立體幾何問題的模型化處理.

1、數(shù)學隨筆中學數(shù)學文摘2006 年第 4 期中學立體幾何的的基礎是對空間點、線、面、體的各種位置關的討論和研究.高考中也常以棱柱、棱錐等簡單的幾何體為載體，考查空間中的線線關系、線面關系、面面關系及其相關量的計算與證明.然而，在教學中，如何使學生的空間想象能力有進一步的提高，更上一個臺階， 是擺在廣大數(shù)學教師面前的一大難題。筆者根據(jù)自己的教學實踐摸索出“構造模型法”幫助學生突破思維定勢，尋找解題的突破口，提高解題能力.常見的模型有正方體模型、長方體模型、 “三節(jié)棍”模型等.1 構造正方體模型解題當問題沒有給出具體的圖形，只是給出了相關點、線、面的關系（如平行、垂直等），要判斷某些元素的位置關系時

2、、通?？煽紤]構造正方體模型，把這些線、 面變成正方體中的線段或某一個面，進而加以解決 .例 1 對于直線 m, n 和平面，下面問題中的真命題是A ，如果 m,n， m,n 是異面直線，那么n /B ，如果 m, n， m, n 是異面直線，那么n 與相交C，如果 m， n /， m, n 共面，那么 m / nD ，如果 m /,n /， m, n 共面，那么 m / nC1B1分析： 構造正方體，如圖 1，D1A1對于 A，設為平面 ABCD ， m 為 AB ， n 為C1C 則 n，A 錯.CB對于 B，設為平面 ABCD ， m 為 AB ， n 為D圖 1AA1 D1 ，則 n /

3、，B 錯.對于 D，設為平面 ABCD ， m 為 A1B1 ， n 為 B1C1 ，此時 m 與 n 相交于 B1 ， D 錯 .于是選 C。事實上，這個不難驗證 .例 2 由空間上一點 O 出發(fā)的四條射線，兩兩所成的角都相等，求這個角.解：先構造一個正方體，如圖2，正方體的中心O 到四個頂點 A 、B 、C、D 連線所夾的AOD 就是所求的角 .A角相等，則D3 a ，A1設正方體的棱長為 a ，則 OAODO2B9C圖 2數(shù)學隨筆中學數(shù)學文摘2006 年第 4 期AD2a,cosOA2OD 2AD 21AOD2OA OD3則所求的角為arccos1.3評注： 這個例子是把一個正四面體內接

4、于一個正方體中，因此，在立體幾何中一般能用“正四面體”解決的問題都可用“正方體”模型解決.正四面體的體積是它外接“正方體”體積的 1 ，并可由這個模型推導出正四面體的體積V3例 3 已知平面及以下三個幾何體，（ 1）長、寬、高均不相等的長方體；（ 2）底面為平行四邊形，但不是菱和矩形的四棱錐；（ 3）正四面體問這三個幾何體在平面上的射影可以為正方形嗎？請加以說明 .2 a3 （ a 為四面體的棱長）12D 1A1FB1DEAB圖 3.C1C分析： 對于（ 1），只要將長方體底面繞較短的邊旋轉抬起到一定高度可使其在底面（即水平面 ）上的射影可變?yōu)檎叫?.對于（ 2）與（ 3）的判斷，須借助構造

5、正方體方能判斷.D1C1A對于（ 2），如圖 3，在正方體 ABCDA1 B1C1D1 中，分別1B1BB1 、 DD1 上取 E、 F，使得 BE11在3BB1, D1 F3 D1D ，DC則四棱錐 A1 AEC1F 符合條件 .BA對于（ 3），把正四面體 A1 BC1D 放在正方體 ABCD圖 4A1 B1C1 D1 中，如圖 4，即可得其在底面上的射影為正方形 .評注： 對于（ 2）、（ 3）如果沒有一個正方體作為載體，很難想象它們的射影可以得出一個正方形 .例 4 已知 PA 平面 ABC， ACB 90，PA ACBC ，求 AB 與 PC 所成的角 .解： 構造一個正方體，如圖5

6、，PC 與 AB 兩異面直線所成的角為DB 與 AB 所成的角，ABD 是等邊三角形，得PC與 AB 成60角.P而DB1評注： 此題為巧建“正方體”模型快速求解兩10ACB圖 5數(shù)學隨筆中學數(shù)學文摘2006 年第 4 期異面直線所成的角，也可用正方體模型來快速判定兩直線的位置關系，如異面、平行、相交.2 構造長方體模型解題在某些類似的問題中，當用正方體模型解決不了時，可考慮構造長方體模型.例 5過球 O 的球面上一點 P 作球的兩兩垂直的三條弦PA、 PB、 PC，且 PA3 ，PB5， PC15 ，求球 O 的半徑 .分析： 構造長方體，以P 為頂點的三條棱PA、PB、PC 兩兩垂直，球O

