第三章矩陣的運算

1、第三章第三章 矩陣的運算矩陣的運算u 矩陣運算u 特殊矩陣u 逆矩陣u 分塊矩陣u 初等矩陣u 矩陣的秩111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABabababm nijAa ijBbABAB定義1 設(shè)有兩個 矩陣 和 ，那么矩陣 與矩陣 的和記作 規(guī)定為只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進(jìn)行加法運算1. 矩陣的加法一、矩陣運算運算規(guī)律 （設(shè) ， ， 都是 矩陣）ABCm n.ABBA()().ABCABC()0.AA 其中 ， 稱為矩陣 的負(fù)矩陣. ijAa AA.ABAB （1）（2）（3）由此可規(guī)定矩陣的減法為定義2 數(shù) 與

2、矩陣 的乘積記作 或AAA111212122212nnmmmnaaaaaaAAaaa2. 數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為運算規(guī)律(設(shè) ， 都是 矩陣， 是數(shù))A Bm n, .AA .AAA.ABAB1.AA（1）（2）（3）（4）（5）0A00.A 當(dāng)且僅當(dāng) 或規(guī)定:矩陣 與矩陣 的乘積是一個 矩陣ABm n ijm nCc1 12 2ijijijissjca ba ba b3. 矩陣的乘法ijm sAa ijs nBb定義3 設(shè) ，其中.CAB并把此乘積記作1(1,2,;1,2,)sikkjka bimjn 矩陣的第 行第 列的元 就是 的第 行與 的第 列的乘積ijijcAiBjABABABABAB

3、注意：注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣） 的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣） 的行數(shù)時，乘積 才是有意義的；并且 的行數(shù)等于第一個矩陣 的行數(shù)， 的列數(shù)等于第二個矩陣 的列數(shù) 例1,.AB BA124563AB 456B 123A 求解1 41 51 62 42 52 63 43 53 645681012121518145624 1 5 26 33BA 32.ABBA顯然1 2 33 0 1A401211122B40 11 2 321 13 0 11 2 2AB求 ，并問 是否有意義？ABBA解解58 911 2 5顯然 無意義 BA例例2 22412A2436B242416321236816AB例

4、3BA,AB求解解242400361200BA.ABBA顯然總之，一般說來，ABBA1101A1210 xxBxABBA不過，在有些情況下，也可能有例如：即矩陣的乘法不滿足交換律11210 xxxABBAx不難驗證：.AB CA BC(.ABA BAB為數(shù)）,A BCABAC.BC ABACAA B一般地，如果矩陣 ， 的乘積與次序無關(guān)ABBAA B即 ，稱矩陣 ， 可交換結(jié)合律和分配律：（1）（2）（3）111 11221221 122221 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxax上式稱為從變量 ， ， ， 到變量 ， ， ， 的線性變換. 1x2

5、xnx1y2ymy12,nx xx的線性函數(shù)，即例4 設(shè)變量 均可表示成變量12,my yyija(1,2,;1,2, ).im jn其中 為常數(shù)ijAa1nxxx1myyy令利用矩陣的乘法，則上述線性變換可寫成矩陣形式:.yAx利用矩陣的乘法和矩陣乘法的結(jié)合律，可以方便地連續(xù)施行線性變換例5 已知兩個線性變換 11321233123223245xyyxyyyxyyy112213323323yzzyzzyzz 123,x x x123,z zz求到的線性變換.201232415A 解 上述兩個線性變換的系數(shù)矩陣分別為 123,xxxx123,yyyy310201013B記123,zzzz,.x

6、Ay yBz()() .xA BzAB z112233201310232201415013xzxzxz 則上述兩個線性變換可分別寫成為 : 于是即1236131249101 16zzz1123212331236312491016 xzzzxzzzxzzz即123,z zz這就是由到123,x x x的線性變換.由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足：設(shè) 是 階方陣，定義An1,AA211,AA A,11kkAA A顯然， 就是 個 連乘kAAkklk lA AA()( ,k lklAA k l為正整數(shù))4. 方陣的冪k其中 為正整數(shù)A只有 是方陣時，它的冪才有意義（1）（2）由于矩陣的乘法

