--點(diǎn)到直線的距離

1、點(diǎn)到直線的距離(第一課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握點(diǎn)到直線的距離的概念，以及公式的推導(dǎo)過程；2、掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其應(yīng)用，會求兩平行直線間的距離重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)到直線距離的公式及其簡單應(yīng)用教學(xué)過程A復(fù)習(xí)引入點(diǎn)P(x0,y0)在直線l:axbyc=0上二ax0by0c=0B概念學(xué)習(xí)1點(diǎn)到直線的距離的概念：設(shè)P(x0,y0)在直線l:axby0上的射影為Q，則垂線段PQ即為點(diǎn)P到直線丨的距離.2、點(diǎn)到直線的距離公式問題：已知直線l:axbyc=0和直線外一點(diǎn)P(x0,y0)，x求點(diǎn)P到直線丨的距離.解：（法一）lPQ：b（x-x°）-a（y-y°）=0,聯(lián)立b（x-x0）-a（y-y。）

2、=0ax+by+c=0求出交點(diǎn)即為垂足Q，再求出|PQ|.此法很繁(法二)如圖直線丨的一個(gè)法向量n=(a,b)，設(shè)垂足Q（xi,yj，則PQ=x1伙y1y0），而PQn,則PQ與n的夾角為0或兀，TMM片T呻T4因此PQn=|PQ|n|cos0或PQn=|PQ|n|cos二，即|PQn|=|PQ|n|,、a2b2a2b2得|PQ|PQ門I一眇二x0）=b（%二y°）|=|axi_b%二ax0二by°|n|-_，而點(diǎn)Q(xyj在直線丨上，貝Uab%c=0，即ab%=-c，所以|PQ|ax0by0©（法三）如圖，設(shè)M（X2,y2）為直線上任意點(diǎn)，則|PQ|可以看作PM

3、在n方向上的投影絕對值，設(shè)二為PM與n的夾角，則|PQ|PM|cos日=|PMn1=|a（x2-豈丫-y°）I，接下來類似法1n1Ja2+b2說明：1）點(diǎn)P（Xq,y0）P到直線丨:ax+by+c=0的距離d=1ax°2by°2c1.Ja2+b2其中點(diǎn)P在直線I,d=0也符合上式子.2）直線方程必須是一般式3）P到直線丨的距離是點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)的距離的最小值C概念應(yīng)用求點(diǎn)P（2,3）到直線丨：5x12y-3=0的距離.解：略變式:變式:已知A（1,3），解：略解：略1131|3112-1011131|3112-101=5.，丨AB:(法二)|AB|=2.2x

4、-1廳即xy"0，h"C>ABB(3,1)，C(1,0)，求ABC的面積.1ABAC.S.廣RAB|h=5.（法三）AB=(2,-2)，AC=(-2,-3)，cosA|AB|AC|2妁13V2651r則sinA茹，則-|AB|AC|sin5.例3:求兩平行直線|1:2x-7y8=0與丨2：2x-7y-6=0之間的距離I14114/53解：在li上取點(diǎn)A（-4,0），則A到12的距離d即為平行直線之間的距離V5353推廣：兩平行直線11:axbyc=0與l2:axby0之間的距離.在h上取點(diǎn)A（xo,yo），則A到12的距離d=!aXo+嚴(yán)：6I.=電-6.Ja+b&q

5、uot;a+b說明：1）已知兩平行直線11:ax+by+c）=0與12:ax+by=0，直線11上每一個(gè)點(diǎn)到直線1的距離都相等，則把這個(gè)距離看作是兩平行直線之間的距離：d=I|ClC22.7a+b要求兩平行直線都化成一般式，且x、y系數(shù)相等.2）兩相交直線沒有距離，兩重合直線的距離為0沒有研究的價(jià)值.變式（1）求兩平行直線h：x，3y-4=0與l2：2x，6y-9二0之間的距離.解：先化l1:2x6y-0，則d二V40變式（2）求與直線h:x3y-4=0平行且距離為10的直線J方程.Ic+4I1解：設(shè)直線l2:x3yc=0,則d-，則c=-3或c=-5(兩解)，后略.V100例4:求過P（-2

6、,3）且與原點(diǎn)距離為2的直線方程解：(法一)設(shè)直線的方程為a(x2)b(y-3)=0,即卩axby23b-0,而d=|2a3b|邊，化簡得5b2-12ab=0，取a=1，則5b2-12b=0,/a712*12解得b=0或b，因此n=(1,0)或n=(1,),55則直線的方程為x2=0或5x，12y-26=0.（法二）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（y-3）=k（x2）,即kx一y320，則d32k1=2，解得k5,Vk1122符合題意,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x-2，原點(diǎn)到該直線的距離為5因此直線的方程為X二-2或(y-3(x2).12課堂小結(jié)點(diǎn)到直線的距離的概念及公式平行直線之

