第一章章末復(fù)習(xí)課

1、章末復(fù)習(xí)課1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類(lèi)的方法可以有效的將之分解，達(dá)到求解的目的.正確地分類(lèi)與分步是用好兩個(gè)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類(lèi)”進(jìn)行，這是選用計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵.2.排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問(wèn)題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時(shí)，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡(jiǎn)的原則，有時(shí)也會(huì)從兩邊向中間靠攏.對(duì)于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問(wèn)題還

2、是組合問(wèn)題.3.二項(xiàng)式定理(1)與二項(xiàng)式定理有關(guān)：包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式等，此時(shí)主要是要構(gòu)造二項(xiàng)式，合理應(yīng)用展開(kāi)式；(2)與通項(xiàng)公式有關(guān)：主要是求特定項(xiàng)，比如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、x的某次冪等，此時(shí)要特別注意二項(xiàng)式展開(kāi)式中第k1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是Tk1Cankbk(k0，1，n)，其二項(xiàng)式系數(shù)是C，而不是C，這是一個(gè)極易錯(cuò)點(diǎn).方法一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 在AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共mn1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有()A.CCCC B.CCCCC.CCCCCC D.CCCC解析法一

3、第一類(lèi)：從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類(lèi)：從OA邊上(不包括O)任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)任取一點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類(lèi)：從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有N(CCCCCC)個(gè)三角形.法二從mn1中任取三點(diǎn)共有C種情況，其中三點(diǎn)均在射線OA上(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB上(包括O點(diǎn))，有C個(gè).所以，三角形的個(gè)數(shù)為NCCC.答案C規(guī)律方法基本計(jì)數(shù)原理提供了“完成某件事情”是“分類(lèi)”進(jìn)行，還是“分步”進(jìn)行.在分類(lèi)或分步中，

4、針對(duì)具體問(wèn)題考慮是與“順序”有關(guān)，還是無(wú)關(guān)，來(lái)確定排列與組合.【訓(xùn)練1】 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.144種 B.72種 C.64種 D.84種解析根據(jù)所用顏色的種數(shù)分類(lèi)第一類(lèi)：用4種顏色涂，有A4×3×2×124(種).第二類(lèi)：用3種顏色，必須有一條對(duì)角區(qū)域涂同色：有CCA48(種).第三類(lèi)：用2種顏色，對(duì)角區(qū)域各涂一色有A4×312(種).共有24481284(種).答案D方法二排列與組合應(yīng)用題【例2】停車(chē)場(chǎng)一排有12個(gè)空位，如今要停放7輛不同的車(chē)，要求恰好有4

5、個(gè)空位連在一起，求共有多少種停法？解將4個(gè)連在一起的空位看成一個(gè)整體，由于另一個(gè)空位不能與這個(gè)整體相連，則可把這兩個(gè)元素插在7輛車(chē)之間，共有A種方法；而7輛車(chē)共有A種排法，因此共有A·A282 240(種)不同停法.規(guī)律方法在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，常常遇到排列、組合的綜合性問(wèn)題，而解決問(wèn)題的第一步是審題，只有認(rèn)真審題，才能把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，分清是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題，還是綜合問(wèn)題，分清分類(lèi)與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式，并且要遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步；(2)特殊優(yōu)先，一般在后；(3)先取后排，間接

6、排除；(4)相鄰捆綁，間隔插空；(5)抽象問(wèn)題，構(gòu)造模型；(6)均分除序，定序除序.【訓(xùn)練2】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2，3相鄰的偶數(shù)有_個(gè)(用數(shù)字作答).解析數(shù)字2和3相鄰的偶數(shù)有兩種情況.第一種情況，當(dāng)數(shù)字2在個(gè)位上時(shí)，則3必定在十位上，此時(shí)這樣的五位數(shù)共有A6個(gè)；第二種情況，當(dāng)數(shù)字4在個(gè)位上時(shí)，且2，3必須相鄰，此時(shí)滿(mǎn)足要求的五位數(shù)有AA12(個(gè))，則一共有61218(個(gè)).答案18方法三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例3】 (1)已知(x2)n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中i21，則展開(kāi)式中系數(shù)為實(shí)數(shù)且最大的項(xiàng)為()A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)

