數(shù)學23大沖刺必會考點全部講義

1、人2019數(shù)學 23 個沖刺必會考點精講前言本課程是張宇根據(jù)以及 2019 最新大綱欽點的 23 個沖刺必會考點精講課。課程講解包含：考點的概念和理論+基本題型總結(jié)+解題套路總結(jié)+常用結(jié)論，內(nèi)容精煉，適用于沖刺階段。復習程度不同的同學均可通過此課程，掌握每個必會考點的概念、題型、一般解題套路，高效提分，直擊！請同學們根據(jù)更新進度，合理安排復習計劃，認真利用此課程，必有所收獲和提高。人考點 1 用經(jīng)典工具計算函數(shù)、數(shù)列極限題型 1：函數(shù)極限計算考頻統(tǒng)計套路：類型® 轉(zhuǎn)化® 代入關(guān)鍵點：七種未定式轉(zhuǎn)化方法¬ ：極限計算三步曲¬ ：剛哥極限計算秘籍¥

2、¥00通分¥ - ¥ ®放分母¬0×¥或倒代換­­­1¥ ,00，¥0對數(shù)恒等變形等價泰勒抓大頭洛必達洛必達注意：整個過程中，常用化簡技巧有：有理化，三角函數(shù)公式，極限四則運算法則. 記憶：(1) 等價無窮小替換原則：整個函數(shù)的乘除因子；(2) 等價無窮小替換公式： x ® 0 時，-1 : ln(1+ x) ；換成“狗® 0 ”也成立.(3) 等價無窮小替換進階：泰勒公式2+ o(x 2 )2+ o( x 2)2sin2arcsin x = x +63a

3、(a-1)4+ o(+x + o( x )22cos!20¥(4) 洛必達法則：大家最愛，一般先化簡再處理 或 型極限;0¥注意：極限式中如果出現(xiàn)變上限函數(shù)，一般用洛必達.分年值份科 目2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一41410410144104數(shù)二18101814數(shù)三8241414141818182020人(5) 抓大頭：抓主要，擒賊先擒王先類型：® +¥)再高次：同一類型比較次數(shù)高低，例如(6) 對數(shù)恒等變形： u(x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) （冪指函數(shù)求極限常用

4、此變形）注：對于1¥ 型極限，常變形為lim u(x)v ( x )1(7) 常用極限： lim= elim v ( x )v ( x ) -1 ，此公式可直接套用.ln x = 0 （結(jié)論直接記住用）題目n 1+ sin x -1lim(1)tan xx®01+ tan x - 1+ sin xlim(2)x(1- cos x)x®0lim sin(3)sin3 xx®011-lim(4)sin2 xò0ln(1 + t)dtlim(5)x®0 ( 3 1 + x3 -1) ×sin x+14lim(6)x®-&

5、#165;x2 + sin x1lim( x + ex ) x(7)x®0lim (sin x)tan x(8)x®0+1lim ( x + 1 + x2 ) x(9)x®+¥ex(10) limx®+¥1 2(1+)xx人題型 2：數(shù)列極限考頻套路：利用單調(diào)有界收斂定理證明極限存在并求極限猜出界與單調(diào)性® 一般先證有界（方法：數(shù)學歸納法、不等式）；再證單調(diào)性（方法：n+1 ） ® 兩邊取極限，求出極限.xn記憶：(1) 數(shù)列xn 單調(diào)有界必收斂；數(shù)列xn 收斂必有界但不一定單調(diào).(2) 假若 xn+1 = f (

6、xn ) ，當< 1時，數(shù)列xn 必收斂。特別的，當0 < f '( x) < 1 時，f '(x)可以用單調(diào)有界定理證明數(shù)列xn 收斂.(分析：因為 xn+1 - xn = f (xn ) - f (xn-1 ) = f '(x)(xn - xn-1 ) ，當 f '(x) < 0 時，xn 非單調(diào)，只能用極限定義證明極限存在)(3) 常用不等式a1 + a2 +Lann£ n a a La £(i)均值不等式：111an1 2nn+L+a1a2(ii) 絕對值不等式： a - b£a ± b&#

