高中數(shù)學(xué)論文：數(shù)學(xué)：在解析幾何中求參數(shù)范圍的9種方法

1、.從高考解幾題談求參數(shù)取值范圍的九個(gè)背景解析幾何中確定參數(shù)的取值范圍是一類轉(zhuǎn)為常見的探索性問題，歷年高考試題中也常出現(xiàn)此類問題。由于不少考生在處理這類問題時(shí)無從下手，不知道確定參數(shù)范圍的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系從何而來，本文通過一些實(shí)例介紹這類問題形成的幾個(gè)背景及相應(yīng)的解法，期望對考生的備考有所幫助。背景之一：題目所給的條件利用題設(shè)條件能溝通所求參數(shù)與曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線的特征參數(shù)之間的聯(lián)系，建立不等式或不等式組求解。這是求范圍問題最顯然的一個(gè)背景。例1：橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P(x, y)為其上的動點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_。解：設(shè)P(x1, y)，F(xiàn)1PF2是鈍角c

2、osF1PF2 =。說明：利用F1PF2為鈍角，得到一個(gè)不等式是解題的關(guān)鍵。把本題特殊化就可以得到2000年全國高考題理科第14題：橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（答案為 x，）例2：（2000年全國高考題理科第22題）如圖，已知梯形ABCD中，=2，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。解：如圖，以線段AB的垂直平分線為 y 軸。因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且與A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)y軸對稱，依題意，記A，C(，h)，E(x0，y0), 其中c =為

3、雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x0=，y0=。設(shè)雙曲線方程為=1，則離心率e =。由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e =代入雙曲線方程得 由式得將式代入式，整理得：說明：建立與e的函數(shù)關(guān)系式，再利用已知的范圍，即可求得e的范圍。背景之二：曲線自身的范圍圓、橢圓、雙曲線及拋物線都有自身的范圍，如橢圓>b>0)中，x，利用這些范圍是確定參數(shù)范圍的途徑之一。例3：（2002年全國高考題）設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1，0)、N(1，0)距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)得，即y = 由于x，所以點(diǎn)P(x，y)、M

4、(1，0)、N(1，0)三點(diǎn)不共線，得因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線上，故=1將式代入，解得由且，得，又m(0, 說明：P到x軸、y軸距離之比為2，所以P不能在x軸上，由此得到m，這一隱含條件容易忽視。例4：（2004年全國卷理科21題 文科22題）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c, 0)與F2(c, 0) (c > 0)，且橢圓上存在一點(diǎn)P，使得直線PF1與PF2垂直。(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線，直線PF2與l相交于Q，若，求直線PF2的方程。解：(1)依題設(shè)有m1>1,即m > 0，c =,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0, y0)，由PFPF

5、2 ，得 將與聯(lián)立，解得x由此得 故m, +)(2)答案為y =() (x-) ( 解答略)背景之三：二次方程有解的條件直線和圓錐曲線的關(guān)系，是解析幾何中最常見的關(guān)系，它們聯(lián)立消元后所得的判別式非負(fù)是直線和圓錐曲線有公共點(diǎn)的充要條件；若有限制條件，則還應(yīng)考慮根的分布情況等，這是確定參數(shù)取值范圍的一個(gè)常見背景。例5：（全國高考題）給定雙曲線x= 1，過點(diǎn)B(1，1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于P1及P2，且點(diǎn)B是線段P1P2的中點(diǎn)？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。解：畫出圖像知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，滿足題設(shè)條件的l不存在。當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則l方程為y

6、= k(x1)1，聯(lián)立，得。設(shè)。故滿足已知條件的直線l不存在。例6：（2004年湖北省高考題理科20題 文科20題）直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。解：(1)將直線代入雙曲線方程，并整理得依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故(2)答案是存在滿足題設(shè)。說明：問題(1)涉及到直線與雙曲線右支相交的問題，轉(zhuǎn)化為方程有不等的兩正根，由方程根的分布的充要條件建立不等式組即可。背景之四：已知變量的范圍利用題中給出的某個(gè)已知變量的范圍，或由已知條件求出某個(gè)變

7、量的范圍，然后找出這個(gè)變量與欲求的參變量之間的關(guān)系，進(jìn)而求解。1、雙參數(shù)中知道其中一個(gè)參數(shù)的范圍；例7：（2004年浙江省高考題理科21題 文科22題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1, 0)，點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn)M(m, 0)到直線AP的距離為1。(1)若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線的方程解：(1)由條件知直線AP的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1，所以。故(2)答案是（解答略）例8：（2004年全國高考卷理科21題）給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)。(1)設(shè)l的斜率為1，求的夾角的大??；(

