第2章 2.1.3 第2課時

1、第2課時兩條直線的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線垂直的條件.2.能根據(jù)已知條件判斷兩條直線垂直.3.會利用兩直線垂直求參數(shù)及直線方程知識點(diǎn)兩條直線垂直的判斷圖示對應(yīng)關(guān)系l1l2(兩直線斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率為0l1l21若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直2如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為1.(×)類型一兩條直線垂直關(guān)系的判定例1判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直：(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，B(1,2)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率為10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)

2、，B(20,3)；(3)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)，B(3,100)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(10,40)，N(10,40)解(1)直線l1的斜率k12，直線l2的斜率k2，k1k21，故l1與l2不垂直(2)直線l1的斜率k110，直線l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的傾斜角為90°，則l1x軸直線l2的斜率k20，則l2x軸故l1l2.反思與感悟判斷兩直線垂直的步驟方法一方法二若兩條直線的方程均為一般式：l1：A1xB1yC10(A1，B1不全為0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全為0)則l1l2A1A2B1B20.跟蹤訓(xùn)練1下列各組中直線l1與l2垂直是_(填序號

3、)l1：2x3y40和l2：3x2y40；l1：2x3y40和l2：3y2x40；l1：2x3y40和l2：4x6y80；l1：(a1)xy5和l2：2x(2a2)y40.答案解析由題知，l1與l2不平行又2×3(3)×20，l1l2.由題知，l1l2.由題知，l1與l2重合由題知，當(dāng)a1時，l1：y5，l2：x20，l1l2.當(dāng)a1時，不成立，故l1與 l2不平行又(a1)×2(2a2)×10，l1l2.綜上，l1l2.類型二由兩直線垂直求參數(shù)或直線方程例2三條直線3x2y60,2x3m2y180和2mx3y120圍成直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值解當(dāng)直線3

4、x2y60與直線2x3m2y180垂直時，有66m20，m1或m1.當(dāng)m1時，直線2mx3y120也與直線3x2y60垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m1應(yīng)舍去m1.當(dāng)直線3x2y60與直線2mx3y120垂直時，有6m60，得m1(舍)當(dāng)直線2x3m2y180與直線2mx3y120垂直時，有4m9m20，m0或m.經(jīng)檢驗(yàn)，這兩種情形均滿足題意綜上所述，所求的結(jié)果為m1或0或.反思與感悟此類問題常依據(jù)兩直線垂直的條件列關(guān)于參數(shù)的方程或方程組求解跟蹤訓(xùn)練2已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，a)，B(a2，3)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，則a的值為_答案5或6解析設(shè)直線l1，l

5、2的斜率分別為k1，k2.直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在當(dāng)k20時，a23，則a5，此時k1不存在，符合題意當(dāng)k20時，即a5，由k1k21，得·1，解得a6.綜上可知，a的值為5或6.例3求與直線4x3y50垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形AOB周長為10的直線方程解設(shè)所求直線方程為3x4yb0.令x0，得y，即A；令y0，得x，即B.又三角形周長為10，即OAOBAB10， 10，解得b±10，故所求直線方程為3x4y100或3x4y100.反思與感悟(1)若直線l的斜率存在且不為0，與已知直線ykxb垂直，則可設(shè)直線l的方程為yxm(

6、k0)，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程(2)若直線l與已知直線AxByC0(A，B不全為0)垂直，則可設(shè)l的方程為BxAym0，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)A(2,2)和直線l：3x4y200，求過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線l1的方程解方法一因?yàn)閗lk11，所以k1，故直線l1的方程為y2(x2)，即4x3y20.方法二設(shè)所求直線l1的方程為4x3ym0.因?yàn)閘1經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，所以4×23×2m0，解得m2.故l1的方程為4x3y20.類型三垂直與平行的綜合應(yīng)用例4已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)B(6，1)，C(5

7、,2)，D(1,2)若四邊形ABCD為直角梯形，求A點(diǎn)坐標(biāo)解若AD90°，如圖(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)若AB90°，如圖(2)設(shè)A(a，b)，則kBC3，kAD，kAB.由ADBCkADkBC，即3；由ABBCkAB·kBC1，即·(3)1.解得故A.綜上，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)或.反思與感悟有關(guān)兩條直線垂直與平行的綜合問題，一般是根據(jù)已知條件列方程(組)求解如果涉及到有關(guān)四邊形已知三個頂點(diǎn)求另外一個頂點(diǎn)，注意判斷圖形是否唯一，以防漏解跟蹤訓(xùn)練4已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1)，B(1,0)，C(3,2

