隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義

1、概率論概率論 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義 課堂練習(xí)課堂練習(xí)小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)第四節(jié)第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量概率論概率論 兩事件兩事件 A , B 獨(dú)立的定義是：若獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A , B 獨(dú)立獨(dú)立 .設(shè)設(shè) X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱(chēng)則稱(chēng) X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 .一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義概率論概率論 )()(),(yFxFyxFYX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設(shè)設(shè) X,Y是

2、兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有有則稱(chēng)則稱(chēng) X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .概率論概率論 ),(yxf其中其中是是X和和Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立，則稱(chēng)幾乎處處成立，則稱(chēng) X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 .對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性是連續(xù)型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：的定義等價(jià)于：這里這里“幾乎處處成

3、立幾乎處處成立”的含義是：在平面上除的含義是：在平面上除去面積為去面積為 0 的集合外，處處成立的集合外，處處成立.分別是分別是X的邊緣密度和的邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 .)(),(yfxfYX概率論概率論 若若 (X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：定義等價(jià)于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱(chēng)則稱(chēng) X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.對(duì)對(duì)(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi , yj),有有概率論概率論 二、例1 若，具有聯(lián)合分布律問(wèn)問(wèn)X和和Y是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？概率論概率論 解解 PX=0,Y=1=1/6=PX=0

4、 PY=1 PX=0,Y=2=1/6=PX=0 PY=2 PX=1,Y=1=2/6=PX=1 PY=1 PX=1,Y=2=2/6=PX=1 PY=2因而，是相互獨(dú)立的因而，是相互獨(dú)立的再如第二節(jié)的例中隨機(jī)變量和，由于再如第二節(jié)的例中隨機(jī)變量和，由于D=1,F=0=1/10 D=1PF=0,因而因而F和和D不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的概率論概率論 例例2 二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為的概率密度為21222112221222122()11( , )exp2(1)21()()()2xf x yxyymrsps srmmmrs ss-=- -+ 問(wèn)問(wèn)X和和Y是否獨(dú)立？是否獨(dú)

5、立？概率論概率論 ( , )( )( )XYf x yfx fy=解解 由第二節(jié)中例由第二節(jié)中例5知道知道,其邊緣概率密度其邊緣概率密度的乘積為的乘積為( ),( )XYfxfy因此因此,如果如果 , 則對(duì)于所有則對(duì)于所有x ,y 有有0r=2212221212()()11( )( )exp22XYxyfx fymmps sss輊-镲犏=-+睚犏镲 臌概率論概率論 0即即X , Y 相互相互 獨(dú)立獨(dú)立 .反之反之,如果如果X , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,由于由于 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),故對(duì)于所有的故對(duì)于所有的x, y 有有 . 特別特別, 令令 自這一等自這一等式得到式得到 ( , ),(

6、),( )XYf x yfxfy( , )( )( )XYf x yfx fy=12,xymm=2121211,221ps sps sr=-從而從而 .綜上所述綜上所述,可得以下結(jié)論可得以下結(jié)論:0r=對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量(X, Y), X和和Y相互獨(dú)立的充要條件相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)是參數(shù) .概率論概率論 例例3 一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)時(shí),他的秘書(shū)到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在他的秘書(shū)到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí)時(shí), 設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立, 求他們到達(dá)辦公室求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過(guò)

7、的時(shí)間相差不超過(guò)5分鐘分鐘(1/12小時(shí)小時(shí))的概率的概率. 解解 設(shè)設(shè)X為負(fù)責(zé)人到達(dá)時(shí)間為負(fù)責(zé)人到達(dá)時(shí)間,Y為他的秘書(shū)為他的秘書(shū)到達(dá)時(shí)間到達(dá)時(shí)間由假設(shè)由假設(shè)X, Y的概率密度分別為的概率密度分別為1,812( )40,Xxfx其它概率論概率論 所求為所求為P( |X-Y | 1/12) ,1,79( )20,Yxfy其它1,812,79( , )( )( )80,XYxyf x yfx fy其它由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)超過(guò)5分鐘的概率分鐘的概率記記G=|X-Y | 1/12,概率論概率論 所以所以( ,)Gf x y dxdy1(8G的

