損傷與斷裂力學第4章(礦大)高峰

1、第4章 線彈性斷裂力學 的基本理論4-1 應力強度因子概念和能量釋放觀點的統(tǒng)一 假設不考慮塑性變形能、熱能和動能等其它能量的損耗，則能量轉換表現(xiàn)為所有能量在裂端釋放以形成新的裂紋面積。下面以帶有穿透板厚的I型裂紋的平板為例，來建立應力強度因子和能量釋放率間的關系。 裂紋尖端正前方的應力分布 裂紋長度(或裂紋半長度)為a的裂紋端點正前方r處有使裂紋面撐開的拉伸應力: rKrIy2)0 ,(23sin2sin12cos2rKIy裂紋面上的位移 在初始應力如上式給出的情形下，設裂紋可以延長a長度，即把裂端前方撐開成長度為a+s的裂紋。此時在原坐標系的x=r處或離新裂紋端點s-r處，新裂紋上表面的位移

2、v(s-r,)：2sin2cos2) 1(2222/1rKvIsaIKrsrsv221),(裂紋形成時外力做功 當裂紋表面張開至上式給出的位移值時，裂紋表面才當裂紋表面張開至上式給出的位移值時，裂紋表面才真正形成，此時裂紋表面已無應力作用。由于作用力與位真正形成，此時裂紋表面已無應力作用。由于作用力與位移同向，當裂紋長度延長移同向，當裂紋長度延長s時，作用力對裂紋上表面所做的時，作用力對裂紋上表面所做的功為：功為：Bdrrsvrsy02),()0 ,(B為平板的厚度能量釋放與應力強度因子 按照Griffith能量釋放的觀點，裂紋長度延長s時，此裂紋端所釋放的能量將等于裂紋上下表面所做的功。因此

3、，按照I型裂紋能量釋放率GI的定義 :當s0時，有KIa+s KI，經(jīng)過積分得：BdrrsvrBsGsysI002),()0 ,(2lim281IIKG簡化的統(tǒng)一形式對于平面問題，若取有效彈性模量對于平面問題，若取有效彈性模量E1和有效泊松比和有效泊松比1，而，而平面應力平面應力平面應變平面應變則平面應力和平面應變狀態(tài)下的本構關系及其解均將完全相同則平面應力和平面應變狀態(tài)下的本構關系及其解均將完全相同 。于是：于是：211EEE1112EKGII這就是這就是著名的能量釋著名的能量釋放率與應力強度因子放率與應力強度因子的關系式。的關系式。 其余裂紋類型情況 上式成立是基于裂紋沿原方向擴展的假設上

4、。若假設II型裂紋和III型裂紋的擴展方向也是裂端正前方，則有： 如果帶裂紋的平板受到I，II，III三種載荷而成復合型裂紋時，若仍假設裂紋沿原方向擴展，則總能量釋放率為 ：EKGEKGIIIIIIIIII212)1 (EKEKKGGGGIIIIIIIIIIII2122)1 (提 示 實驗結果指出，除實驗結果指出，除I型裂紋可以沿原方向型裂紋可以沿原方向擴展外，其余裂紋型往往不沿原方向擴展。擴展外，其余裂紋型往往不沿原方向擴展。因此總能量釋放率只是近似估計式。如果要考慮裂紋真正的擴展方向來計算，這已不是解析的方法所能做到，必須要用數(shù)值解法，同時還要一套斷裂理論指出裂紋開裂的方向。?練 習思考題

5、思考題 為何不同型裂紋的能量釋放率可以線性疊加為何不同型裂紋的能量釋放率可以線性疊加?而應力強而應力強度因子卻不能度因子卻不能?習題習題 試建立試建立IIII型和型和IIIIII型裂紋的應力強度因子和能量釋放率型裂紋的應力強度因子和能量釋放率之間的關系之間的關系 。4-2 柔度法 柔度法是通過柔度隨裂紋長度而改變這個性質，用測量的方法來得到G，然后再利用G與K的關系來得到K值。 由于I型裂紋的G與K的關系式是精確的，并且I型裂紋容易施加載荷，所以柔度法一般只用在I型裂紋。 I型裂紋是最危險的。恒載荷和恒位移時G的表達式 當邊界是給定位移時，外界對系統(tǒng)不做功，則這是恒位移時能量釋放率的表達式 。