7、間的距離課后作業(yè)練習(xí)部分P11A組/1，3，4，6一課一練P27/15，7點(diǎn)到直線的距離(第二課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1進(jìn)一步鞏固點(diǎn)到直線的距離公式2、掌握有向距離的概念，并能運(yùn)用之判斷點(diǎn)的區(qū)域位置3、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)過程/PA復(fù)習(xí)引入、少/點(diǎn)到直線的距離公式X/f平行直線間距離公式X練習(xí)：課本P25/1，2OB概念學(xué)習(xí)4p/如圖直線丨的一個(gè)法向量n=(a,b),點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用、有向距離的運(yùn)用xTI4設(shè)垂足q(n,yj，則pq=(n-心-y°)，而PQ/n，若PQ與n的方向相同，因此PQn=|PQ|n|=d|n|，得d_PQna%-xo)b(%-y。)寸In|axob

8、y。ca2b2a2b2令.=axo=byo=cJa2+b2若PQ與n的方向相反，因此PQn=而當(dāng)顯然而當(dāng)顯然PQn|n|P在直線丨上時(shí)，:的符號決定了點(diǎn)a(XiXo)+b(yiyo)_axo+byo+c則.a2b2a2b2d=、=0.P關(guān)于直線的相對位置，說明：1)在直線同側(cè)的所有點(diǎn)，：的符號是在直線異側(cè)的點(diǎn)，:的符號是相反的稱為有向距離(與d區(qū)別).相同的；2)d十|.C概念應(yīng)用例1：已知直線丨：y=kx1與兩點(diǎn)A(-1,5)、B(4,-2)，若直線丨與線段AB相交，求實(shí)k-44k3解:M'-2-0，即二廠Jk2+1寸k2+1數(shù)k的取值范圍.3 <0，即(k1)(4k30-，所

9、以k空一1或k.4變式：若直線l與線段AB不相交呢？”,3解：r:i20，即-1：k.4說明：1)有向距離的應(yīng)用局限于區(qū)域解2)此題也可以圖解(在直線與傾斜角一節(jié)課中已講)的線段長為3.2，求直線l的方程.的線段長為3.2，求直線l的方程.y例2:直線丨過點(diǎn)A(2,3)，且它被兩直線|1:3x4y0、l2：3x4y-7二0所截得解：l1/12且距離d=3，設(shè)l1與l的夾角為v則sin日=設(shè)l的一個(gè)法向量n=(a,b)，設(shè)l的一個(gè)法向量n=(a,b)，3血2所以cos3a的2，取a=1，解得b=7或b一1,50271貝U直線l的方程為(x-2)7(y-3)=0或(x-2)-寸(y-3)=0.說明

10、：此題有兩解.例3:直線l過兩直線l1：3x4y-5=0與l2:2x-3y*8=0的交點(diǎn)，且與點(diǎn)A(2,3)、B(-4,5)的距離相等，求直線l的方程X3x4y-5=0解：聯(lián)立的交點(diǎn)C(-1,2),I2x_3y十8=0(法一)當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y-2二k(x1)即k-yk0,|3kL3k=31，解得-k21.k21當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-1，則A(2,3)、B(-4,5)的距離均為3,變式(1)求直線l的方程，使A(2,3)、B(-4,5)的到丨的距離都為3.1因此所求的丨的方程為y_2-_§(x1)或x=-1.(法二)由圖可知，直線丨/AB或丨過AB的中點(diǎn).

11、x亠1v_21當(dāng)I/AB，則d=AB=(-6,2)，則丨的方程為-622當(dāng)丨過AB的中點(diǎn)得D(-1,4)，則d-C-(0,3)，則丨的方程為x=-1.1由1、2可知所求的丨的方程為y2(x1)或x-1.3解:1當(dāng)丨/AB,|AB：x2二y一3即x3y11=0，可設(shè)丨的方程為x3yc=0,-62則|C111=3，解得c=-11_3；幣；J102當(dāng)丨過AB的中點(diǎn)D(-1,4),當(dāng)丨的斜率存在時(shí)，可設(shè)丨的方程為y-4二k(x1)，即kx-y*4=0,則詈=3，解得4當(dāng)丨的斜率不存在時(shí)，可知丨的方程為x=1，貝UA(2,3)、B(-4,5)的距離均為34由1、2可知所求的丨的方程為y-2(x1)或X-1.變式(2)若使A(2,3)、B(-4,5)的到丨的距