病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型

1、病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型摘要本文基于傳統(tǒng)的傳染病模型，以微分方程的方法作為理論根底，結(jié)合采取的措施不同的情況，用MATLAB軟件擬合出患者人數(shù)與時(shí)間的曲線關(guān)系，從中得出應(yīng)采取的相應(yīng)的應(yīng)對措施。在考慮地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，人群被分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，再將這幾類分為可傳染性和不可傳染性兩種。我們找出單位時(shí)間內(nèi)正常人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)潛伏期病人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)退出的人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)疑似患者人數(shù)的變化等關(guān)系建立微分方程模型，得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型。在此根底上，我們將所要求的問題帶入模型得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，根據(jù)這圖形得出

2、模型結(jié)果的變化。這樣一來就可根據(jù)這結(jié)果的變化得出相應(yīng)的應(yīng)對措施。此外對該傳染病的潛伏期及治愈期進(jìn)行了靈敏度分析，發(fā)現(xiàn)潛伏期的變化會對整個(gè)模型的結(jié)果產(chǎn)生較大影響，而治愈期的變化只會使傳染病的持續(xù)時(shí)間縮短，但對累積的患病人數(shù)影響不大。應(yīng)盡量防止患者與正常人接觸，減少正常人患病的可能性；加大隔離措施強(qiáng)度；減少拖延患者去住院的時(shí)間，讓患者及時(shí)住院治療。養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，保證科學(xué)睡眠，適當(dāng)鍛煉，減少壓力，保證營養(yǎng)，增強(qiáng)個(gè)人抵抗力，降低被病毒感染的危險(xiǎn)。關(guān)鍵詞：曲線關(guān)系 微分方程模型 病毒擴(kuò)散與傳播 一、問題重述某種不完全確知的具有傳染性病毒的潛伏期為天，病患者的治愈時(shí)間為天。該病毒可通過直接接觸、口腔

3、飛沫進(jìn)行傳播、擴(kuò)散，該人群的人均每天接觸人數(shù)為。為了控制病毒的擴(kuò)散與傳播將該人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制參數(shù)是隔離措施強(qiáng)度潛伏期內(nèi)的患者被隔離的百分?jǐn)?shù)。 要求：1、在合理的假設(shè)下試建立該病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型；2、利用你所建立的模型針對如下數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬條件1：；條件2：已經(jīng)知道的初始發(fā)病人數(shù)為890、疑似患者為2000；條件3：隔離措施強(qiáng)度；條件4：患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離,試給出患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，并明確標(biāo)識圖中的一些特殊點(diǎn)的具體數(shù)據(jù)，分析結(jié)果的合理性。3、假設(shè)將2中的條件4改為條件：患者1.5天后入院治療，疑似患者1.5天后被隔離

4、,模擬結(jié)果有何變化？4、假設(shè)僅將2中的條件3改為條件：隔離措施強(qiáng)度，模擬結(jié)果有何變化？5、假設(shè)僅將2中的條件1改為條件：，模擬結(jié)果有何變化？6、分析問題中的參數(shù)對計(jì)算結(jié)果的敏感性。7、針對如上數(shù)據(jù)給政府部門寫一個(gè)不超過400字的建議報(bào)告。二、問題分析在考慮地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，人群被分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，我們可知，治愈者、死亡和正常人不可能傳染病毒，我們把問題轉(zhuǎn)化為如何找出正確的關(guān)系表達(dá)式來表達(dá)出每天病人增加的總數(shù)的問題，找出單位時(shí)間內(nèi)正常人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)潛伏期病人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)退出的人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)疑似患者人數(shù)的變化等關(guān)

5、系建立微分方程模型，得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型。在問題一的已求出得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型的根底上，我們將后幾問所要求的問題帶入模型就可得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，我們可以根據(jù)這些圖得出模型結(jié)果的變化。這樣一來就可根據(jù)這些模型結(jié)果的變化得出相應(yīng)的應(yīng)對措施。三、模型假設(shè)1、將病毒所有傳播途徑都視為與病原的接觸；2、在疾病傳播期間內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N視為常數(shù)，即認(rèn)為本地區(qū)流入的人數(shù)與流出的人數(shù)相等，時(shí)間以天為計(jì)時(shí)單位；3、該病毒處于潛伏期的病毒不具有傳染性；4、治愈者二度感染的概率為0，他們以退出傳染體系，因此將他們歸為“退出者；5、不考慮這段時(shí)間內(nèi)人口出生率和自然死亡率，而對于由病毒引