7、不滿足交換律，所以對于同階方陣 和 ，一般說來AB()kkkABA BAABBAB但是，如果方陣與可交換，即則()kkkABA B1011( )mmmmf Aa Aa AaAa E仍為一個 階方陣，稱 為方陣 的多項式n fAA100010001n nEn階單位矩陣1011( )mmmmf xa xa xaxa設(shè)mAn為 次多項式， 為 階方陣，則 其中例6 設(shè)2( )21,nf xxx11,01A .fA2( )2nf AAAE2111112,010101AAA11101nnA求解因為用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)111110101nnnAAA12410( )010201nf A則故101n4404n稱為

8、 階單位矩陣nE簡記作100010001n形如的 階方陣nE記作二. 特殊矩陣 單位矩陣特點：從左上角到右下角的直線（即主對角線）上的元素都是1，其他元素都是0，即單位矩陣 E的第i行第j列的元素1,0,ijijij當(dāng)當(dāng)結(jié)論：,.mm nm nm nnm nE AAAEA12000000n的 階方陣稱為對角矩陣n12diag(,)n 形如記作特點：主對角線上以外的元素全是零 對角矩陣性質(zhì)：（1）（2）（3）1212diag(,)diag( ,)nna aab bb12diag(,)nka aa1212diag(,) diag( ,)nna aab bb1122diag(,)nnab abab1

9、2diag(,)nka kaka1212diag( ,) diag(,)nnb bba aa1 122diag(,)nna b a ba b（4）12diag(,)mna aa其中m為正整數(shù).12diag(,)mmmnaaa特別地，主對角線上元素都相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣diag( , , )a aa0000diag( , , )00aaa aaaEa即記作 設(shè) 為任一 階方陣， 為任一 階數(shù)量矩陣AnaEn()()()aE Aa EAa AE即 階數(shù)量矩陣與任一 階方陣 相乘可交換nnA則()()aA EA aE1a 當(dāng) 時，數(shù)量矩陣即為單位矩陣 000100000100000AEB010

10、001000B例1 設(shè)1001 ,00AnA計算（n為正整數(shù)）解其中2010010001001001000000000000B320BB B顯然()nnAEBE因數(shù)量矩陣 與B可交換，所以利用二項式定理得到11222333()()()()nnnnnnnnECEBCEBCEBB122(1)2nnnn nEnBB110000000000000nnnnnnn2(1)002000000nn n121(1)2000nnnnnnn nnn11121222000nnnnaaaaaa形如的矩陣稱為上三角矩陣特點特點：主對角線的左下方的元素全為零3.三角矩陣1112111121222222000000nnnnn

11、nnnaaabbbaabbab11 112222000nnnna ba ba b其中*表示主對角線上方的元素，即兩個同階的上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣直接驗證可知 類似地，我們同樣可以定義下三角矩陣，也就是：主對角線右上方的元素全為零矩陣，它具有與上三角矩陣類似性質(zhì)T13121,2434515AATT();AATTT();ABABTT(),AA為任意數(shù);TTT().ABB A例如 ：性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）4.轉(zhuǎn)置矩陣證 性質(zhì)（1）（3）是顯然的，這里僅給出（4）的證明.設(shè),ijijm ss nAaBb(),().TTijm nijn mABCcB ADd1.sjijkkikca b記

12、于是按矩陣乘法的定義，有 TB而的第i1(,),isibb行為的第TAj1(,) ,Tjjsaa列為(1,2,;1,2,)ijjidcinjm所以TDC即TTT() .B AAB亦即由（4），根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可證TTTT111()kkkAAA AA11ssijkijkjkkikkdb aa b因此那么 稱為對稱矩陣；A則稱 為反對稱矩陣AijAan設(shè) 為 階方陣，TAA 如果特點特點：對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等( ,1,2,);ijjiaai jn即有( ,1,2,),ijjiaai jn 反對稱矩陣有該矩陣主對角線上的元素全為0.TAA如果 對稱矩陣和反對稱矩陣111211222

