí)2引言本章考慮流體粘性的規(guī)律和研究方法研究對(duì)象是低速不可壓縮黏性流體研究對(duì)象的選擇研究方法數(shù)學(xué)工具基本結(jié)論3NavierStokes方程N(yùn)S方程是描述黏性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程其特點(diǎn)是高度的非線性，關(guān)于NS方程幾乎沒(méi)有什么明確的數(shù)學(xué)理論和有效的研究方法CFD方法是目前最為有效的NS方程求解辦法4NavierStokes方程應(yīng)力的記法應(yīng)力分量之間的關(guān)系（直角坐標(biāo)）粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件5應(yīng)力的記法在無(wú)粘流體中，任意劃

2、一小塊平面，作用在平面上的流體只有法向力，沒(méi)有切向力在黏性流體中，還包括切向力6可以看作一個(gè)總合應(yīng)力的三個(gè)投影切應(yīng)力分量之間的關(guān)系九個(gè)應(yīng)力分量并不獨(dú)立（六個(gè)切向應(yīng)力分量?jī)蓛上嗟龋?，只有六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量，三個(gè)法向，三個(gè)切向7粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系微團(tuán)運(yùn)動(dòng)學(xué)（角變形率和線變形率）從產(chǎn)生應(yīng)力的角度看，固體和流體的不同在于：固體有變形就有應(yīng)力，流體需要有固體有變形就有應(yīng)力，流體需要有變形率（單位時(shí)間的變形）存在才有應(yīng)力變形率（單位時(shí)間的變形）存在才有應(yīng)力流體的應(yīng)力與流體微團(tuán)的角變形率和線變形率直接相關(guān)（用速度的各導(dǎo)數(shù)以及粘性系數(shù)來(lái)表達(dá)粘性應(yīng)力）8粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系流體的應(yīng)力：法應(yīng)力和

3、切應(yīng)力，隨受力面的方位而定，在流體內(nèi)部一個(gè)指定點(diǎn)上總在流體內(nèi)部一個(gè)指定點(diǎn)上總可以找到一個(gè)坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系上三個(gè)可以找到一個(gè)坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系上三個(gè)坐標(biāo)平面上作用的應(yīng)力只有法應(yīng)力，沒(méi)有坐標(biāo)平面上作用的應(yīng)力只有法應(yīng)力，沒(méi)有切應(yīng)力（主應(yīng)力）切應(yīng)力（主應(yīng)力）三維的證明是非常麻煩的，我們?cè)诙S中說(shuō)明方法，很容易推廣到三維9粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系存在主應(yīng)力的證明 這個(gè)證明很容易推廣到三維這個(gè)證明很容易推廣到三維10粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)速度及其導(dǎo)數(shù)的變換規(guī)律：任意坐標(biāo)系上的線變形率和角變形率用主應(yīng)力上的線變形率表達(dá)11粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系散度與坐標(biāo)系取法無(wú)關(guān)流場(chǎng)中P點(diǎn)的三個(gè)

4、法應(yīng)力之和是不變量，等于三個(gè)主應(yīng)力之和在靜止的流體中，法應(yīng)力與坐標(biāo)方位無(wú)關(guān)在運(yùn)動(dòng)的粘性流體中，三個(gè)法應(yīng)力不一定相等，其和為常數(shù)-3p，p為該點(diǎn)平均壓強(qiáng)12粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系六個(gè)應(yīng)力分量的主應(yīng)力表達(dá)13粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系需要一個(gè)假設(shè)才能得到應(yīng)力與速度梯度之間的關(guān)系式：式中和是常數(shù)，二者不獨(dú)立14粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系法應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系： 注意：散度不變量和線變形率的坐標(biāo)變換15粘性應(yīng)力和速度梯度之間的關(guān)系粘性應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系： 注意：此處的就是流體的黏性系數(shù)；回憶第一章是一維的特例 vy=016運(yùn)動(dòng)方程有了應(yīng)力的速度導(dǎo)數(shù)表達(dá)式后可以寫(xiě)出粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程（無(wú)論是

5、否考慮流體的粘性，運(yùn)動(dòng)方程都是動(dòng)量守恒方程）考慮粘性流體時(shí)，與Euler方程相比，多出切應(yīng)力，共六個(gè)應(yīng)力列入方程17運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avierStokes方程： 粘性流體滿足的運(yùn)動(dòng)方程粘性流體滿足的運(yùn)動(dòng)方程前面使用的假設(shè)（牛頓流體假設(shè)）是分子動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的，沒(méi)有不滿足的反例前面使用的假設(shè)（牛頓流體假設(shè)）是分子動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的，沒(méi)有不滿足的反例18邊界條件固體邊界：無(wú)滑移條件流體邊界（兩種速度不同的流體相鄰）：流體邊界的兩側(cè)流速平行，應(yīng)力大小相等方向相反19例子求解二維平行壁之間的粘性流動(dòng)（二維壁面固定）20例子求解二維平行壁之間的粘性流動(dòng)（二維壁面一個(gè)固定，另一個(gè)以均勻速度U向右運(yùn)動(dòng)）21流動(dòng)相似率和相似