6、起的死亡人數(shù)，也將其歸為“退出者；6、被隔離的人群完全斷絕與外界的接觸，不再具有傳染性；7、不考慮被隔離而實(shí)際又未被感染者，因?yàn)檫@局部人沒有自由活動，對疾病的傳播感染和被感染根本不造成任何影響；8、將人群分為以下四類：正常人：易感染者確診患者：傳染者退出者：“治愈者和“死亡者統(tǒng)稱；疑似患者：被隔離但還沒有確診或者排除的人員；四、符號約定：確診病人；：潛伏期病人感染了但處于潛伏期沒有傳染性的人)；：類似病人病癥類似感染但其實(shí)沒有感染的人)；：退出者痊愈和死亡確實(shí)診病人)；：普通易感者；：病人的傳染系數(shù)；：潛伏期病人的傳染系數(shù)假設(shè)潛伏期病人也有傳染性，但小于；：傳染性病毒的潛伏期；：病患者的治愈時(shí)

7、間；：該人群的人均每天接觸人數(shù)；：可控制參數(shù)是隔離措施強(qiáng)度潛伏期內(nèi)的患者被隔離的百分?jǐn)?shù)；五、模型的建立與求解51 模型一5.1.1 模型準(zhǔn)備根據(jù)人口守恒原理,可建立如下模型：模型將疫區(qū)的總?cè)丝跀?shù)看成不變(不考慮流動人口) ,將疫區(qū)所有的人(假設(shè)人口的自然出生率和死亡率在疫期相等)分為:：確診病人：潛伏期病人感染了但處于潛伏期沒有傳染性的人)：類似病人病癥類似感染但其實(shí)沒有感染的人)：退出者痊愈和死亡確實(shí)診病人)：普通易感者5.1.1.1 單位時(shí)間內(nèi)正常人數(shù)的變化：5.1.1.2 單位時(shí)間內(nèi)潛伏期病人數(shù)的變化：5.1.1.3 單位時(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化：5.1.1.4 單位時(shí)間內(nèi)退出的人數(shù)的變

8、化：5.1.1.5 單位時(shí)間內(nèi)疑似患者人數(shù)的變化：其中， ， 為初值(1)、傳染病毒的平均潛伏期為，即單位時(shí)間內(nèi)潛伏期病人以比例常數(shù)，轉(zhuǎn)為感染者；(2)、確診病人平均死亡或痊愈的療程為,即單位時(shí)間感染者的恢復(fù)率為；(3)、疑似患者平均療程為，即單位時(shí)間內(nèi)疑似患者的恢復(fù)率為；(4)、單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)易感者與病人的接觸率參數(shù)為；(5)、易感者與疑似患者的接觸率參數(shù)；(6)、考慮疑似患者感染病菌轉(zhuǎn)為潛伏期病人,但潛伏期病人不會轉(zhuǎn)為疑似患者；(7)、為隔離措施強(qiáng)度；(8)、為痊愈的被解除隔離的疑似患者；(9)、和 均為被隔離對象；(10)、為疑似患者；初值的設(shè)定: 這些數(shù)據(jù)是一個(gè)根據(jù)人口總數(shù)和醫(yī)學(xué)常識的

9、估計(jì)值。 ， 千萬,不考慮流動人口;；參數(shù)的設(shè)定:，設(shè)傳染病平均潛伏期為5;， 設(shè)確診病人平均死亡或痊愈的療程為20;，設(shè)疑似病人平均療程為20;，疑似病人與易感者的接觸率參數(shù)也假設(shè)固定。5.1.2 模型的建立 ， 千萬,不考慮流動人口，。5.2 模型二5.2.1 模型建立當(dāng)，患者兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：如下5.2.2 結(jié)果分析 從圖中我們可以看出患者人數(shù)隨時(shí)間變化先是急劇升高，這說明這是病毒傳播初期的開展趨勢，然后可以看到最高點(diǎn)(第12.37天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6803000人，通過采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可

10、以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。5.3 模型三5.3.1 模型建立當(dāng)，患者1.5天后入院治療、疑似患者1.5天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：如下5.3.2 結(jié)果分析從圖中我們可以看出在最高點(diǎn)(第12.39天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6776000人，通過采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢，并且在100天后患者人數(shù)降低到516500人。與問題二相比擬我們可以知道提前入院治療可以減少患者的人數(shù)，同時(shí)也可以更好的控制病毒的傳播，更好的預(yù)防正常人患病。5.4 模型四5.4.1 模型建立當(dāng)，患者

11、兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：如下5.4.2 結(jié)果分析從圖中我們可以看到最高點(diǎn)(第12.12天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6802000人，通過采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。與問題二相比擬我們可以知道降低隔離措施會增加患者的人數(shù)，同時(shí)會對控制病毒的傳播帶來負(fù)面影響，會導(dǎo)致更多的正常人患病。所以我們建議醫(yī)院加大病毒的控制強(qiáng)度。5.5 模型五 5.5.1 模型建立當(dāng)，患者兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：如下5.