6、若系統(tǒng)邊界某范圍是給定載荷 ，這是恒載荷時的能量釋放率表達式。柔度法一般限制在二維問題，尤其是I型裂紋，柔度法通常用來做應力強度因子的標定dAUWdG)(dAdUGdUPddW2pdAdUG恒載荷柔度法 一塊很長的矩形板，板厚為B，板下邊固定，上邊某點有拉力P，載荷點位移為。拉力P方向垂直裂紋面。在裂長為a時，拉力P可產(chǎn)生位移(a)，當裂紋增至 時，位移也增至 :因為位移和拉力有如下關系 ,C是柔度 ,于是：aa)(aaaaaaa)()(aaCPaaPPUP22212CPPaCBPaBUG22恒位移柔度法 長矩形板如圖，一邊固定，另一邊強迫作位移 后也加以固定。假設裂紋長度 由增至 ，則應變能

7、的改變是OBC減去OAC，即等于負的OAB的面積，。此時，載荷改變量P也是負值。 caaa1;21CPPUc)(2)(221121aCBaCBaBPdAdUGcccc 應該指出，載荷與位移之間的正比關系是建立在材料服從虎克定律的基礎上，因此要求裂紋尖端的塑性區(qū)是微小的，如果裂端塑性區(qū)大到不可忽略時，則載荷與位移之間的線性關系不再成立，這時屬于彈塑性斷裂力學的范圍。 柔度法一般應用于恒載荷時平板的I型裂紋問題，要求裂紋前沿整齊，有相同的能量釋放率。整個應力強度因子標定的步驟如下 (1) 選定一標準試件長條板單邊裂紋試件，用薄刀片加工，制成長為a1的I型裂紋。然后材料試驗機上拉伸，畫出拉力和加載點

8、位移關系線。此時關系應是線性的。 拉力值不得大到使P-關系產(chǎn)生非線性。下一步，再度使裂紋稍稍延長至長度a2，有在同一張紀錄紙上記下此時的P-關系。如此進行至少十多次，裂紋長度已相當長時才停止。 (2) 求出不同裂紋長度下的柔度C，柔度C是直線P-斜率的倒數(shù)。把柔度與裂長的關系畫在圖中。若是數(shù)據(jù)點足夠多，可用最小二乘法把數(shù)據(jù)點擬合成一條多項式表示的曲線。 44332210)()()()(habhabhabhabbBECPaCBPaBUG22)(4)(3)(22134232122habhabhabbPEhGB2134232121)(4)(3)(2)2(habhabhabbhBPK12EKGII 習

9、題1.求恒拉力下雙懸臂梁試件的應力強度因子。2.有限大小彈性圓柱體含有位于中心的圓裂紋時，試求在拉力作用下類似 的能量釋放率表達式。3.如圖所示，在上下表面，有位移v=v0和xy=0，即被剛體固接。此時橫向位移u不受約束。求在平面應力時的應力強度因子。PaCBPG224-3 斷裂判據(jù)斷裂過程區(qū) 斷裂總是始于裂端的極小區(qū)域，當其損傷達到臨界程度時才發(fā)生的。在此小區(qū)域中材料的微結構起決定影響，也是宏觀力學不適用的地方。這個小區(qū)域就叫做斷裂過程區(qū)FPZ (fracture process zone)。 K場區(qū) 在第三章中，給出各型裂紋的裂端應力場時，已忽略掉高次項，因此也僅適合裂紋尖端的小區(qū)域內，此