7、163;a + bxp時， sin(iii) 當0；21< ln(1 + 1) <1當 x > 0 ， ln(1 +準則-1;1+(iv)常用結(jié)論：有界量乘以無窮小量=無窮小量；lim n an + an +Lan = maxa , a ,L, a ，其中 a , a ,L, a ³ 0 ；12k12k12kn®¥(v) 海涅定理分年值 份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一1010數(shù)二10141111數(shù)三1010人設 f (x) 在 U 0 (x ,d) 內(nèi)有定義， 則 lim f ( x)=

8、A 存在 Û 對任意以 x 為極限的數(shù)列00x®x00 ) ，極限lim f ( xn )=A 存在.n®¥題目n (n = 1, 2, L) ，求lim x(1) 設nxn®¥n1(2) 設 x = 1, x= 2 +(n = 1, 2, L) ，求lim xn+11nxn®¥n+ a )(n = 1, 2, L) ，求lim x(3) 設 a > 0,nnx 3n®¥n1< ln(1+ 1 ) < 1(4) (i)證明對任意正整數(shù) n ，都有n +1nn(ii)設 a =

9、1+ 1 +L+ 1 - ln n (n = 1, 2,L) ，證明數(shù)列a 收斂.nn2n人考點 2 無窮小無窮大比階考頻概念：無窮小無窮大比階(1) 實質(zhì)：無窮小比階比的是趨于 0 的速度；無窮大比階比的是趨于無窮的速度.故泰勒公式展開選取的是趨于 0 更慢的；“抓大頭”選取的是趨于無窮更快的.(2) 如何化：ìïïï多項式：次數(shù)越高趨于0速度越快(i) 無窮小比階í非多項式：等價無窮小替換、泰勒公式ïïìc(c ¹ 0),ï同一級別u(x)是v(x)的高階無窮小ïu(x)ï

10、;終極PK：lim= í0，ïïîìïx®W v(x)ï¥，u(x)是v(x)的低階無窮小îïï多項式：次數(shù)越高趨于¥速度越快(ii) 無窮大比階í非多項式：對數(shù)函數(shù)= 冪函數(shù)= 指數(shù)函數(shù)= 冪指函數(shù)ïïìc(c ¹ 0),u(x)ï同一級別u(x)比v(x) 趨于¥速度慢ïï終極PK：lim= í0，ïïîx®W v(x)&#

11、239;¥¥速度快u(x)v(x)趨于，比î記憶：(1) 若 x ® 0, f (x) : axm , g (x) : bxn 且f (x), g(x), a,b 均不為0，則f (g (x) : abmxmn ;g ( x )ò(2) 若 x ® 0, f (x)是x的m階無窮小，g (x) 是x的n階無窮小 則f (t)dt是x的0(m +1)n 階無窮??；(3) 無窮區(qū)間反常的斂散性判別ì p > 1, 收斂í1+¥實質(zhì)：無窮小比階，經(jīng)常和 ò1dx =比較.xpp £ 1

12、, 發(fā)散î分年值 份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一4410數(shù)二4410148104數(shù)三441441010人原則：同一級別，同斂散；不同級別，大收斂得小收斂；小發(fā)散得大發(fā)散.(4)函數(shù)反常斂散性判別實質(zhì)：無窮大比階.ì p < 1, 收斂íì p < 1, 收斂í111bòpòdx =dx =常和或作比較.(x - a)p ³ 1, 發(fā)散pp ³ 1, 發(fā)散x0aîî原則：同一級別，同斂散；不同級別，大收斂得小收斂；小

13、發(fā)散得大發(fā)散.(5) 正項級數(shù)比較判別法實質(zhì)：無窮小比階.ìa< 1ì p > 1,¥¥1收斂發(fā)散ï1-ån=1ån-1= íp £ 1,或aq= í常和相比較.pnîï發(fā)散，qn=1³ 1î原則：同一級別，同斂散；不同級別，大收斂得小收斂；小發(fā)散得大發(fā)散.題目(1) 討論當 x ® 0 時，下面哪個無窮小是階數(shù)最高的，并說明理由.(A)1+2x - 3 1 - 3x(B) x - ln(1+ tan x)arcsin x 1- co