12、5.2 結(jié)果分析從圖中我們可以看到最高點(diǎn)(第12.48天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6803000人，通過采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。與問題二相比擬我們可以知道確診患者的人均接觸人數(shù)增大時(shí)，患病頂峰期會延遲，同時(shí)會對控制病毒的傳播帶來負(fù)面影響，會導(dǎo)致更多的正常人患病。所以我們建議這些確診患者減少與外界正常人的接觸，這樣減少正常人患病的可能性。5.6 模型五 5.6.1 模型建立通過建立的模型，我們對問題二、三、四、五進(jìn)行了定量的計(jì)算，問題二、三、四、五是改變模型中的一些參數(shù)的值，得到不同參數(shù)下的結(jié)果，

13、并分析了參數(shù)的改變對患者數(shù)量最大值，到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間以及疫情得到控制的時(shí)間的變化，通過對這些數(shù)據(jù)結(jié)果的分析，可以得到某一參數(shù)的改變對病毒傳播過程的影響，通過數(shù)據(jù)前后的比照，可以分析參數(shù)對計(jì)算結(jié)果的敏感性，針對這個(gè)問題，通過以上幾問的求解，可以得到以下表格表1：表1 各個(gè)參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值問題最大值時(shí)間患病人數(shù)最大值隔離措施強(qiáng)度P患者入院前天數(shù)n人均每天接觸人數(shù)R第二問12.37468030000.6210第三問12.3967760000.61.510第四問12.1268020000.4210第五問12.4868030000.622501、對患者m天后入院治療的靈敏度分析通過問題二與問題三的解答

14、可知，我們通過改變患者入院治療的時(shí)間，即將m分別取值為2和1.5天，然后得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化曲線見圖1和2，通過分析比照可知：當(dāng)m=2時(shí)，患者人數(shù)的最頂峰到達(dá)了6803000人；當(dāng)m=1.5時(shí)，患者人數(shù)的最頂峰到達(dá)了6776000人。因此通過控制患者發(fā)病后入院治療的時(shí)間就可適當(dāng)?shù)臏p少病情持續(xù)時(shí)間。2、對隔離強(qiáng)度p的靈敏度分析通過對問題二與問題四的圖象的觀察，我們通過改變隔離措施強(qiáng)度分析數(shù)據(jù)的變化，當(dāng)P減小后患者人數(shù)最大值相比第二問來說增加了，同時(shí)到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間也增大了，我們還可以看出病情消退的時(shí)間也稍稍的增長了，這說明隔離措施P減小時(shí)患者人數(shù)的最頂峰增大了，同時(shí)到達(dá)這個(gè)數(shù)值的時(shí)間也相應(yīng)

15、的增大了，所以我們應(yīng)盡量地增大隔離措施強(qiáng)度P，這樣來椒使病毒消退時(shí)間減小，所以政府應(yīng)盡量地增大隔離措施P3、對人均每天接觸人數(shù)R的靈敏度分析 通過對問題二與問題五的圖像觀察，我們通過改變?nèi)司佑|人數(shù)R分析數(shù)據(jù)的變化，當(dāng)R增大時(shí)患病人數(shù)最大值在增加，同時(shí)到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間也在增加，病毒的消退時(shí)間也相應(yīng)地增加，所以我們應(yīng)盡量控制患者人均接觸人數(shù)，應(yīng)盡量地讓大家少接觸人，這樣控制了人均接觸人數(shù)，病毒的消退時(shí)間也會大大減小，疫情容易得到控制5.7 病毒擴(kuò)散與傳播控制的建議報(bào)告隨著社會的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的開展，傳統(tǒng)的傳染病得到了有效的控制，但同時(shí)新發(fā)的傳染病卻不斷出現(xiàn)，對于新發(fā)的某種不完全確知的具有傳染

