隨機變量相互獨立的定義

1、概率論概率論 隨機變量相互獨立的定義隨機變量相互獨立的定義 課堂練習課堂練習小結小結 布置作業(yè)布置作業(yè)第四節(jié)第四節(jié) 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量概率論概率論 兩事件兩事件 A , B 獨立的定義是：若獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件 A , B 獨立獨立 .設設 X,Y是兩個隨機變量，若對任意的是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱 X 和和 Y 相互獨立相互獨立 .一、隨機變量相互獨立的定義一、隨機變量相互獨立的定義概率論概率論 )()(),(yFxFyxFYX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設設 X,Y是

2、兩個隨機變量，若對任意的是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有有則稱則稱 X 和和 Y 相互獨立相互獨立 . 它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .概率論概率論 ),(yxf其中其中是是X和和Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱 X 和和 Y 相互獨立相互獨立 .對任意的對任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型隨機變量，則上述獨立性是連續(xù)型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：的定義等價于：這里這里“幾乎處處成

3、立幾乎處處成立”的含義是：在平面上除的含義是：在平面上除去面積為去面積為 0 的集合外，處處成立的集合外，處處成立.分別是分別是X的邊緣密度和的邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 .)(),(yfxfYX概率論概率論 若若 (X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性的是離散型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：定義等價于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱 X 和和Y 相互獨立相互獨立.對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi , yj),有有概率論概率論 二、例1 若，具有聯(lián)合分布律問問X和和Y是否獨立？是否獨立？概率論概率論 解解 PX=0,Y=1=1/6=PX=0

4、 PY=1 PX=0,Y=2=1/6=PX=0 PY=2 PX=1,Y=1=2/6=PX=1 PY=1 PX=1,Y=2=2/6=PX=1 PY=2因而，是相互獨立的因而，是相互獨立的再如第二節(jié)的例中隨機變量和，由于再如第二節(jié)的例中隨機變量和，由于D=1,F=0=1/10 D=1PF=0,因而因而F和和D不是相互獨立的不是相互獨立的概率論概率論 例例2 二維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量 (X,Y)的概率密度為的概率密度為21222112221222122()11( , )exp2(1)21()()()2xf x yxyymrsps srmmmrs ss-=- -+ 問問X和和Y是否獨立？是否獨

5、立？概率論概率論 ( , )( )( )XYf x yfx fy=解解 由第二節(jié)中例由第二節(jié)中例5知道知道,其邊緣概率密度其邊緣概率密度的乘積為的乘積為( ),( )XYfxfy因此因此,如果如果 , 則對于所有則對于所有x ,y 有有0r=2212221212()()11( )( )exp22XYxyfx fymmps sss輊-镲犏=-+睚犏镲 臌概率論概率論 0即即X , Y 相互相互 獨立獨立 .反之反之,如果如果X , Y 相互獨立相互獨立,由于由于 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),故對于所有的故對于所有的x, y 有有 . 特別特別, 令令 自這一等自這一等式得到式得到 ( , ),(

6、),( )XYf x yfxfy( , )( )( )XYf x yfx fy=12,xymm=2121211,221ps sps sr=-從而從而 .綜上所述綜上所述,可得以下結論可得以下結論:0r=對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X, Y), X和和Y相互獨立的充要條件相互獨立的充要條件是參數(shù)是參數(shù) .概率論概率論 例例3 一負責人到達辦公室的時間均勻分布在一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時時,他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時時, 設他們兩人到達的時間相互獨立設他們兩人到達的時間相互獨立, 求他們到達辦公室求他們到達辦公室的時間相差不超過

7、的時間相差不超過5分鐘分鐘(1/12小時小時)的概率的概率. 解解 設設X為負責人到達時間為負責人到達時間,Y為他的秘書為他的秘書到達時間到達時間由假設由假設X, Y的概率密度分別為的概率密度分別為1,812( )40,Xxfx其它概率論概率論 所求為所求為P( |X-Y | 1/12) ,1,79( )20,Yxfy其它1,812,79( , )( )( )80,XYxyf x yfx fy其它由獨立性由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不先到的人等待另一人到達的時間不超過超過5分鐘的概率分鐘的概率記記G=|X-Y | 1/12,概率論概率論 所以所以( ,)Gf x y dxdy1(8G的