7、 就是這個長方體的外接球，對角線PD 就是球 O 的直徑，設半徑等于R，則有 2RPA2PB2PC 2=23，得R23.2評注： 從同一點出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，其長度分別為a,b,c ，就可以構造長方體模型，外接球的直徑就是對角線的長，所以2Ra2b2c2 .例 6 已知四面體的四個面都是邊長分是5、 6、 7 的全等三角形，求這個四面體的體積.分析： 若按常規(guī)思路，這個問題的解答很繁.ABCD A1B1C1D1DC通過分析已知條件，構造長方體，如A圖 6，其中四面體D1 AB1C 符合條件。令AC=5 ， B1C6 ，BAB1 7 ，由勾股定理得AB 219, BC 26, AA1230

8、 ，D 1C1得 V四面體1V長方體1196 302 95.A1B33圖 61評注： 若四面體是對棱相等的四面體，則它外接一個長方體，并可把它推廣：其中四面體的體積是外接長方體體積的1.3例 5 是全日制普通高中教科書數(shù)學第二冊（下A）第 73 頁例2 的改編題，該題是2003 年全國高考理科第12 題和 2005 年遼寧省高考題理科17 題中第 3 小題的原形題 .3 構造“三節(jié)棍”模型解題A全日制普通高中教科書（實驗修訂本必修）第二冊（下 B）第 80 頁復習E參考題九第 2 題給出了三條棱 AB 、 BC 、 CD ，這是一個很有用的幾何BC11圖 7FD數(shù)學隨筆中學數(shù)學文摘2006 年

9、第 4 期模型，經(jīng)研究，這個四面體具有下面兩個性質：（1） CD平面 ABC ， AB平面 BCD ；（ 2）相鄰兩節(jié)所在的三角形中，第三邊上的垂線恰好是該邊與另一節(jié)所在平面的垂線（即BE 平面ACD ， CF平面 ABC ）.此四面體的三條兩兩互相垂直的棱，如同一條三節(jié)棍，因此，我把它稱為“三節(jié)棍”模型.利用此模型，可解決棱柱或棱錐中的線線、線面的垂直問題，應用十分廣泛.例 7 如圖 8，在三棱錐ABCD 中， AB 、 BC、ACD 兩兩垂直 .F（ 1）由該棱錐所有相鄰的兩個面組成的二面角中，E哪些是直二面角？BD（ 2）若 AD 與平面 BCD 成 45， AD 與平面 ABC所成角為

10、 30 ，求二面角 B ADC 的余弦值 .圖 8C分析：（1）可由找三棱錐各個面的垂線入手.AB 、 BC、CD 兩兩垂直成“三節(jié)棍”模型，得 AB平面 BCD ，又 AB 平面 ABD ，得平面 ABD平面 BCD ，且面 ABC面 BCD.同理， A BD C,ABCD,D ACB 等都是直二面角 .（ 2）由 AB平面 BCD ，得ADB 為 AD 與平面 BCD 所成的角，于是 ADB45.同理，DAC 30 ，作 BEAC 于點 E，作 BFAD 于點 F，連結 EF，可得 BE面ACD.因 BFADEF AD ，得BFE 是二面角 BADC 的平面角 .又 EFAFtan 303

11、AF ，BFAFtan(9045) AF.3故 cosBFEEF33BF，即二面角 BAD C 的余弦值為.33P例 8 如圖 9，在四棱錐 P ABCD 中，底面ABCD 為矩形，側棱 PA底面 ABCD ， AB3 ，ENCD12AFB圖 9數(shù)學隨筆中學數(shù)學文摘2006 年第 4 期BC=1 ， PA=2 ，E 為 PD 的中點 .（ 1）求直線AC 與 PB 所成角的余弦值；（ 2）在側面PAB 內找一點N ，使 NE面PAC，并求出點N 到 AB 和 AP 的距離 .分析：（ 1）略；（ 2）因 PAAD ， ADDC ，即 PA、 AD 、 DC 兩兩垂直 .故 PA、AD 、 DC 構成了一個三節(jié)棍模型.過 D 作 AC 的垂線 DF 交 AB 于 F，由性質（ 2）DF面 PAC，且知ADF，連結6PF，則 N 為 PF 的中點即為所求的點.因 EN/DF ，而 DF面 PAC，得 EN面 PAC.此時，N 到AB 的距離為1AF3.26評注： 這是 2005 年湖北省高考理科第20 題，第（ 2）問中，要在平面PAB