10、區(qū)域稱為K場區(qū)。K場區(qū)內的應力應變強度可用應力強度因子來度量；場區(qū)外則須加上高次項。 關于K場區(qū)和斷裂過程區(qū) 如果K場區(qū)尺寸小于斷裂進行區(qū)尺寸，則計算應力強度因子已失掉意義，此時宏觀力學在裂端區(qū)是不實用的。 反過來，若K場區(qū)尺寸比斷裂進行區(qū)尺寸大幾倍以上，則斷裂進行區(qū)是否會發(fā)生斷裂，受其外部的K場區(qū)強度所制約，因此，斷裂判據(jù)可建立在K場區(qū)強度是否達到臨界條件這個基礎上。 由于無限大應力實際上不存在，裂端總有個塑性區(qū)，而塑性區(qū)內的應力是有界的。因此，應力強度因子斷裂判據(jù)成立的條件是，塑性區(qū)尺寸比K場區(qū)小幾倍，也要比裂紋長度小幾倍以上。 幸運的是，許多高強度合金和工程材料在發(fā)生脆性斷裂時，多是K場

11、區(qū)強度起支配作用的。因此，應力強度因子斷裂判據(jù)適合于這些材料的脆性斷裂。斷裂判據(jù) 對于一個單獨型的裂紋，利用應力強度因子和能量釋放率的對于一個單獨型的裂紋，利用應力強度因子和能量釋放率的關系，可有斷裂判據(jù)：關系，可有斷裂判據(jù)： I I型裂紋是最常見的裂紋型，其失穩(wěn)斷裂開始的臨界點型裂紋是最常見的裂紋型，其失穩(wěn)斷裂開始的臨界點K Kcrcr，通，通常與試件常與試件( (或構件或構件) )的厚薄、大小有關。當試件的厚薄、大小有關。當試件( (或構件或構件) )厚到某一厚到某一程度和大到某一程度，脆性材料的程度和大到某一程度，脆性材料的K Kcrcr值達到極小值，以后尺寸厚值達到極小值，以后尺寸厚度

12、再增加，度再增加， K Kcrcr仍維持此極小值，此極小值用符號代表即為仍維持此極小值，此極小值用符號代表即為K KICIC ，其相應的其相應的G GICIC值稱為平面應變的斷裂韌度。因此，值稱為平面應變的斷裂韌度。因此，I I型裂紋保守的型裂紋保守的判據(jù)為判據(jù)為: :crKK ICIKK 斷裂判據(jù)可以解決下列兩個問題(1)當知道工作載荷時，可以計算出斷裂時的臨界裂紋尺寸；(2)當知道裂紋尺寸和位置時，可計算出可能引起斷裂的載荷。例 題例題例題 34GrNi3Mo鋼所制成的粗軸，探傷檢查發(fā)現(xiàn)主要的缺陷是內部有一半徑為40mm的圓裂紋，裂紋面的法線方向與軸向平行。已知軸半徑遠大于裂紋尺寸，同時測

13、得鋼的KIC為99.2MN/m3/2,試問要是發(fā)生斷裂，軸向拉伸應力至少有多大?解 答 因為粗軸半徑遠大于圓裂紋半徑，可采用無限大彈性體有圓裂紋的應力強度因子的解。于是臨界條件為：于是：ICcrKa 2)MN/m(44722aKICcr習 題1 1 有一平均半徑為有一平均半徑為800mm800mm，壁厚，壁厚10mm10mm的圓柱殼形高壓的圓柱殼形高壓容器，所用鋼材具有容器，所用鋼材具有K KICIC值值130MN/m130MN/m3/23/2, ,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有一長為現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有一長為12mm12mm、最深為、最深為4mm4mm的內表面半橢圓軸向裂紋。問的內表面半橢圓軸向裂紋。問(A)(A)內內壓多達

14、時才會發(fā)生斷裂壓多達時才會發(fā)生斷裂?(B)?(B)若內壓只是臨界內壓的若內壓只是臨界內壓的1/41/4，并假設裂紋形狀不變，問裂紋擴展至多大才會發(fā)生斷并假設裂紋形狀不變，問裂紋擴展至多大才會發(fā)生斷裂裂? ?2 2 在習題在習題1 1中，若發(fā)現(xiàn)的裂紋是長為中，若發(fā)現(xiàn)的裂紋是長為200 mm200 mm，深為，深為4 4 mmmm的內表面橫向的內表面橫向( (圓周向圓周向) )裂紋。試求出習題裂紋。試求出習題1 1中的兩個中的兩個問題。問題。4-4 阻力曲線 能量釋放率可做為裂紋是否擴展的傾向能力的度量，又稱為裂紋擴展力。裂紋擴展力必須大于裂紋擴展阻力，裂紋才有可能擴展。對平面應變的脆性斷裂來說，