14、s t 23x2(D) ò0(C) e- cos 2xdtt(2) 判別下列反常的斂散性2+¥ sin2 x+¥ò1ò0dxx23p ln(sin x)11òòdxdx2 0 ln x0x(3) 判別下列級數(shù)的斂散性2n2 - 3n +1¥ån=13n7 + n2 + 2p¥å3 tan 2nnn=1人考點 3 導數(shù)的定義考頻統(tǒng)計概念：導數(shù)的定義(1)實質(zhì)：瞬時變化率，幾何上表示曲線上某一點處切線的斜率，物理上表示某一時刻的速 率；-f (x0 + Dx) - f (x0 )(x0 )

15、 或lim(2) 數(shù)學表達式： f '(Dx® 0f (x) - f (x0 ) 存在（(3) f (x) 在 x 處可導Û limf (x) 可導說明 y = f (x) 這條曲線是光0x - xx®x00滑的，沒有尖點.）記憶f (x0 +W) - f (x0 ) 存在(1) f (x) 在 x 處可導Û lim0D口訣：一定一動； W與D 是同階無窮?。?W 可正可負.ì1ax ¹ 0，當a> 1 時， f (x) 在 x = 0 處可導；a> 2 時， f (x) 在x = 0(2) 例題 f (x) =

16、ïxsin,xíïî0,x = 0 處一階導函數(shù)連續(xù)；a> 3 時， f (x) 在 x = 0 處二階可導.不可導點為 x = x0 滿足： f (x0 ) = 0且f '(x0 ) ¹ 0(3) f (x) 可導,則f (x)在 x = x0 處連續(xù)但不可導， g(x) 在 x = x0 處可導，f (x)(4)f (x) g(x) 在 x = x0 處可導Û g(x0 ) = 0 .則f (x) g(x) 不可導點為 x = x0 滿足： f (x0 ) = 0，f '(x0 ) ¹ 0 且 g(

17、x0 ) ¹ 0 .(5) 可導Þ 連續(xù)，可導Û 可微分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一44810844數(shù)二812412128128423數(shù)三412228人題目ì51ïx sin, x ¹ 0，則3(1) 設函數(shù) f (x) =f (x) 在 x = 0 處(íx)ïî0,x = 0(B)連續(xù)但不可導 (D)可導且導函數(shù)連續(xù)(A)不連續(xù)(C)可導但導數(shù)不連續(xù)(2) 設 f (0) = 0 ，則 f (x) 在點 x = 0 處可導的充要條件為(

18、)f (1- cos h)f (1- eh )(A) lim(B) lim存在存在2hhh®0h®0f (h - sin h)存在f (2h) - f (h)存在(C) lim(D) limh2hh®0h®0在(- 1 , ) 區(qū)間上不可導點的個數(shù)是(3- 2) sin 2px(3) 函數(shù) f ()2 2(A)3(B)2(C)1(D)0題型 高階導數(shù)的計算方法：歸納法，常見函數(shù)的 n 階導數(shù)公式、分解法、萊布尼茨公式、泰勒級數(shù)與冪級數(shù); 記憶：(1)常用函數(shù) n 階導數(shù)公式(eax+b )(n ) = aneax+bpnsin(ax + b)= a si

19、n(ax + b +)(n)n2pncos(ax + b)= a cos(ax + b +)(n)n2(-1)n ann!1()=ax + b(ax + b)n+1(n)1ln(ax + b)(n) = (-1)n -1 an (n -1)!(ax + b)nnå(2)萊布尼茨公式：u(x)v(x)(n) =C u(x)v(x)k (k )(n-k )nk =0¥f (x) = åa (x - x)nf (x)(3)展開成冪 級 數(shù)， 展 開 成 泰 勒 級 數(shù)n0n=0¥(n) n ,則 f (n) (x ) = n!a .f (00nn=0人題目(1

