概率論概率第二章

1、概率論概率論第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其連續(xù)型隨機變量及其概率密度概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機變量三種重要的連續(xù)型隨機變量小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一所有可能取值充滿一個區(qū)間個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量對這種類型的隨機變量, 不能象離不能象離散型隨機變量那樣散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概以指定它取每個值概率的方式率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過而是通過給出所謂給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式

2、. 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法描述方法.概率論概率論則稱則稱 X為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, 稱稱 f (x) 為為 X 的的概率密概率密度度函數(shù)函數(shù)，簡稱為，簡稱為概率密度概率密度 .一、一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義 xF xf t dt 有有,使得對任意使得對任意實數(shù)實數(shù) , x 對于隨機變量對于隨機變量 X , 如果存在非負可積函數(shù)如果存在非負可積函數(shù) f (x) , ,x 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù)RxXP概率論概率論二、概率密度的性質(zhì)二、概率密度的

3、性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面積為面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r .v X 的的概率密度的充要條件概率密度的充要條件概率論概率論利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機點落在某個定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率對于任意實數(shù)對于任意實數(shù) x1 , x2 , (x1 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. ),(2NX概率論概率論 :具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf事實上事實上 , 22212x fx dxedx 2

4、2212x edx 1,2xt 令令dtdxtx 2,2 概率論概率論則有則有 dxxfdtet202 122 曲線曲線 關(guān)于直線關(guān)于直線 對稱；對稱；x f x 3 P hX P Xh 0h 202tedt dtet 21 概率論概率論 xexfx,21)(222)( 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標；的兩個拐點的橫坐標； 5 22()2223(),2x xfxex 21函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值取得最大值 x 概率論概率論當(dāng)當(dāng)x 時，時，f(x) 0. . xe

5、xfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為水平漸近線軸為水平漸近線 6 根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. .概率論概率論 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),(2N概率論概率論 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率論概率論 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯一確定，唯一

6、確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時，是不同的正態(tài)分布。不同時，是不同的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布概率論概率論1, 0的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布. .其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x )(x 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 概率論概率論)(x )(x 概率論概率論的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實上事實上 , 221()2txxedt

7、x )(2122duexuut 概率論概率論22112uxedu x 1 標準正態(tài)分布的重要性標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布正態(tài)分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 則則若若duexu 2221 概率論概率論 .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexXPxXPxZPxt 22221,dudttu 令令則有則有 duexZPxu 2221 x 概率論概率論 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)

8、制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是概率論概率論 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xx dtexxt 2221)( 當(dāng)當(dāng) x 0 時的時的(x)的值的值.4概率論概率論),(2 NX若若若若 XN(0,1),)(bZaP)(bXaP)()()(abbXaP)()( ab XZN(0,1) 則則概率論概率論由標準正態(tài)分布的查表計

9、算可以求得，由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%. .當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,1)時，時，P|X| 1=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P|X| 2=2 ( (2)-)-1= =0.9544P|X| 3=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 準則準則5概率論概率論將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , 6826.01 XPXP 9544.022 XPXP 9974.033 XPXP可以認為，可以認為，

10、X 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). .這在統(tǒng)計學(xué)上稱作這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3 3 準則準則” . .時，時，當(dāng)當(dāng)),(2 NX)1 , 0( NXZ 則則概率論概率論標準正態(tài)分布的上標準正態(tài)分布的上 分位點分位點 0,1 ,XN設(shè)設(shè)若數(shù)若數(shù) 滿足條件滿足條件z , 01P Xz則稱點則稱點 為為z標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的上上 分位點分位點.)(x zz 11P Xz 1 P Xz 6zXP zz 1概率論概率論標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的 分位點分位點 0,1 ,XN設(shè)設(shè)若數(shù)若數(shù) 滿足條件滿足條件z則稱點則稱點 為為z標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的 分位點分位點

11、.)(x zz 6 zXP zz 1 10 , zXP 11zXP 1zXP概率論概率論解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的h . .看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子: 例例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在碰頭機會在 0.01 以下來設(shè)計的以下來設(shè)計的. .設(shè)男子身高設(shè)男子身高XN( (170, ,62),),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ? 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計要求按設(shè)計要求概率論概率論因為因為 XN( (170,

12、 ,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184設(shè)計車門高度為設(shè)計車門高度為184厘米時，可使厘米時，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機會不超過機會不超過0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 概率論概率論 這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機變量這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機變量及三種重要分布及三種重要分布.即均勻分布、指數(shù)分布、即均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布正態(tài)分布. 其中正態(tài)分布其中正態(tài)分布的應(yīng)用極為廣泛，的應(yīng)用極為廣

13、泛，在本課程中我們一直要和它打交道在本課程中我們一直要和它打交道. 后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 .四、小結(jié)四、小結(jié)概率論概率論練習(xí)題練習(xí)題一、設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).二、設(shè)隨機變量 X 的概率密度 f (x)為 其他其他021210)(xxxxxf求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出 f (x)與 F (x)的圖形。概率論概率論 其它其它010001000)(

14、2xxxf三、某種型號的電子的壽命 X（以小時計）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立） 。任取 5 只，問其中至少有 2 只壽命大于 1500小時的概率是多少？四、設(shè) XN（3,22）（1）求 P 2X5，P 42，（2）決定 C 使得 P X C =P XC概率論概率論一、設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).解：解：2 XP2)2( XPF)2(F 2ln 30 XP)0()3(FF 1 )(xfX)(xFX 1,1,0,xex 其其它它.

15、 .0 x1e23概率論概率論二、設(shè)隨機變量 X 的概率密度 f (x)為 其其他他021210)(xxxxxf求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出 f (x)與 F (x)的圖形。解：解：,0時時當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()(0 ,10時時當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()( xtdt022x ,21時時當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()( 10tdt xdtt1)2(1222 xx,2時時當(dāng)當(dāng) x1)( xF0 x12x x x x 概率論概率論故故 2, 121, 12210,20, 0)(22xxxxxxxxF概率論概率論 其它其它010001000)(2xxxf三、某種型號的電子的壽命 X（以小時計）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立） 。任取 5 只，問其中至少有 2 只壽命大于 1500小時的概率是多少？解：解：15001500 X小時小時壽命大于壽命大于1500 XP 1500)(dxxf 150021000dxx 15001000 x32 概率論概率論小時的管子數(shù)只中壽命大于表示設(shè)15005Y32, 5 bY則2YP21 YP151150500532132321321 101