8、2)設(shè)，求l在y軸上截距m的變化范圍。解：(1)答案為（解答略）。(2)F(1, 0), 設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), 由題設(shè), 得，即由得得聯(lián)立、解得，依題意有得直線l方程為：當(dāng)時(shí)，方程l在y軸上的截距。由，可知在上是遞減的。故直線l在y軸上截距m的變化范圍是。說明：例7和例8都是已知一個(gè)變量的范圍求另一變量的范圍，可先利用題設(shè)條件建立變量的關(guān)系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數(shù)關(guān)系，再由已知變量的范圍求出函數(shù)的值域，即為所求變量的范圍。這類背景也可歸結(jié)為背景一。2、雙參數(shù)中的范圍均未知例9：（2004年全國卷文2 理21）設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點(diǎn)A、B。(1)求

9、雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且，求a的值。解：(1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得：由雙曲線的離心率故(2)略說明：先求出a的范圍，再建立e與a的函數(shù)關(guān)系式，即可求出e的范圍。例10：直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)和AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。解：由方程組，消去y得：設(shè)，AB中點(diǎn)，則有：設(shè)直線l的方程為，則有，它在上單調(diào)遞減。說明：這類問題可先求出一個(gè)變量的范圍，另一個(gè)變量范圍就相應(yīng)可求出來了。背景之五：點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)域或外域的充要條件如果我們規(guī)定圓錐曲線包含焦點(diǎn)的區(qū)域稱為圓錐曲線的內(nèi)

10、域，同時(shí)坐標(biāo)平面被圓錐曲線所劃分的另一部分稱為圓錐曲線的外域，則點(diǎn)，在橢圓內(nèi)（外）域的充要條件是；點(diǎn)在雙曲線內(nèi)（外）域的充要條件是；點(diǎn)在拋物線的內(nèi)（外）域的充要條件是。以這些充要條件為背景的范圍問題利用上述不等式可獲解。例11：（1986年全國高考題）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)P，Q關(guān)于該直線對稱。解：設(shè)中點(diǎn)，則：得，=又由、解得又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即。背景之六：三角形兩邊之和大于第三邊橢圓或雙曲線上一點(diǎn)與它們的兩個(gè)焦點(diǎn)的構(gòu)成一個(gè)三角形，具有這一背景的問題往往可以利用三角形兩邊之和大于第三邊產(chǎn)生的不等式來確定參數(shù)的范圍。例12：已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

11、F1、F2，左準(zhǔn)線為l，在雙曲線的左支上存在點(diǎn)P，使|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)，求離心率e的取值范圍。解：由|PF1|2 = d |PF2|又|PF2| = 2a|PF1|由、得|PF1|PF2|在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即。說明：因?yàn)镻點(diǎn)還可能在雙曲線頂點(diǎn)上，所以|PF1|PF2|F1F2|。背景之七：參數(shù)的幾何意義解析幾何是一門數(shù)與形相結(jié)合的學(xué)科，其中許多的變量都有十分明顯的幾何意義，以此為背景的范圍問題只要抓住了參數(shù)的幾何意義都可以達(dá)到目的。例13：橢圓C的上準(zhǔn)線是拋物線的準(zhǔn)線，且C經(jīng)過這條拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的離心率，求橢圓的長半軸a的范圍。解：

12、設(shè)橢圓的上焦點(diǎn)為F(x, y)，由定義知，。故橢圓上焦點(diǎn)F的軌變是以A(0, 1)為圓心，半徑為1的圓。由此易知焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線y = 1的距離p的范圍是。又背景之八：平均值不等式解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。利用代數(shù)基本不等式是求范圍的又一方法。例14：已知直線l過定點(diǎn)A(3, 0)，傾斜角為，試求的范圍，使得曲線的所有弦都不能被直線l垂直平分。解：當(dāng)直線的斜率為0或不存在時(shí)，符合題意。設(shè)直線l的方程為，被它垂直平分的弦的兩端點(diǎn)為，則BC中點(diǎn)P。當(dāng)線段BC被l垂直平分時(shí)，有。符合題意的直線斜率。說明：本題的求解利用補(bǔ)集法，即先求弦能被l垂直平分的直線l的斜率，取其補(bǔ)集就是滿足題設(shè)

13、的斜率，再利用斜率和傾斜角的關(guān)系，就可以求出的范圍。背景之九：目標(biāo)函數(shù)的值域要確定變量k的范圍，可先建立以k為函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問題迎刃而解。例15：是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，求|PF1|·|PF2|的取值范圍。解：|PF1|PF2| = 2a|PF1|·|PF2| = |PF1|·(2a|PF1|) =(|PF1|a)2a2又當(dāng)時(shí), 有最小值b2; 當(dāng)時(shí), |PF1|·|PF2|有最大值a2。故|PF1|·|PF2|的取值范圍是。例16：（2004年福建省高考題理科22題）如圖，P是拋物線上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。(1)若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌變方程；(2)若直線l不過原點(diǎn)且x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍。解：(1)設(shè)，依題意有。由過點(diǎn)P的切線