20、) 設函數(shù) f (x) 有任意階導數(shù)且 f '(x) = f 2 (x) ，則 f (n) (x) =. ( n > 2 )1(2) 設 y =， a, b, c 是三個互不相等的常數(shù)，求 y( n) .(x - a)(x - b)(x - c) ，求 f (n) (0)(n ³ 3) .(3) 設 f (人考點 4 三大邏輯證明題考頻題型 1：中值定理證明套路ìì介值定理：f (x) = Aï沒有求導íî零點定理：g(x) = h(x)ïïïïïïì

21、ì直接法：找點相等ï單中值(x)íî間接法：構(gòu)造函數(shù)ïï(羅爾定理)ïïï看所證式子íïì拉格朗日(x¹h)ïïï有求導í雙中值(x,h) í柯西中值定理îïïïïïïïïïîïï高階導數(shù)：泰勒中值定理ï(二階以上)ïïî記憶(1) 介值定理：x&#

22、206;a, b，所證式子可以寫成 f (x) = A零點定理： xÎ(a, b) ，一般所證式子為 g(x) = h(x)ìa, b上連續(xù)í(a, b)上可導Þ 存在xÎ (a, b), 使得f '(x) = 0(2) 羅爾定理： f (x) = ïï f (a) = f (b)î直接證明：證明 f '(x) = 0 ，找兩點使得 f (x) 相等；證明 f ''(x) = 0 ，找三個點使 f (x) 相等或者兩個點使 f '(x) 相等.分年值份考點2009201020

23、112012201320142015201620172018數(shù)一1110101014數(shù)二41014數(shù)三111010104人f (x)e ò p ( x )dx間接證明：證明 f ¢(x) + p(x) f (x) = 0, 令F (x) =中值定理處理. f (x) 在a, b 上連續(xù)，則存在xÎa, b，(3) 條件中有式，一般會用bò使得f (x)dx = f (x)(b - a) ,只是閉區(qū)間，開區(qū)間使用要證明.aìa, b上連續(xù)且g '(x) ¹ 0, x Î(a, b) Þ 存在xÎ (

24、a, b) ，(4) 拉格朗日中值定理： f (x)在íî(a, b)上可導f (b) - f (a)f '(x)=(參數(shù)形式下拉格朗日定理) .使得g(b) - g(a)g '(x)拉格朗日中值定理找中間點；柯西中值定理找函數(shù)g(x), h(x) .(5) f (x) 在 x0 的某領(lǐng)域U (x0 ) 內(nèi)具有 n +1階導數(shù)，則對任意 x0 ÎU (x0 ) ，有：(n)f ''(x )f (x) = f (x ) + f '() +0 (2!- x ) n +000f (n+1) (x)- x0 ), 0 < q&

25、lt; 1.(0與(n +1)!題目f (x) 在上連續(xù)，且 g(x) > 0 ，證明：存在一點xÎa ， b，使a ， b(1)設bbòòf (x)g(x)dx = f (x)g(x)dx .aaf (x) 在 上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導，且f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，f (3) = 1 .0 ，3(2) 設函數(shù)試證：存在xÎ（0,3），使 f ¢(x) = 0 .f (x) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導，且滿足10 ，1(3) 設2òf (1) = 3ef (x)dx ,1- x30證明：存

26、在xÎ(0,1) ，使得 f ¢(x) = 2xf (x) .f (x) 在 上連續(xù)， 在 (a,b) 上可導且f (a) ¹ f (b) . 證明： 存在a ， b(4) 設函數(shù)f ¢(x) = f ¢(h) .x,hÎ (a, b) ，使得2xb + a(5) 已知函數(shù) f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且 f(0)=0,f(1)=1. 證明：人（I）存在xÎ (0,1), 使得 f (x) = 1 -x；（II）存在兩個不同的點h,zÎ (0,1) ，使得 f ¢(h) f ¢(