15、裂紋擴展阻力由KIC確定，是個常數(shù)值，不隨裂紋增長而變。但對不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面應變所要求的厚度時，裂紋擴展阻力不再是常數(shù)。為了說明裂紋擴展阻力的觀念，現(xiàn)在以平面應變無限大平板I型中心裂紋為例， 脆性斷裂阻力曲線 當拉伸應力保持定值時，裂紋擴展力G隨a增加而線性上升。在1時，裂紋半長度為a1就達到裂紋擴展阻力值GIC。超過a1 ，就發(fā)生失穩(wěn)斷裂；低于a1 ，則裂紋不擴展。 脆性斷裂阻力曲線 以小于1的拉伸應力2作用時，必須超過較長的a2才會發(fā)生斷裂。圖中帶箭頭的直線代表裂紋擴展力，只有當裂紋擴展力大于常數(shù)值的阻力R=KIC，才會發(fā)生失穩(wěn)斷裂。 脆性斷裂阻力曲線 如果將x軸改為代表

16、裂紋擴展增量a，則可以改畫成下圖。 a 0部分才是真正擴展。 a 0部分即表示不擴展，而以負方向離原點的距離表示裂紋半長度的大小。 韌性斷裂阻力曲線 在板厚較薄而不合乎平面應變條件時，裂紋擴展阻力R隨a增加而增加。圖(49)的例子仍是Griffith裂紋，此時裂紋擴展阻力是一曲線。此曲線叫做阻力曲線或R曲線。 圖4-9 非平面應變的R曲線韌性斷裂阻力曲線 例如在韌性斷裂時，裂紋擴展阻力往往是呈曲線的。一旦達到并稍為超過裂紋開始擴展的條件時，若外力仍維持不變，則較長的裂紋(例如圖中的裂長a2受到2作用時)有可能稍為擴展，然后很快地停止下來。只有當外力較大時，才有可能引起失穩(wěn)擴展。圖4-9 非平面

17、應變的R曲線韌性斷裂阻力曲線 阻力曲線的測定一般是針對裂紋擴展阻力不為常數(shù)值時才實施。脆性材料平面應變的恒載荷試驗時，試件一啟裂就立即失穩(wěn)擴展。但對阻力隨裂紋擴展增量而變的情形，達到啟裂點后不一定會發(fā)生擴展，即使擴展也不一定是失穩(wěn)擴展。當擴展力稍稍超過啟裂點時，往往有一段穩(wěn)定擴展(也叫做亞臨界裂紋擴展)。當達到失穩(wěn)斷裂時，這時的a量已達到不可忽略了，對于有穩(wěn)定擴展階段的斷裂韌度測試中，若監(jiān)測啟裂點不容易時，可以用阻力曲線的測量，然后用外推法得出啟裂點。 思考題1.在帶裂紋平板的表面鉚接或焊接一塊平板，把裂紋覆蓋起來(此稱為加筋板)。試根據(jù)阻力曲線的原理，討論裂紋可能的擴展行為。2.如果已測量到

18、一組(R, a)數(shù)據(jù)，這里R是裂紋擴展阻力。你如何得到啟裂時的R值?3.圖(49)中，若裂紋很短(例如為a1)，裂紋擴展力為G1的概念在什么情況下是正確的?什么情況下是不正確的?4-5 應變能密度因子 考慮二維的裂紋問題，受到I、II、III型三種載荷中的任一種或兩種以上載荷的作用。裂紋前緣是平直的，即整個前緣各點的應力強度因子值都相同，如圖所示，裂紋端點區(qū)附近的一點P處有體積元，其應力場為三種裂紋應力場的疊加 ：一般情況下的裂紋尖端應力場23cos2cos22sin223cos2sin12cos221rkrkx23cos2cos2sin223sin2sin12cos221rkrky)(0yx

