高等數(shù)學隨堂講義函數(shù)的極限函數(shù)極限概念

1、一、一、x趨于趨于 時的函數(shù)極限時的函數(shù)極限 在本章在本章, ,我們將討我們將討論函數(shù)極限的基本概念和論函數(shù)極限的基本概念和重要性質(zhì)重要性質(zhì). .作為數(shù)列極限作為數(shù)列極限的推廣的推廣, ,函數(shù)極限與數(shù)列函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系極限之間有著密切的聯(lián)系, ,它們之間的紐帶就是歸結它們之間的紐帶就是歸結原理原理. .1 函數(shù)極限概念 數(shù)學分析 第三章函數(shù)極限二、二、 x趨于趨于x0 時的函數(shù)極限時的函數(shù)極限三、單側(cè)極限三、單側(cè)極限*點擊以上標題可直接前往對應內(nèi)容A)(xfxyO極限極限. . f( (x) )當當 x 趨于趨于 時以時以A為為我們就稱我們就稱函數(shù)函數(shù)f ( (x) )當當

2、 x 沿著沿著 x 軸的正向軸的正向上上,無限遠離原點時無限遠離原點時, ,也無限地接近也無限地接近A, ,a定義在定義在設函數(shù)設函數(shù))(xf后退 前進 目錄 退出x趨于 時的函數(shù)極限x趨于趨于例如例如 函數(shù)函數(shù),arctan xy 當當時時, xy210203040O0.51為極限為極限.以以2x趨于 時的函數(shù)極限定義1記為記為或者或者lim( )xf xA ).()( xAxf,)( AxfAxxf時以時以趨于趨于當當 )(則稱函數(shù)則稱函數(shù).為極限為極限 .,上上的的一一個個函函數(shù)數(shù)為為定定義義在在設設 afA 為常數(shù)為常數(shù). .,xM 當當時時若對于任意正數(shù)若對于任意正數(shù)，0 使得使得，

3、)(aM 存在存在x趨于 時的函數(shù)極限( )Af xA 有有 lim( )xf xA的的幾幾何何意意義義xM使使當當時時xA A 任意給定任意給定0 M存在存在Ma AxyOax趨于 時的函數(shù)極限( )Af xA 有有 lim( )xf xA的的幾幾何何意意義義xM使使當當時時xA A 任意給定任意給定0 M存在存在Ma xAyOax趨于 時的函數(shù)極限 更更小小注注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù). 所以所以(由定義由定義1),例例1 證明證明. 01limxx 任給任給證證, 0 取取,1 M,時時當當Mx 1( )0f xx. 01limxx與不同點與不同

4、點.比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點請大家請大家x趨于 時的函數(shù)極限, 例例2.2arctanlim xx證明證明證證 任給任給),2(0 ).2tan( M取取這就是說這就是說lim arctan.2xx 時，時，當當Mx 嚴嚴格格增增，因因為為xarctan( )arctan22f xx().22x趨于 時的函數(shù)極限定義2,)( Axf ,)(上上定定義義在在設設bxf .是是一一個個常常數(shù)數(shù)A,0 , 0 M存存在在()xMb 當當時時若若對對于于任任意意記為記為Axfx )(lim或或).()( xAxf則稱則稱Axxf時以時以當當)

5、(,為極限為極限x趨于 時的函數(shù)極限定義3為極限，為極限，時以時以當當則稱則稱Axxf )(記為記為,)( AxfA是是一一個個常常,)()(內(nèi)內(nèi)的的某某個個鄰鄰域域定定義義在在設設 Uxf.數(shù)數(shù)Axfx )(lim或或).()( xAxf存在存在，0 M若對于任意若對于任意, 0 xM 時時當當x趨于 時的函數(shù)極限證證 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù)),10( ,ln M取取lnxM 當當時時 這就是說這就是說例例3 證明證明lim e0.xx .e0e xx. 0elim xxx趨于 時的函數(shù)極限例例4 證明證明. 011lim2xx22110,1xx 所以結論成立所以結論成立. .,1 M可取