27、z) = 1.f (x) 在 上二階可導，且f (0) = f ¢(0) = f ¢(1) = 0 ， f (1) = 1 .0 ，1(6) 設函數(shù)求證：存在xÎ(0,1) ，使f ¢(x)³ 4題型 2：不等式的證明套路：(1) 函數(shù)不等式：構(gòu)造函數(shù)(化簡) ® 帶端點(猜屬于何種類型) ® 通過單調(diào)性、凹凸性說明ì出現(xiàn)f (b) - f (a), 考慮拉格朗日中值定理î常數(shù)變易法-變?yōu)楹瘮?shù)不等式，回到(1)ì常數(shù)變易法-變成函數(shù)不等式，回到(1)(2) 常數(shù)不等式íï不等

28、式 柯西-施瓦茨不等式í(3)ï泰勒公式î記憶：a + ba 2 + b2ab ££(a,b > 0) ；均值不等式：22絕對值不等式： a - b當0 < x < p時， sin 2當0 £ x £ 1時， arctan£a - b£a + b；;對"x, ex ³ x +1當 x > 0 時，柯西-施瓦茨不等式：;ì(a b + a b +L+ a b ) 2 £ (a 2 + a 2 +L+ a 2)(b 2 + b 2 +L+ b2)

29、ï1 12 2n n12n12ní2bbbï(ò f (x) g(x)dx) £ ò f ( x)dx ×g 2( x)dxò2î aaa題目(1) 證明:不等式1+2 ) ³ 1+ x 2 ， -¥ < x < +¥ .(2) 求證：當 x > 0 時，不等式(1+2設b > a > e ，證明: ab > ba .(3)人f (x) 在上具有二階導數(shù)，且f ¢(x) > 0 ，證明:a ， b(4) 設+ a b1 1b

30、òf () <2f (t)dt <f (a) + f (b) .b - a2a題型 3：方程根的個數(shù)套路：構(gòu)造函數(shù)(化簡) ® 求單調(diào)區(qū)間® 在單調(diào)區(qū)間內(nèi)代端點，統(tǒng)計零點個數(shù)題目) - x + k 在它的定義域內(nèi)的零點個數(shù).（1）設k 是常數(shù)，討論函數(shù) f (（2）設 fn (x) = 1- (1- cos x) ，求證：np（I）對于任意正整數(shù) n ， f (x) = 1 在(0,) 中僅有一根；2n2pp1（II）設有 x Î(0,) ，滿足 fn (xn ) =，則lim xn =.n222n®¥人考點 5 導數(shù)的幾

31、何應用考頻題型(1)求函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性.(I) 寫出函數(shù)定義域，考慮函數(shù)的奇偶性、周期性(II) 求一階導(或者二階導)，找到駐點（或者二階導為零的點）以及導數(shù)不存在的點(III)分區(qū)間去討論，確定單調(diào)性、凹凸性.求函數(shù)的極值、拐點、最值點(I)寫出函數(shù)定義域；(II) 找到駐點(或者二階導為零的點)以及導數(shù)（或二階導）不存在的點；ì第一充分條件(III) 判別í(2)î第二充分條件(IV)求最值點需求出端點處函數(shù)值并且與極值作比較. 求漸近線(I)先求垂直漸近線，即找函數(shù)的無窮間斷點；(3)(II)再求水平漸近線： lim f ( x)和lim f ( x)

32、 .x®+¥x®-¥(III)最后求斜漸近線:f (k = lim)記憶(1)極值點：局部最值，單調(diào)性改變的點； 拐點：連續(xù)曲線的凹凸性改變的點.一直可導的函數(shù)：取得極值點，就一定不是拐點；取得拐點，就一定不是極值點.(2)(3)(4)最值點在極值點或區(qū)間端點處取得.水平漸近線與斜漸近線總共最多兩條.分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一4484數(shù)二4數(shù)三84844人題目ìx = 1 t 3 + t + 1ï33 確定，求函數(shù) y = y(x) 的極值和曲線的凹13(1) 設函