8、)，求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)解設(shè)第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)锳DCD，ADBC，所以kAD·kCD1，且kADkBC.所以解得所以第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3).1下列直線中，與直線l：y3x1垂直的是_(填序號)y3x1; y3x1；yx1; yx1.答案2已知A(1,2)，B(m,1)，直線AB與直線y0垂直，則m的值為_答案1解析直線AB與x軸垂直，則點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)相同，即m1.3直線l1，l2的斜率分別是方程x23x10的兩個根，則l1與l2的位置關(guān)系是_答案垂直解析設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2由根與系數(shù)的關(guān)系可得k1k21，所以l1l2.4直線xy0和直線xay0

9、互相垂直，則a_.答案1解析由題意知1×11×(a)0，得a1.5過點(diǎn)(3，1)與直線3x4y120垂直的直線方程為_答案4x3y150解析直線3x4y120的斜率為，則與該直線垂直的直線的斜率為.所求直線方程為y1(x3)即4x3y150.1兩條直線垂直與斜率的關(guān)系圖形表示對應(yīng)關(guān)系l1，l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1l2k1k21l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1l22.l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.3與l：AxByC0垂直的直線可設(shè)為BxAyC10.一、填空題1已知平面

10、內(nèi)有A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)三點(diǎn)，則下列說法正確的是_(填序號)ABC是直角三角形，且BAC90°；ABC是直角三角形，且ABC90°；ABC是直角三角形，且ACB90°；ABC不是直角三角形答案解析kAB，kBC2，kAB·kBC1，ABBC，ABC90°.2已知兩條直線yax2和y(a2)x1互相垂直，則a_.答案1解析由題意得a(a2)1，解得a1.3已知點(diǎn)A(0,1)，B(a,0)，C(3,2)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，且l垂直于AB，則a的值為_答案1或2解析由題意知ABBC，則×1，解得a1或2.4已知直線l

11、1：yx，若直線l2l1，則直線l2的傾斜角為_答案135°解析因?yàn)橹本€yx的斜率k11，所以若直線l2l1，則直線l2的斜率k1.所以直線l2的傾斜角為135°.5已知直線l1的斜率k13，若直線l2過點(diǎn)(0,5)，且l1l2，則直線l2的方程是_答案x3y150解析k13，l1l2，l2的斜率為.又直線l2過點(diǎn)(0,5)，l2的方程是yx5，即x3y150.6過原點(diǎn)作直線l的垂線，若垂足為(2,3)，則直線l的方程是_答案2x3y130解析設(shè)垂足為A，則kOA，由題意可知kl，所以直線l的方程是y3(x2)整理得2x3y130.7已知直線l上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3,

12、5)，(a,2)，且直線l與直線3x4y50垂直，則a的值為_答案解析因?yàn)橹本€3x4y50的斜率為，故直線l的斜率為.由直線的斜率計(jì)算公式，可得，解得a.8順次連結(jié)A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四點(diǎn)所組成的圖形是_答案直角梯形解析kAB，kBC，kCD，kAD3，kABkCD，kADkBC，kAD·kAB1，kAD·kCD1.四邊形ABCD為直角梯形9與直線3x4y70垂直，并且在x軸上的截距為2的直線方程是_答案4x3y80解析設(shè)所求直線方程為4x3yC0，將(2,0)代入得C8，故方程為4x3y80.10將直線l：xy10繞點(diǎn)A(2,3)逆時針旋

13、轉(zhuǎn)90°，得到的直線l1的方程是_答案xy50解析根據(jù)題意知，直線l1與直線l垂直，而直線l：xy10的斜率為1，所以直線l1的斜率為1.又直線l1也過點(diǎn)A(2,3)，故直線l1的方程是y31×(x2)，即xy50.11已知直線l的傾斜角為135°，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，1)，且直線l1與直線l垂直，直線l2的方程為2xby10，且直線l2與直線l1平行，則ab_.答案2解析由直線l的傾斜角得l的斜率為1，直線l與l1垂直，l1的斜率為1.由直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，1)，得l1的斜率為.故1，解得a0.又直線l2的斜率為，l1l2，1，解

14、得b2.ab2.二、解答題12已知在ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求BC邊上的高所在直線的方程；(3)求過A與BC平行的直線方程解(1)因?yàn)橹本€AB的斜率k1，所以AB邊上的高所在直線的斜率為3且過點(diǎn)C，所以AB邊上的高所在直線的方程為y33(x1)，即3xy60.(2)因?yàn)橹本€BC的斜率k21，所以BC邊上的高所在直線的斜率為1且過點(diǎn)A，所以BC邊上的高所在直線的方程為yx0.(3)由(2)知，過點(diǎn)A與BC平行的直線的斜率為1，其方程為yx0.13已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三點(diǎn)，求點(diǎn)D，使直線CDAB，且CBAD.解設(shè)D(x，y)，則kCD，kAB3，kCB2，kAD.因?yàn)閗CD·kAB1，kCBkAD，所以×31，2，所以x0，y1，即D(0,1)三、探究與拓展14垂直于直線3x4y70，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