8、面積）被積函數(shù)為常數(shù)，被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積直接求面積1 6. P( | X-Y| 1/12 ) xy015451060405yx5yx(此圖以分鐘為單位此圖以分鐘為單位)概率論概率論 類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時，乙船需停泊小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率的概率.概率論概率論 在

9、某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的可能的. 若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于隔小于0.5秒，則信號將產生互相干擾秒，則信號將產生互相干擾. 求發(fā)生兩信求發(fā)生兩信號互相干擾的概率號互相干擾的概率.概率論概率論 盒內有盒內有 個白球個白球 , 個黑球個黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例4 兩次兩次.nm設設1,0,X 第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球1,0,Y 第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球試求試求 ,X Y(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分

10、布律;,XY(2) 判斷判斷 的相互獨立性的相互獨立性;(3) 若改為無放回摸球若改為無放回摸球,解上述兩個問題解上述兩個問題.概率論概率論 YX01 222mnmnnmn jp ip 222mmnmnmn 01m mnn mn n mn m mn ,X Y(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j ,XY故故 的相互獨立的相互獨立.概率論概率論 ,X Y(3) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示表所示 :YX01jp ip 01nmn mmn 11m mmnmn m

11、mn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 概率論概率論 ,XY故故 不是相互獨立不是相互獨立.由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mP XYmnmn 0,mP Xmn 0.mP Ymn 可見可見 (0,0)00 .P XYP XP Y 概率論概率論 三、多維隨機變量的一些概念三、多維隨機變量的一些概念12,nx xx12(,)nX XX121122(,),nnnF x xxP Xx XxXx 上面說過，上面說過，n維隨機變量維隨機變量 的分布函數(shù)定義為的分布函數(shù)定義為其中其中 為任意實數(shù)為任意實數(shù). 11121212,(,),nnnxxxnnF x xxf x x

12、xdx dxdx 如存在非負函數(shù)如存在非負函數(shù) ,使對于任意實數(shù)使對于任意實數(shù) 有有12(,)nfxxx12,nxxx則則 稱為稱為 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).12(,)nfxxx12(,)nXXX概率論概率論 1121212121211211,1212,(1),( ), ,( ,), ,.設的 分 布 函 數(shù) F為 已 知 ， 則的 維 邊 緣 分 布 函 數(shù) 就 隨 之 確 定 .例 如關 于 、 關 于的 邊 緣 分 布 函數(shù) 分 別 為nnnnXX XX XXx xxX XXkk nX XXXX XFxF xFx xF x x 概率論概率論 1121212121211211223,

13、121234121212,()(,),(,)(,).,()()(又若f是的概率密度，則關于、關于的邊緣概率密度為若對于所有的有FnnnnXnnXXnnnnXXXnx xxX XXX XXXX Xfxf x xxdx dxdxfx xf x xxdx dxdxx xxx xxfxfxfx 12),.則稱是相互獨立的nX XX概率論概率論 12121212122122121212121212,)(,),),),).11若對于所有的;有其中依次為隨機變量(的分布函數(shù),則稱()和(是相互獨立的nnnnnnnnnnnnx xx y yyF x xxy yyF x xx F y yyF F FX XXY

14、YYX XX Y YYX XXY YY 概率論概率論 12121212.,)(1,2,)(1,2, ),)(nnijnnX XXY YYX imY jnX XXY YY 我我們們有有以以下下的的定定理理，它它在在數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計中中是是很很有有用用的的定定理理 設設( () )和和( (是是相相互互獨獨立立的的，則則和和相相互互獨獨立立. .又又若若h h, ,g g 是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則h h( () )和和g g( (是是相相互互獨獨立立. .證證明明略略）概率論概率論 四、課堂練習四、課堂練習 1. 設隨機變量設隨機變量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 1,01,0,yxxfx y 其其它它. .問問 X 和和 Y 是否相互獨立是否相互獨立? 2. 證明證明 對于二維正態(tài)隨機變量對于二維正態(tài)隨機變量 (X,Y) , X 和和 Y 相互獨立的充要條件是參數(shù)相互獨立的充要條件是參數(shù) . 0 概率論概率論 這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念引入兩個隨