33、數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程í1ï y =t 3 - t +ïî3凸性及拐點.(2) 在數(shù)1， 2 ， 3 3 ，···， n n ，···中求出最大值.1(3) 求曲線 y = xe x2 的漸近線.人考點 6 不定與定存在定理考頻概念：(1) 原函數(shù)： f (x) 定義在區(qū)間 I 上，若 F '(x) =f (x)，x Î I，則 F (x) 是 f (x) 在區(qū)間 I上的一個原函數(shù).n(2) 可積： f (x) 在區(qū)間a, b 上可積（即：定存在） Û li

34、m å f (xk )Dxk 存在，其中l(wèi)®0 k =1l= maxDxi記憶：(1) 函數(shù)在a, b 上連續(xù)，則必存在原函數(shù)；含有第一類間斷點、無窮間斷點的函數(shù)一定不存在原函數(shù)；含有震蕩間斷點的函數(shù)，可能存在原函數(shù)；原函數(shù)一定可導.(2) 函數(shù)在a, b 上連續(xù)，則必可積；函數(shù)在a, b 上有界且只有有限個間斷點，則函數(shù)必可積；可積函數(shù)必有界.xxòò函數(shù)f (t)dt 一定連續(xù)，不一定可導；但是，當 f (x) 連續(xù)時，f (t)dt 一(3) 變上限aa定可導，且導函數(shù)為 f (x) .(4) f (x) 是奇函數(shù)Û 原函數(shù) F (x)

35、是偶函數(shù)；¬f (x) 是偶函數(shù)原函數(shù) F (x) 是奇函數(shù)；®F (0)=0¬f (x) 以T 為周期®原函數(shù) F (x) 以T 為周期；Tò0 f ( x )dxf (x) 在a, b 上有界Þ F (x) 在a, b 上有界.分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一4數(shù)二444數(shù)三4人題目：(1) 在區(qū)間-1, 2 上，以下四個結(jié)論，x > 0ì2,f (x) = ïí1,x = 0 有原函數(shù)，但其定不存在；ï-1, x <

36、; 0îì2x sin- 2 cos112, x ¹ 0x = 0f (有原函數(shù)，其定也存在îï0,ì 1 ,x ¹ 0,x = 01 +f (x)= ï xíïî0,ì沒有原函數(shù)，其定也不存在；1 , x ¹ 0x = 0)f (有原函數(shù)，其定也存在.ïî0,正確結(jié)論的個數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4f (x) = ìsin x, x Î0,p)x， F (x) =f (t)dt 則òí(2) 設2

37、, x Îp,2pî0(A) x = p為 F (x) 的跳躍間斷點(B) x = p為 F (x) 的可去間斷點(C) F (x) 在 x = p連續(xù)但不可導(D) F (x) 在 x = p可導（3）函數(shù) f (x) 連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()xxòò22f (t )dtf (t)dt(A)(B)；00xxòò(C)t f (t) - f (-t)dt ；(D)t f (t) + f (-t)dt 00f ( x ) 在區(qū)間-1, 3 上的圖形為：(4) 設函數(shù) y =f (x)O0x-2123-1人( )x(t )d

38、t 的圖形為(ò則函數(shù) F x =f)0f (x)f (x)1100xx-2123-2123-1-1( A) .( B ) .f (x)f (x)1100xx-1123-2123-1(C ) .(5)以下四個命題中，正確的是( D) .)f ¢( x) 在(0,1) 內(nèi)連續(xù)，則 f ( x) 在(0,1) 內(nèi)有界f ( x) 在(0,1) 內(nèi)連續(xù)，則 f '( x) 在(0,1) 內(nèi)有界f ¢( x) 在(0,1) 內(nèi)有界，則 f ( x) 在(0,1) 內(nèi)有界（A）若（B）若（C）若（D）若 f ( x) 在(0,1) 內(nèi)有界，則 f ¢( x

39、) 在(0,1) 內(nèi)有界人考點 7考頻計算：換元法，分部法，湊微分法，有理函數(shù)題型 1：不定的計算-總則（見）分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一4410444414數(shù)二104410數(shù)三1014444人記憶：(1) 熟記公式 20 個ò xadx = 1 xa+1 +C；(a ¹ 0)ò 1 dx = ln x + Ca +1xxò a+ C ;òsin xdx = -cos x + C;ò csc2 xdx = -cot x + C;ò csc x cot xdx