6、性參數(shù)考慮粘性作用，符合什么條件兩個(gè)流動(dòng)相似？流場(chǎng)1和2流場(chǎng)參數(shù)見(jiàn)右，r是比例系數(shù)幾何相似：外形成比例動(dòng)力相似：寫(xiě)出流場(chǎng)2的運(yùn)動(dòng)方程，把流場(chǎng)2的各參數(shù)用流場(chǎng)1的參數(shù)表達(dá)22流動(dòng)相似率和相似性參數(shù)流場(chǎng)2的運(yùn)動(dòng)方程（x方向）用流場(chǎng)1的參數(shù)表示23流動(dòng)相似率和相似性參數(shù)方程的各不同類型的項(xiàng)都出來(lái)一個(gè)由各比例系數(shù)組成的數(shù)，如果這些數(shù)彼此相等，流場(chǎng)2的方程就變成流場(chǎng)1的方程，邊界條件同理，流動(dòng)就相似了流場(chǎng)相似要求 24流動(dòng)相似率和相似性參數(shù)第1，2部分相等第2，3部分相等第2，4部分相等第2，5部分相等25流動(dòng)相似率和相似性參數(shù)四個(gè)等式規(guī)定了四個(gè)相似性參數(shù)（或稱為四個(gè)相似性準(zhǔn)則）：St：Strouhal

7、數(shù) 非定常判據(jù)Fr：Froude數(shù) 慣性力與重力之比Ma：Mach數(shù) 速度與聲速之比Re：Reynolds數(shù) 慣性力與黏性力之比在實(shí)驗(yàn)中這些參數(shù)同時(shí)滿足幾乎不可能，只能抓住主要矛盾，滿足最重要的無(wú)量綱參數(shù)26邊界層的概念和邊界層方程邊界層概念的引出理想流體模型無(wú)法求解阻力粘性流體方程過(guò)于復(fù)雜，無(wú)法求解，不能滿足線性迭加出路：對(duì)流場(chǎng)區(qū)別對(duì)待，當(dāng)Re很大時(shí)無(wú)粘區(qū)壁面附近慣性力與黏性力同等作用的區(qū)域邊界層研究邊界層的意義27邊界層方程定常NS方程（以二維為例）量階分析28邊界層方程邊界層方程29邊界層方程平板層流邊界層的解30邊界層厚度邊界層厚度的討論31平板邊界層的厚度是隨板的縱向長(zhǎng)度增長(zhǎng)的，且按

8、照拋物線規(guī)律增長(zhǎng)摩擦阻力系數(shù)局部摩擦阻力系數(shù)：?jiǎn)挝幻娣e的摩擦力除以來(lái)流動(dòng)壓頭平板的摩擦應(yīng)力局部摩擦阻力系數(shù)平板平均摩阻系數(shù)（單面）總摩擦阻力除以來(lái)流動(dòng)壓頭再除以平板面積（二維板寬為1，Re用板長(zhǎng)計(jì)）32位移厚度位移厚度層外主流被擠出去的距離 例：平板的位移厚度33動(dòng)量損失厚度動(dòng)量損失厚度例：平板的動(dòng)量損失厚度34Von Karman積分邊界層方程盡管比NS方程簡(jiǎn)單很多，但仍舊難以直接求解卡門對(duì)邊界層流動(dòng)動(dòng)量定理使用動(dòng)量定理（控制面內(nèi)流體在某個(gè)方向的動(dòng)量總增加率等于作用在控制面上所控制面內(nèi)流體在某個(gè)方向的動(dòng)量總增加率等于作用在控制面上所有作用力在該方向的分力有作用力在該方向的分力）得到一個(gè)積分關(guān)

9、系式，具有較大的實(shí)用價(jià)值以二維定常問(wèn)題為例35邊界層流動(dòng)分離在邊界層內(nèi)：順壓梯度p/x0則使邊界層增厚的過(guò)程加快分離問(wèn)題：對(duì)于邊界層方程，在壁面上此式左側(cè)代表邊界層內(nèi)速度分布曲線的二階導(dǎo)數(shù)，此值為0代表拐點(diǎn)，vx/y由負(fù)變正的地方36邊界層流動(dòng)分離在平板流中，U=常數(shù)，p/x=0，平板的速度分布曲線的拐點(diǎn)在y=0處；從y=0起，有一個(gè)很大的vx/y值，隨著y增大， vx/y單調(diào)下降，直到邊界層的外邊界y=處， vx/y降為0。37邊界層流動(dòng)分離在繞曲面的流動(dòng)中加速段U/x0，相應(yīng)的p/x0，是順壓梯度，由上頁(yè)方程看vx/y 在壁面附近隨著y上升而下降，從y=0起到y(tǒng)=一直下降，邊界層內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn)。減速段U/x0，是逆壓梯度，0。在壁面附近開(kāi)始vx/y 隨著y增大而增大，到邊界層外邊界y=處， vx/y必然降為0，這樣就可以知道在這種流動(dòng)中vx/y后來(lái)必然改為下降，可知在邊界層內(nèi)部一個(gè)y處應(yīng)該出現(xiàn)拐點(diǎn)。速度分布曲線有拐點(diǎn)是分離的必要條件38邊界層流動(dòng)分離分離點(diǎn)上速度分布的特點(diǎn)是邊界層外邊界速度分布曲線在y=0與y=之間某處必有一拐點(diǎn)拐點(diǎn)的存在不是分離的充分條件。順壓梯度或無(wú)壓力梯度的邊界層流動(dòng)里不會(huì)發(fā)生分離；逆壓梯度的邊界層流動(dòng)里可能發(fā)生分離。39邊界層流動(dòng)分離從物理角度分