19、z23sin2sin12cos223cos2cos2sin221rkrkxy平面應力平面應變2cos22sin233rkrkyzxz321,kKkKkKIIIIII記記應變能密度公式)(21)()(21222222zxyzxyxzzyyxzyxEEdVdU212333222221122111kakakkakardVdU于是，平面應變于是，平面應變時在時在P P點的應變能點的應變能密度為密度為 ：式中：41)1cos3)(cos1 ()cos1)(1 (4161)21 ()cossin2(161)cos1)(cos43(16133221211aaaaFPZ 設裂端有個以裂端為原點、半徑為r0的圓

20、形損傷核(或叫斷裂進行區(qū))。設r0值遠小于K場區(qū)尺寸，如此，在脆性斷裂時，斷裂是否會發(fā)生要由K場區(qū)應力應變強度來決定。 對于復合型裂紋，應變能密度可綜合度量K場區(qū)應力應變的強度；更重要的是，應變能密度是個單參數(shù)，它代替兩個以上的應力強度因子(多參數(shù))。因此，根據(jù)應變能密度的概念而建立的斷裂判據(jù)，顯然要比多參數(shù)判據(jù)簡單。 K場區(qū) 損傷核周界是損傷核與K場區(qū)的交界。在K場區(qū)所有位置的應變能密度中，周界上的應變能密度對斷裂是否發(fā)生，起著決定性的作用。 應變能密度因子S 此應變能密度因子只是極坐標的函數(shù)，與另一變數(shù)r無關。 2333222221122111020kakakkakadVdUrSrSih

21、(薛昌明) 假說 Sih (薛昌明)提出下列兩個假說 （1）裂紋擴展的方向為S的一個局部極小值的方向，即 這里0為裂紋擴展角，或叫做開裂角。 （2）當此S極小值，即Smin=S(0 )，達到或超過一臨界值Scr時，就發(fā)生失穩(wěn)斷裂。 000022SS薛昌明介紹 國際著名學者、美籍華裔科學家、美國 Lehigh大學資深教授、現(xiàn)代工程斷裂力學的奠基人之一， Lehigh大學斷裂與固體力學研究所所長?，F(xiàn)擔任華東理工大學特聘兼職教授等。 生于1953年獲美國Porland大學機械工程學士學位，1957年獲美國紐約大學機械工程碩士學位，1960年獲美國里海大學機械工程博士學位。1965年，任美國里海大學教

22、授。從1965年開始，薛博士先后兼任美國加州理工學院客座教授（1965）、美國Hahnemann醫(yī)學院和費城醫(yī)院兼職教授（1972）、西安交通大學名譽教授（1995）、清華大學客座教授（1995）、中國科學院榮譽研究員（1995）、西安交通大學高科技研究院院長（1996）、中國科技大學客座教授（1997）等。 主要兼職有：國際理論與應用斷裂力學雜志主編；國際斷裂力學雜志地區(qū)編委；美國ASME應用力學雜志副主編；工程斷裂力學雜志、斷裂雜志、熱傳導雜志和先進復合材料雜志的編輯顧問委員會成員；美國機械工程師協(xié)會（ASME）理事；國際斷裂協(xié)會名譽理事；國際斷裂聯(lián)合會和國際細觀力學學會的創(chuàng)始人。薛昌明教

23、授編寫出版了六本學術專著，編撰出版了6個系列31卷的科學技術系列叢書，編撰出版了24次學術會議論文集，獲得了3項美國專利，發(fā)表了350余篇學術論文。疑 問 上述的假說給出了裂紋的開裂角和失穩(wěn)斷裂發(fā)生的條件，但損傷核究竟有多大?真的是圓形嗎?這些都是薛昌明避而不談的地方。此外，有局部極小值的角度可能不只一處，裂紋開裂的方向究竟其中哪一方向?是不是最小的那個方向?從物理意義講，應變能密度最小的地方，應該是最穩(wěn)定的地方，因為可以釋放的多余的能量較少。而應變能密度最大處則有更多的能量可釋放，因此應該比較不穩(wěn)定，比較容易從該處開裂?；谏鲜龅臓幷?，薛昌明對此理論做了一番補充。 薛昌明的補充說明 考慮到損