40、 = -csc x + C;ln aò cos xdx = sin x + C;òsec2 xdx = tan x + C;òsec x tan xdx = sec x + C;11òò 1+ x2dx = arcsin x + C;dx = arctan x + C;1- x2ò tan xdx = -ln cos x + C;òsec xdò cot xdx = ln sin x + C;ò csc xd+ C;+ C;dx= 1 arcsin ax + C;dx=arctan ax + C;1

41、42;ò b 2 + a 2x 2ababbb2 - a2 x2a + xdx1dxò a2 - x22aò=ln+ C;= lnx +x 2 ± a 2+ C.a - xx2 ± a2(2) 換元公式ax + b= t;e x = t（; 倒代換）x = 1ax + b = t;2 - x 2=a cost;a 2 + x 2=a sect; acx + dtx=a sin tx=a tan tx2 - a2=a tan t;x=a sect(3) 分部法ò uv ' dx = uv - ò vu 'dx

42、u :易求導v :易；選取原則：冪指三Pn (x)： òdx(4) 有理函數(shù)Qm (x)人ìAïQm (x)含一次因式(ax +b), 產(chǎn)生 ax + b;ïABïQ(x)含二重一次因式(ax +b)2 ,產(chǎn)生+;max + b(ax + b)2Ax + Bï分解原則íïQ(x)含二次單因式px 2 + qx + r, 產(chǎn)生ïmpx2 + qx + rïA x + BA x + BïQ(x)含二重二次因式(px 2 + qx + r )2, 產(chǎn)生11+22îïmpx

43、2 + qx + r(px2 + qx + r )2題目1 - x(1) 求òdx .29 - 4xòdx.(2) 求不定1 +1 - x2(3) òln xdx =.x 1 + ln xa + xòa - x dx .= （(4) 求不定sinò sin4 x(5)）11（A）arctan(cos 2 x) + C2（B） -arctan(cos 2 x) + C2sin 2 x -11（C） arctan(-cos 2x) + C+ C（D）ln 2sin 2 x +11ò1 + x3 dx(6)（）(1+ x)21+ C( A)

44、ln 6x2 - x +1( x +1)22 x -111+ arctan 3+ C(B)ln 6x2 - x +132 x -111x +1 +arctan 3+ C(C)ln 33人( x +1)22x -112+ arctan 3+ C(D)ln 6x2 - x +13arcsinx + ln xòdx(7)x題型 2 定記憶：計算f (-x) = - f ( x)f (-x) = f ( x)ìï0,aò(1)f (x)dx = í2aòf ( x)dx,- aïî0a+TT(2) f (x + T ) =

45、 f (x) Þ òaf (x)dx =f (x)dtò0ì(n -1)! ×p,n為偶數(shù)ppïn!2òò(3) “點火”公式：sin xdx =cos xdx =nn22íï(n -1)!,00n為奇數(shù)ïîn!p2p2pppòòf (cos x)dx, ò xf (sin x)dx =òf (sin x)dx =f (sin x)dx(4)20000bbòò(5) 區(qū)間再現(xiàn)公式：f (x)dx =f (a + b

46、- x)dx注：(4)、(5)實質(zhì)是換元法.aa(6) 含有導函數(shù)和變限(7) 函數(shù)中含有定函數(shù)：定要用分部法.，用回歸題法.題目-p(òdx2p2(1)-p2ò=.設 n 是正整數(shù)，則(2)nsin0計算 I =f (x)dx ，其中 f (x) = òe-t dtx2.1ò(3)x01f (x)eòdx ，則 f (x) = （設 f (4)）x1x2ex2e（A）ln x -（B）ln x +（C）ln x - 2ex（D）ln x + 2ex人考點 8的幾何應用考頻題型：求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長和旋轉(zhuǎn)體表面積（僅數(shù)一、二要