6、可取有有時時當當,Mx 證證 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù) , x趨于 時的函數(shù)極限定理3.1從定義從定義1、2 、3 不難得到不難得到:.)(lim)(limAxfxfxx 定義在定義在則則的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xfxxarctanlim 則由定理則由定理 3.1，.不存在不存在Axfx )(lim的充要條件是：的充要條件是：lim arctan, lim arctan,22xxxx 例如例如x趨于 時的函數(shù)極限設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在點在點 x0 的某空心鄰域的某空心鄰域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義. . )(0 xU為極限的定義為極限的定義.下面我們直接給出函數(shù)下面我們直接給出函數(shù) f (

7、x) 時以常數(shù)時以常數(shù) A0 xx 當當 x趨于x0 時的函數(shù)極限定義10lim( )xxf xA 或者或者. )()(0 xxAxf0( ).f xxxA則則稱稱當當時時以以為為極極限限記為記為,)(),(0時時當當xUxUx ,)( Axf, 如如果果對對于于任任意意正正數(shù)數(shù))(xf設設內(nèi)有內(nèi)有)(xU的的某某空空心心鄰鄰域域0 x在點在點定義，定義，.是是一一個個常常數(shù)數(shù)A 存存在在正正數(shù)數(shù) ，x趨于x0 時的函數(shù)極限 x趨于x0 時的函數(shù)極限12112 2xx ( ) 122 2(12)xx 例例5證明證明.221121lim1 xxx, 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù), 0 要找到要找到

8、|1|0 x當當分析分析時時, 使使 x趨于x0 時的函數(shù)極限11122 2x21.2 2(12)xx )( )21(2212 xx這就證明了這就證明了12112 2xx .221121lim1xxx證證, 取取00 xx 當當時時, , 任給正數(shù)任給正數(shù)只要只要 式就能成立式就能成立, 1,( )x 211 ,2 2(12)xxx因因 x趨于x0 時的函數(shù)極限 故取故取 即可即可.1,x 例例6 證明證明.lim2020 xxxx ,00202 xxxxxx因為因為此時有此時有可以先限制可以先限制, 10 xx0002xxxxx故只要故只要所以所以,)21(00202xxxxx .2100

9、xxx 要使要使分析分析012,x x趨于x0 時的函數(shù)極限002xxx這就證明了這就證明了.202 xx.lim2020 xxxx ,21, 1min0 x 取取 00 xx當當證證,0 有有,時時00202)21(xxxxx x趨于x0 時的函數(shù)極限例例7 證明：證明：00(1)limsinsin;xxxx 注注 在例在例5、例、例6中中, 我們將所考慮的式子適當放大我們將所考慮的式子適當放大, 不是不是“最佳最佳”的的, 但這不影響我們解題的有效性但這不影響我們解題的有效性. 其目的就是為了更簡潔地求出其目的就是為了更簡潔地求出 , 00(2)limcoscos.xxxx 或許所求出的或

10、許所求出的 x趨于x0 時的函數(shù)極限證證 首先，在首先，在右圖所示的單位圓內(nèi)右圖所示的單位圓內(nèi),0,2x 當當時時顯然有顯然有即即,OABOADOADSSS 扇形扇形,tan2121sin21xxx 故故sintan0.2xxxx,2x 因因為為當當時時sin1,xx x趨于x0 時的函數(shù)極限OCDBAyxx0 ,x 故故對對一一切切00(1)limsinsin;xxxx sin.xx 有有.0 時成立時成立上式中的等號僅在上式中的等號僅在 xR.,sin xxx,sin x故故均是奇函數(shù)均是奇函數(shù) ,x又因為又因為0sinsinxx , 對對于于任任意意正正數(shù)數(shù), 取取,00時時當當 xx0

11、,xx .sinsinlim00 xxxx 所以所以同理可證同理可證:.coscoslim00 xxxx x趨于x0 時的函數(shù)極限002cossin22xxxx 例例8 證明：證明：).1| (11lim02020 xxxxx證證 因為因為22000220|1111xxxxxxxx則則, 0 ,2120 x 取取00|xx 當時，當時，2200202|11|1xxxxx 這就證明了所需的結論這就證明了所需的結論.0202|,1xxx x趨于x0 時的函數(shù)極限. 在上面例題中在上面例題中, 需要注意以下幾點：需要注意以下幾點：, 我們強調(diào)其存在性我們強調(diào)其存在性. 1. 對于對于 的的, 不同的