24、傷核尺寸甚小，該區(qū)域的塑性變形相當大，應變能密度可以分為兩部分，一部分是體積膨脹能密度，另一部分是歪形能密度。決定脆性開裂的是體積膨脹能密度，決定塑性失穩(wěn)的則是歪形能密度。因此，在S的幾個局部極小值的角度處，裂紋應沿體積膨脹能密度較大的方向開裂。在S最大值處，可以驗證此處歪形能密度是占支配地位的。體積膨脹能和歪形能 考察應變能密度，可以分靜水應力引起的體積膨脹能密度和歪變形引起的歪形能密度兩部分，如圖所示。因此應變能密度可分為： 下標V代表體積膨脹部分， D代表歪形部分。DVdVdUdVdUdVdU 由彈性力學公式可得： 薛昌明認為I型裂紋開裂方向，雖說是Smin在所處方向，但此時(dU/dV

25、)V占支配地位。2321)(621EdVdUV)(1)(311332212321EEdVdUDS因子理論的驗證現(xiàn)在考慮平面應變I型裂紋來驗證S因子理論是否恰當 。對于I型裂紋：即：于是： 時，S有極小值。 時，S有極大值。2111kaS )(),cos1)(cos43(1621kS)21 (cossin821kScos)21 (sincos8222122kS00)21 (cos14)21 (21minkS 在損傷核周界，應變能密度因子分為膨脹和歪變形相關的兩部分，即 對I型裂紋，在 時 ： 這里若取=1/3，則有: 故平面應變I型裂紋的在薛昌明應變能密度因子理論所確定的開裂角處膨脹變形能占支配

26、地位。 VVdVdUrS0DDdVdUrS00216)21)(1 (kSV21212)21 (kSD821)1 (2DVSS習 題1.試用應變能密度因子的假說求平面應變II型裂紋的可能擴展方向。問此時SV是否仍占支配地位?在無限大平板有相同的中心裂紋時，問純I型裂紋和II型裂紋的臨界應力比cr/cr為多少?2.試求平面應變I型裂紋的SV表達式，問其極大值是否在 =0的方向?4-6 平面I-II復合型裂紋S因子判據(jù)：2222211221112kakkakaS2sin3sin)21 (216cos)1 (2cos4sin)21 (22sin16222121kkkkSS因子理論 由Sih的因子理論可

27、確定裂紋擴展方向?，F(xiàn)在以無限大平板有穿透板厚的斜裂紋為例，來確定可能的裂紋擴展方向和斷裂時機。2cos3cos)21(8sin)1 (2sin4cos)21 (2cos822212122kkkkSS因子理論在xy坐標系下，無窮遠處的應力分量為: y=,x=xy=0。在新坐標系xy下，應力分量變?yōu)?: 這是I、II型 復合裂紋問題，其應力強度因子為： cossincossin22xyxyakakcossinsin221S因子理論確定裂紋擴展方向的方程 ：此時：由S因子第二個假說，斷裂判據(jù)為:02sin)2(2sin2)2sin()21 (2000220222101221011min)()(2)(

28、kakkakaS2min2)21)(1 (ICcrkESSS因子理論 對于不同的角，表給出上述例題的開裂角0，表中數(shù)據(jù)是在=1/3的情形下得到的（單位:度）。 0304050607080最大周向應力理論-60.2-55.7-50.2-43.2-33.2-19.3S因子理論-63.5-56.7-49.5-41.5-31.8-18.3最大周向應力理論 與S因子假說比較，最大周向應力理論顯得比較簡單，且容易被接受，此理論假設裂紋是沿著裂端區(qū)圓形損傷周界的最大周向應力所處位置的方向開裂?，F(xiàn)在仍以I和II型復合型來說明： 裂端區(qū)周向應力和剪切應力可由應力轉換而得到 ：) 1cos3(sin2cos21sin232cos2cos2121221kkrkkrr對求偏導，得 ：確定開裂角的方程為：即：所得結果與S因子理論相差不多。失穩(wěn)判據(jù)為損傷核周界的最大周向應力大于等于材料的臨界應力（強度） ：) 1cos3(sin2cos24321kkr0) 1cos3(sin0201kkcotc