47、求）.套路： 找微分® 寫公式® 計算記憶：(1) 平面圖形面積公式：1bbòòS (x) =f (x)dx(直角坐標下); S (x) =r 2 q)dq( 極坐標下)(2aa(2) 旋轉(zhuǎn)體體積公式bbòò繞 x 軸：V =p2pxf (x)dx( 柱殼法）f (x)dx(圓柱法)；繞y 軸，Vy =2xaabòò(3) 曲線弧長： dL =(dx)2 + (dy)2 Þ L = dL =1+ ( f '(x)2 dxabbpydl =2pf (x) 1+(f '(x) 2dxò

48、;ò(4) 旋轉(zhuǎn)體表面積： dS= 2pydl Þ S =2表表aa題目：(1) 計算雙紐線(x2 +y2 )2 = x2 - y2 所圍成的區(qū)域面積.(2) 計算由擺線 x = a(t - sin t), y = a(1- cos t) 相當于 0 £ t £ 2p的一拱與直線 y = 0 所圍成的圖形分別繞 x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.(3) 計算星形線 x = a cos3 t, y = a sin3 t 全長.(4) 設有曲線 y =x - 1 ，過原點作其切線，求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.

49、分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一4數(shù)二10114數(shù)三444104人考點 9 多元函數(shù)的概念、計算、極值與最值考頻概念：二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)、可微、偏導函數(shù)連續(xù)(1) z = f (x, y)在(x0 , y0 ) 處連續(xù)Û lim f ( x, y) = f ( x0, y0 )x®x0 y® y0注：直觀上看，曲面沒有洞.f (x, y0 ) - f (x0 , y0 )ìlimïx®xx - x0ï0(2) z = f (x, y) 在(x , y ) 處關(guān)

50、于(x, y) 偏導數(shù)存在Ûí存在.00f (x , y) - f (x , y )ïlim 000 y - y0ïî y® y0注：直觀上看，曲面上過點(x0 , y0 ) 沿 x, y 軸方向上曲線光滑.(3) z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 處可微Û Dz = ADx + BDy + o( (Dx) + (Dy ) ) ，其中 A, B 只22與(x0 , y0 ) 有關(guān).注：直觀上看是曲面如果切的足夠小，可以看成是平面.ì'' ( x , y )00ï(4) 偏導

51、函數(shù)連續(xù)： f '(x, y), f '(x, y)在(x , y ) 處連續(xù)Û ï y® y0ílim f ' ( x, y) = f ' ( x , y )xy00ïyy00x®x0ï y® yî0記憶：(1) 連續(xù)、偏導數(shù)、可微、偏導數(shù)連續(xù)的關(guān)系（見）分年值份考點2009201020112012201320142015201620172018數(shù)一1441010數(shù)二14151318141819141814數(shù)三48810人) = f ' (x, y ); f &#

52、39; (x , y ) = f ' (x , y)(2) f ' (x , yx= x0y00y = y0x0000ì求出f ' (x , y ), f ' (x , y )ïïx00y00ßïïf (x, y) - f (x , y ) - ADx - BDyí看lim 00(Dx)2 + (Dy)2ß可微是否為零？(3) 判別可微x® x0 y® y0ïïïïî題目(1) 設ìx2 y2,( x,

53、y) ¹ (0, 0),ïf (x, y) = (x + y )223 2íï( x, y) = (0, 0);0,îì(x2 + y2 ) sin1, (x, y) ¹ (0, 0),g(x, y) = ïx2 + y2íïî( x, y) = (0, 0).0,討論它們在點（0,0）處的偏導數(shù)的存在性函數(shù)的連續(xù)性方向?qū)?shù)的存在性（數(shù)一）函數(shù)的可微性ì 1sin(x2 y), xy ¹ 0f (x, y) = ï xy則 f ¢(0,1) =(2)設í.x ïîxy = 00,如果函數(shù) f (x, y) 在點(0,0) 處連續(xù)，那么下列命題正確的是(3)f (x, y)存在，則若極限limf (x, y) 在點(0,0) 處可微(A)x