16、性的病毒的突襲，我們首先要了解該病毒的傳播方式，做好相應(yīng)的防范措施。通過本模型結(jié)果可知，被感染的人數(shù)有很大的差距，r越大被感染的人就越多，所以我們應(yīng)該盡量防止與病人接觸，因而要盡量少去人多的地方。隔離措施強(qiáng)度相比擬可知，p越小病情很越難控制，所以政府要加強(qiáng)隔離措施強(qiáng)度。且要減少拖延患者去住院的時(shí)間，讓患者及時(shí)住院治療。而且減少患者與外界人的接觸，減少正常人患病的可能性。最根本的實(shí)質(zhì)還是平時(shí)要養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，保證科學(xué)睡眠，適當(dāng)鍛煉，減少壓力，保證營養(yǎng)，增強(qiáng)個(gè)人抵抗力，才可以降低被病毒感染的危險(xiǎn)。六、模型的評價(jià)與推廣6.1 模型的評價(jià)6.1.1 模型的優(yōu)點(diǎn)、將醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)領(lǐng)域上進(jìn)行

17、分析和討論，可以定量地得出傳染病的開展趨勢以及對未來的預(yù)測結(jié)果，具有很強(qiáng)的理論性和可靠性。、模型中涉及到的參變量都有相應(yīng)的數(shù)據(jù)來源，結(jié)合一定的數(shù)據(jù)可以很方便計(jì)算出，而且各變量間關(guān)系明確，易于模型的求解。、由于本文的數(shù)學(xué)模型基于連續(xù)的微分方程，不會得出準(zhǔn)確的解析解，我們在合理參數(shù)確定的前提下，將參數(shù)進(jìn)行擬合，準(zhǔn)確模擬出傳染病開展趨勢走向的曲線，從宏觀的角度上給社會一個(gè)明晰的概念，易于被社會接受，對政府和人們采取措施起到了指導(dǎo)作用，具有一定的實(shí)用價(jià)值和直觀性。、針對傳染病對我們各方面的影響，我們給政府相應(yīng)的政策，在現(xiàn)實(shí)生活中很具有實(shí)用性。6.1.2 模型的缺乏、采用微分方程方法建立數(shù)學(xué)模型，易受外

18、界因素變化的影響，其穩(wěn)定性具有相對性，這就提出了外界干擾對該模型的影響程度的研究，從而建立傳染病模型的穩(wěn)定性理論，這點(diǎn)需在模型推廣中進(jìn)一步討論。、模型中的參數(shù)變量有其自身的隨機(jī)性，雖然我們采取對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均的處理方法，但在計(jì)算結(jié)果上仍存在一定的誤差。、模型中涉及到的參數(shù)較多，在實(shí)際生活當(dāng)中很難確定各參數(shù)。6.2 模型的推廣我們建立該傳染病模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用，可廣泛應(yīng)用于人口、交通、腫瘤、戰(zhàn)爭、幾何、物理、化學(xué)、體育、社會、經(jīng)濟(jì)等方面。對于微分模型受外界因素的干擾情況，我們可以借助一個(gè)稱為李雅普諾夫函數(shù)的輔助函數(shù)和擾動微分方程所計(jì)算出來的全導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì)來直接推斷方程組

19、的穩(wěn)定性問題，亦稱為李雅普諾夫直接法。七、參考文獻(xiàn)1 姜啟源 謝金星 葉俊，?數(shù)學(xué)模型?第三版，北京：高等教育出版社，2003。2 甘筱青，?數(shù)學(xué)建模教育及競賽?，江西：江西高校出版社，2004。3 趙靜 但琦，?數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?第二版，北京：高等教育出版社，2003。4 吳建國，?數(shù)學(xué)模型案例精編?，北京：中國水利水電出版社，2005。八、附件問題二程序：function x=ill(t,x)%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);m1=10;m2=1*10.(-11); w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;x=-m1*x(3)*(1-w)*x

20、(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)'s0=10000000,500,890,0,2000;t,x=ode23s(ill,0,100,s0)plot(t,x( : ,3);hold ontext(0,890,' (0

21、,890)','color','r')text(12.37,6.803E+006,' (12.37,6.803E+006)','color','r')text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')問題三程序：function x=ill(t,x

22、)%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);m1=10;m2=1*10.(-11); w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;x=-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d

23、3)'s0=10000000,500,890,0,2000;t,x=ode23s(ill,0,100,s0)plot(t,x( : ,3);hold ontext(0,890,' (0,890)','color','r')text(12.39,6.776E+006,' (12.39,6.776E+006)','color','r')text(80,5.165E+005,' (100,5.165E+005)','color','r')plot(0

24、,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')問題四程序：function x=ill(t,x)%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);m1=10;m2=1*10.(-11); w=0.4;d3=32;d2=11;d1=1;x=-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d

25、1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)'s0=10000000,500,890,0,2000;t,x=ode23s(ill,0,100,s0)plot(t,x( : ,3);hold ontext(0,890,' (0,890)','color','r')text(12.12,6.802E+006,' (12.12,6.802E+006)','color','r')text(74,5.408E+005,'