同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》(第四版)3-4節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法 一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法 二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.),(,)(導(dǎo)內(nèi)可上連續(xù)，在在設(shè)函數(shù)babaxfy abBA上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（,)(0)(),(1baxfyxfba，內(nèi)如果在0)(),()2( xfba.,)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)baxfy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)

2、返回返回證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在

3、在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(: D又又上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二、單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題問(wèn)題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，的，導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不

4、可導(dǎo)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，方法方法: :,)()(0)(的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)的根及用方程xfxfxf則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 可能是單調(diào)區(qū)間可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)符號(hào)。然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減

5、少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例4

6、4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中

7、的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式根的個(gè)數(shù)和證明不等式.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思考題思考題 若若0)0( f，是是否否能能斷斷定定)(xf在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分小小的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增？上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思考題解答思考題解答不能斷定不能斷定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)

8、( xxxxxf上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為_(kāi) _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)

9、_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_(kāi)， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_(kāi)._.二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習(xí)習(xí) 題題上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當(dāng)當(dāng)4 x時(shí)，時(shí)，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx

10、有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根. .五、五、 設(shè)設(shè))(xf在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf , ,試證試證 明：對(duì)于明：對(duì)于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習(xí)題答案練習(xí)題答案上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)