7、D.第5項(xiàng)或第6項(xiàng)(2)已知x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，則a9的值為_(kāi).解析(1)T3Cx2n5，T5Cx2n10.由CC，得n25n500，n10，又Tr1C(i)rx20r，據(jù)此可知當(dāng)r0，2，4，6，8，10時(shí)其系數(shù)為實(shí)數(shù)，且當(dāng)r4時(shí)，C210最大.(2)法一所給等式即1(x1)21(x1)10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，而“(x1)9”只能從1(x1)10中產(chǎn)生，根據(jù)二項(xiàng)式定理，a9CC10.法二因?yàn)閍9與x9項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，等式左邊x9項(xiàng)的系數(shù)為0，所以等式右邊x9項(xiàng)的系數(shù)也為0.因?yàn)閤10的系數(shù)為a10C1，x9的系數(shù)為a9

8、83;Ca10·Ca9100，所以a910.答案(1)C(2)10規(guī)律方法對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查常有兩類(lèi)問(wèn)題：第一類(lèi)，直接運(yùn)用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或解決與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題；第二類(lèi)，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來(lái)處理的問(wèn)題.【訓(xùn)練3】 (1)(x1)9按x降冪排列的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.第4項(xiàng)和第5項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第5項(xiàng)和第6項(xiàng) D.第6項(xiàng)(2)已知(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，|a1|a2|a9|的值為_(kāi).解析(1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，(x1)9的展開(kāi)式中的中間兩項(xiàng)即第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以只有第5項(xiàng)的系數(shù)最大.(2

9、)法一因?yàn)?x2)91(x1)9CC(x1)C(x1)2C(x1)9，所以a0C1，a1C，a2C，a9C.因此|a1|a2|a9|a1a2a9CCCC291511.法二由(x2)91(x1)9CC(x1)C(x1)2C(x1)9知，a1，a2，a3，a9均為正，所以|a1|a2|a9|a1a2a9.因此，在已知等式中令x0，得a0a1a2a929.又a01，所以|a1|a2|a9|291511.答案(1)B(2)5111.(2019·全國(guó))安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種解析只能

10、是一個(gè)人完成2項(xiàng)工作，剩下2人各完成一項(xiàng)工作.由此把4項(xiàng)工作分成3份再全排得C·A36種.答案D2.(2019·全國(guó))(x2xy)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60解析法一利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T(mén)3C(x2x)3·y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C.法二利用組合知識(shí)求解.(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.答案C3.(2019

11、3;遼寧高考)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120 C.72 D.24解析3人中每?jī)扇酥g恰有一個(gè)空座位，有A×212種坐法，3人中某兩人之間有兩個(gè)空座位，有A×A12種坐法，所以共有121224種坐法.答案D4.(2019·浙江高考)在(1x)6(1y)4的展開(kāi)式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A.45 B.60 C.120 D.210解析在(1x)6的展開(kāi)式中，xm的系數(shù)為C，在(1y)4的展開(kāi)式中，yn的系數(shù)為C，故f(m，n)C·C.從而f

12、(3，0)C20，f(2，1)C·C60，f(1，2)C·C36，f(0，3)C4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)120，故選C.答案C5.(2019·全國(guó))(xy)(2xy)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A.80 B.40 C.40 D.80解析由二項(xiàng)式定理可得，展開(kāi)式中含x3y3的項(xiàng)為x·C(2x)2(y)3y·C(2x)3(y)240x3y3，則x3y3的系數(shù)為40.答案C6.(2019·浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有

13、_種不同的選法(用數(shù)字作答).解析總的選法為CCC(種)，其中不滿(mǎn)足條件的選法為CCC(種).則滿(mǎn)足條件的選法為CCCCCC660(種).答案6607.(2019·天津高考)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(gè)(用數(shù)字作答).解析當(dāng)不含偶數(shù)時(shí)，有A120個(gè)，當(dāng)含有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，有CCA960個(gè)，所以這樣的四位數(shù)共有1 080個(gè).答案1 0808.(2019·浙江高考)已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_.解析令x0，得a5(01)3(02)24，而(x1)3(x2)2(x1)3(x1)22(x1)1(x1)52(x1)4(x1)3；則a4C2CC58316.答案1649.(2019·廣東高考)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言，那么全班共寫(xiě)了_條畢業(yè)留言(用數(shù)字做答).解析依題意兩兩彼此給對(duì)方寫(xiě)一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫(xiě)了A40×391 560條畢業(yè)留言.答案1 56010.(2019·全國(guó))(ax)(1x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4