8、面積）被積函數(shù)為常數(shù)，被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積直接求面積1 6. P( | X-Y| 1/12 ) xy015451060405yx5yx(此圖以分鐘為單位此圖以分鐘為單位)概率論概率論 類(lèi)似的問(wèn)題如：類(lèi)似的問(wèn)題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率的概率.概率論概率論 在

9、某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的可能的. 若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾. 求發(fā)生兩信求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率號(hào)互相干擾的概率.概率論概率論 盒內(nèi)有盒內(nèi)有 個(gè)白球個(gè)白球 , 個(gè)黑球個(gè)黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例4 兩次兩次.nm設(shè)設(shè)1,0,X 第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球1,0,Y 第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球試求試求 ,X Y(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分

10、布律;,XY(2) 判斷判斷 的相互獨(dú)立性的相互獨(dú)立性;(3) 若改為無(wú)放回摸球若改為無(wú)放回摸球,解上述兩個(gè)問(wèn)題解上述兩個(gè)問(wèn)題.概率論概率論 YX01 222mnmnnmn jp ip 222mmnmnmn 01m mnn mn n mn m mn ,X Y(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j ,XY故故 的相互獨(dú)立的相互獨(dú)立.概率論概率論 ,X Y(3) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示表所示 :YX01jp ip 01nmn mmn 11m mmnmn m

11、mn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 概率論概率論 ,XY故故 不是相互獨(dú)立不是相互獨(dú)立.由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mP XYmnmn 0,mP Xmn 0.mP Ymn 可見(jiàn)可見(jiàn) (0,0)00 .P XYP XP Y 概率論概率論 三、多維隨機(jī)變量的一些概念三、多維隨機(jī)變量的一些概念12,nx xx12(,)nX XX121122(,),nnnF x xxP Xx XxXx 上面說(shuō)過(guò)，上面說(shuō)過(guò)，n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)定義為的分布函數(shù)定義為其中其中 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). 11121212,(,),nnnxxxnnF x xxf x x

12、xdx dxdx 如存在非負(fù)函數(shù)如存在非負(fù)函數(shù) ,使對(duì)于任意實(shí)數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有有12(,)nfxxx12,nxxx則則 稱(chēng)為稱(chēng)為 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).12(,)nfxxx12(,)nXXX概率論概率論 1121212121211211,1212,(1),( ), ,( ,), ,.設(shè)的 分 布 函 數(shù) F為 已 知 ， 則的 維 邊 緣 分 布 函 數(shù) 就 隨 之 確 定 .例 如關(guān) 于 、 關(guān) 于的 邊 緣 分 布 函數(shù) 分 別 為nnnnXX XX XXx xxX XXkk nX XXXX XFxF xFx xF x x 概率論概率論 1121212121211211223,

13、121234121212,()(,),(,)(,).,()()(又若f是的概率密度，則關(guān)于、關(guān)于的邊緣概率密度為若對(duì)于所有的有FnnnnXnnXXnnnnXXXnx xxX XXX XXXX Xfxf x xxdx dxdxfx xf x xxdx dxdxx xxx xxfxfxfx 12),.則稱(chēng)是相互獨(dú)立的nX XX概率論概率論 12121212122122121212121212,)(,),),),).11若對(duì)于所有的;有其中依次為隨機(jī)變量(的分布函數(shù),則稱(chēng)()和(是相互獨(dú)立的nnnnnnnnnnnnx xx y yyF x xxy yyF x xx F y yyF F FX XXY

14、YYX XX Y YYX XXY YY 概率論概率論 12121212.,)(1,2,)(1,2, ),)(nnijnnX XXY YYX imY jnX XXY YY 我我們們有有以以下下的的定定理理，它它在在數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)中中是是很很有有用用的的定定理理 設(shè)設(shè)( () )和和( (是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的，則則和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .又又若若h h, ,g g 是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則h h( () )和和g g( (是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .證證明明略略）概率論概率論 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí) 1. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 1,01,0,yxxfx y 其其它它. .問(wèn)問(wèn) X 和和 Y 是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立? 2. 證明證明 對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X,Y) , X 和和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) . 0 概率論概率論 這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