三垂線定理及其逆定理

1、三垂線定理及其逆定理【學(xué)習(xí)內(nèi)容分析】“三垂線定理”是安排在“直線與平面的垂直的判定與性質(zhì)”后進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是線面垂直性質(zhì)的延伸。利用三垂線定理及其逆定理，可將空間兩直線垂直與平面兩直線垂直進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，具體應(yīng)用表現(xiàn)例如輔助我們做二面角平面角等。所以在立體幾何中有核心定理的作用?！菊n程目標(biāo)】一.知識(shí)與技能目標(biāo)理解和掌握三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容、證明和應(yīng)用。二.過程與方法目標(biāo)1通過對(duì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證數(shù)學(xué)問題的能力。三情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)3、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理證明的能力和相互轉(zhuǎn)化的思想?！窘虒W(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】一.教學(xué)重點(diǎn)定理的理解和運(yùn)用二教學(xué)難點(diǎn)如何在具體圖形中找出適合三垂線定理（

2、或逆定理）的直線和平面?！窘虒W(xué)方法】以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以能力發(fā)展為目標(biāo)，從學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律出發(fā)進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，運(yùn)用小組學(xué)習(xí)合作探究?！窘虒W(xué)過程】一復(fù)習(xí)引入：1.復(fù)習(xí)提問1、回顧直線與平面垂直的相關(guān)性質(zhì)以及射影、斜線等概念；設(shè)計(jì)意圖（因?yàn)槠矫娴拇咕€、平面的斜線及射影是三垂線定理的基礎(chǔ)，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)又是證明三垂線定理的基本方法，因此我用提問的形式讓學(xué)生溫故知新，作好新課的鋪墊。）2.有意設(shè)疑，引入新課。平面的垂線垂直于平面內(nèi)的每一條直線；平面的斜線不能垂直于平面的每一條直線，但也不是與每一條直線都不垂直。那么平面的斜線與平面內(nèi)的直線在什么情況下是垂直的呢？，使直尺與三角學(xué)生思

3、考后，我再引導(dǎo)學(xué)生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如圖）板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直尺與三角板在平面內(nèi)的直角邊垂直時(shí)便與斜邊垂直。啟發(fā)學(xué)生把猜想、實(shí)驗(yàn)后得到的結(jié)論總結(jié)出來，表達(dá)成數(shù)學(xué)命題：平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直，那么就和平面的這條斜線垂直（板書）設(shè)計(jì)意圖（為了喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，把學(xué)生的注意力集中起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，我通過提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，弓I導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力）二、新課講授：由以上的分析，我們可以抽象出如下的一個(gè)圖。P0丄a,PA與a斜交于點(diǎn)A,A0丄a,問PA與a所成的角；顯然P0丄a一POaa平面P0

4、Aa平面P0Aa'OAaPA平面P0APO0A=0即：PA與a所成的角為900三垂線定理來源于“線面垂直”，抓住平面a的垂線P0,才是抓住了定理的實(shí)質(zhì)與關(guān)鍵，并啟發(fā)學(xué)生猜想逆命題的真假,本質(zhì)很容易得出三垂線定理的逆定理。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線在平面內(nèi)的射線垂直。（板書）設(shè)計(jì)意圖（1證明命題。通過對(duì)猜想得到的命題的論證，加深學(xué)生對(duì)命題內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生的思維提高到演繹推理的水平上來。我通過啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考討論后再進(jìn)行歸納小結(jié)，幫助學(xué)生理清證明的基本思路，培養(yǎng)學(xué)生相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2利用命題變換，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)一

5、步深化對(duì)定理的學(xué)習(xí)和理解。3利用列表對(duì)比教學(xué)法，強(qiáng)化對(duì)三垂線定理及其逆定理內(nèi)容的理解和記憶。）剖析命題（1）三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容反映了“四線一面”的相互關(guān)系，平面內(nèi)的直線與平面的斜線以及斜線在平面上的射影垂直等價(jià)，本質(zhì)就是線面垂直的定義。（2）.通過教具演示、圖形分析、我再對(duì)靈活應(yīng)用定理的程序進(jìn)行總結(jié)：一找垂面：即先確定平面及平面的垂線：二找斜線：接著確定平面的斜線：三定射影：由上面的垂足和斜足確定斜線的射影；四證直線：即在平面內(nèi)證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直。（板書）設(shè)計(jì)意圖（為了加深對(duì)定理的理解，為靈活應(yīng)用定理奠定基礎(chǔ)，幫助學(xué)生化解難點(diǎn)，揭示定理的應(yīng)用方法。）三講解例題例

6、1已知：點(diǎn)0是ABC的垂心，P。平面ABC,垂足為o，求證：PABC.PABODC證明：點(diǎn)0是ABC的垂心，ADBC又P0平面ABC，垂足為0PAI平面ABCA所以，由三垂線定理知，PABC.例2如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上已知：/BAC在a內(nèi)，P,PEAB于E,PFAC于F且PE=PF,P0求證：0在/BAC的平分線上（即/BAO=ZCAO）證明：連接OE,OF/P0.EO,F0分別為PE,PF在上的射影/PE=PF.OE=OF/PEAB,PFAC.OEAB,OFAC（三垂線定理的逆定理卜.0到/BAC兩邊距離相等.0在/BAC的平分線上變式：P已知：BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P,PEAB,PFAC,PO，垂足分別為E,F,O,PE求證：BAOCA0.證明：.PEAB,PFAC,PO.AB0E，AC0F（三垂線定理逆定理）PEPF,PAPARtPAERtAOF,AEAF,又AOAO,.RtAOERtAOFBAOCAO推廣：經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線的這個(gè)角兩邊夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平