12、方法會得出不同的不同的方法會得出不同的 , 不存在哪一個更不存在哪一個更好的問題好的問題.數(shù)數(shù)都可以充當這個角色都可以充當這個角色.3. 正數(shù)正數(shù) 是任意的是任意的,一旦給出一旦給出,它就是確定的常數(shù)它就是確定的常數(shù)., 那么比它那么比它更小的正更小的正是不唯一的是不唯一的, 一旦求出了一旦求出了 . 2換句話說換句話說, ,對于固定對于固定有時為了方便有時為了方便, ,需要讓需要讓 小于某個正數(shù)小于某個正數(shù). 當然也能滿足要求當然也能滿足要求. 樣的樣的 能找到相應的能找到相應的 , 那么比它大的那么比它大的 , 這個這個 一旦對這一旦對這 x趨于x0 時的函數(shù)極限平面上以平面上以 y =A

13、為中心線為中心線, 寬為寬為 的窄帶的窄帶, 2可可以找到以找到, 0 使得曲線段使得曲線段),(),(0 xUxxfy 4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖函數(shù)極限的幾何意義如圖, 0, 任任給給對于對于坐標坐標落在窄帶內(nèi)落在窄帶內(nèi). AyAy AyOxy 0 x0 x 0 x x趨于x0 時的函數(shù)極限，時時在考慮在考慮)(lim0 xfxxx 既可以從既可以從 x0)(0 xx 的的左左側(cè)側(cè)但在某些時但在某些時.)(000 xxxx趨向于趨向于的右側(cè)的右側(cè)又可以從又可以從 在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等.候候,我們僅需我們僅需(僅能僅能)在在 x0的某一側(cè)

14、來考慮的某一側(cè)來考慮, 比如函數(shù)比如函數(shù)單側(cè)極限定義5|,f xA （ ）（ ）則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) f 當當00()xxxx時的右時的右(左左). )(lim()(lim00AxfAxfxxxx 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. ).(lim)0(, )(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 時，有時，有當當)0(000 xxxx極限極限, ,記作記作有時記有時記,),(),()(00有有定定義義在在設設 xUxUxf A為常為常數(shù)數(shù). ,）（存存在在正正數(shù)數(shù) 若對于任意正數(shù)若對于任意正數(shù) , ,單側(cè)極限為了方便起見為了方便起見, 例例7 討論函數(shù)討

15、論函數(shù).112處處的的單單側(cè)側(cè)極極限限在在 xx解解 因為因為, 1| x),1(2)1()1(12xxxx .|01|2 x. 01lim21 xx這就證明了這就證明了. 01lim21 xx同理可證同理可證有有時時當當,11 x 所以所以, 0 ,22 取取單側(cè)極限定理3.1由定義由定義3.4和定義和定義3.5，我們不難得到：，我們不難得到：注注試比較定理試比較定理 3.1 與定理與定理 3.1.)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有有定定義義，則則（在在設設0)(xUxf:)(lim0的充要條件是的充要條件是Axfxx , 1sgnlim,1sgnlim00 xxxx由由于于xx

16、sgnlim0所以所以不存在不存在. .單側(cè)極限例例9 證明狄利克雷函數(shù)證明狄利克雷函數(shù) 無理數(shù)無理數(shù)，有理數(shù)有理數(shù)xxxD0, 1)(證證 處處無極限處處無極限. .,|00* xx,0 對于任意的對于任意的0,xRA 對對于于任任意意的的以以及及任任意意實實數(shù)數(shù) ，.210 取取,21 A若若,*QRx 取取滿足滿足單側(cè)極限.21|)(|0* AAxD則有則有,21 A若若,*Qx 取取,00* xx滿足滿足也有也有.21|1|)(|0* AAxD證畢證畢.例例10 對于黎曼對于黎曼函數(shù)函數(shù).1, 0,0, 1),(,1)( 無理數(shù)以及無理數(shù)以及xqpqpxqxR00:(0,1), lim( )0.xxxR x證證明明證證 .10 NN，使，使，取一正整數(shù)，取一正整數(shù)因為在因為在 (0, 1) 中分母小于中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有的有理數(shù)至多只有. )(,21Knxxxn 個個 , 2)1( NNK單側(cè)極限故可設這些有理數(shù)為故可設這些有理數(shù)為這就是說，除了這這就是說，除了這 n 個點外個點外 , 其他點的函數(shù)值都其他點的函數(shù)值都01(1),nxxx若若是是中中的的某某一一個個0101(2),min |.