13、212nnnnnnaaaaaaaaa12112212000nnnnaaaaaa反對稱矩陣對稱矩陣形式：例2是對稱矩陣. 證明 因 是 階矩陣，且 TBBmTTTTTT()()BBBBBB故 是 階對稱矩陣TBBmTB B同理， 是 階對稱矩陣mBm nTBBTB B是一個矩陣，則 和 都設(shè)例3 設(shè)列矩陣 T12(,)nxx xxT1x x滿足EnT2,HExx為 階單位矩陣，證明HT.HHE是對稱矩陣，且T22212nx xxxx證 首先請注意TTTTTT(2)2()HExxExx是一階方陣，即一個數(shù)，H所以 是對稱矩陣.T2ExxHTxxn是階方陣而T2T2(2)HHHExx基本性質(zhì)：,A

14、B（1）若都是對稱矩陣，則對稱矩陣（其中 為任意常數(shù)）.,ABA都是,A B（2）若都是對稱矩陣，則AB為對稱矩陣的.ABBA充要條件是TTT44()()ExxxxxxTTT44 ()Exxx x x xTT44ExxxxE定理定理 設(shè) ， 是兩個 階方陣，則A BnABA B1212kkA AAA AAn1,kAA推論設(shè) 均為 階方陣，則6.方陣乘積的行列式112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA稱為矩陣 的伴隨矩陣伴隨矩陣試證A（2）當(dāng) 時，0A 1.nAAnijAaijA例4 階方陣 的各個元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下的矩陣;AAA AA E（1）1122ijijiji

15、njnijba Aa Aa AAAAAAA EA *ijAAb證 （1）設(shè) ，則于是,( ,1,2, )0,Ajii jnji1()nkikjkA AA anA AAAAAAA EA類似地，（2）由（1）且根據(jù)本節(jié)定理1可知0A 1.nAA由于 ，故 在數(shù)的乘法中，如果常數(shù) ，則0a 存在 的逆 ： ，使a1a11aa111a aaa這使得求解一元線性方程 變得非常簡單axb對 階方陣 ，是否也存在著“逆”An即是否存在一個 階方陣 使BnABBAE三. 逆矩陣如果有一個 階方陣定義 對于 階方陣nnAB(1)ABBAE則稱 是可逆的，并把矩陣 稱為 的逆矩陣ABA如果方陣 可逆，則它的逆矩陣

16、是唯一的A1BA使A B注意注意：在定義中， 、 的地位是平等的B即如果（1）成立，則 也可逆，并且11212111diag(,)diag(,)nn 1212111diag(,) diag(,)nn 例1 設(shè)12diag(,) ,nA 120,n1.A且求解解 因為所以1212111diag(,) diag(,)nnE 1*1AAAA0A 定理 方陣 可逆的充分必要條件是A且當(dāng) 可逆時，*A其中 為矩陣的伴隨矩陣.注：當(dāng) 時，稱 為非奇異矩陣，0A A否則稱為奇異矩陣p可逆矩陣就是非奇異矩陣同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法伴隨矩陣法因為 可逆，即存在 ，A1A1.AAE故111,A AAA

17、E所以0.A 由本章第二節(jié)例知，*AAA A.A E因為0,A 故有11AAA AEAA所以，按逆矩陣的定義，即有11.AAA證 必要性.使充分性.例2 設(shè) ，試問：, , ,a b c dabAcd滿足A什么條件時，方陣 可逆？A可逆.這時111.dbAAcaAadbc0abAadbccd解解 當(dāng)時，A1.A當(dāng) 可逆時，求1.BA則nA1A（1）若 階方陣 可逆，則 也可逆11().AA且A0A（2）若 可逆，數(shù) ，則 可逆111().AA且nBA()ABEBAE或推論 若 階方陣 、 滿足運算規(guī)律運算規(guī)律T11T()()AAA B（3）若 、 為同階方陣且均可逆，111().ABB AAB則亦可逆，且（4）若 可逆，則 也可逆，且ATAAABAC.BC（5）若 可逆，且 ，則3732524103A 例3 求方陣 的逆矩陣A3732524103 10 解11AAA1A所以 存在，且1121311222321323331AAAAAAAAAA11525,103A21739103A而115,A 219,A 1591230.021A 331,A 130,A 232