掌握幾種極限的定義中

1、第三節(jié)函數(shù)的極限數(shù)學(xué)科學(xué)大門的鑰匙一自變量趨于無窮大時的極限重點：掌握幾種極限的掌握幾種極限的定義中，定義中，第二、三句話的區(qū)別與意義第二、三句話的區(qū)別與意義.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對應(yīng)對應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數(shù)

2、學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對應(yīng)的函數(shù)值所對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或定定義義)( X .)(, 0, 0 AxfXxX有有當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfX

3、xX有有當(dāng)當(dāng):.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX有有當(dāng)當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 X取取Xx 當(dāng)當(dāng). 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平

4、漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 1 11 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應(yīng)對應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的

5、一切x, ,對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)

6、極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成成立立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處

7、沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就就有有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分00 xx,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無

8、無限限趨趨近近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(

9、lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx

10、 則則有有若若設(shè)設(shè)).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時時的的子子列列當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)即即則則稱稱數(shù)數(shù)列列時時使使得得有有數(shù)數(shù)列列中中或或可可以以是是設(shè)設(shè)在在過過程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.

11、)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時時的的一一個個子子列列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)對對上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)

12、極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(

13、lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(思考題思考題試問函數(shù)試問函數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的左、右極限是否存在？當(dāng)?shù)淖?、右極限是否存在？當(dāng)0 x時，時，)(xf的的極限是否存在？極限是否存在？思考題解答思考題解答 )(lim0

14、 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必必有有時時，只只要要取取，問問當(dāng)當(dāng)時時，、當(dāng)當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問問當(dāng)當(dāng)時時，、當(dāng)當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條

15、件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存在存在時的極限是否時的極限是否在在四、討論：函數(shù)四、討論：函數(shù) xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無