第一章章末復(fù)習(xí)課

1、章末復(fù)習(xí)課1.兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之分解，達到求解的目的.正確地分類與分步是用好兩個原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進行還是“分類”進行，這是選用計數(shù)原理的關(guān)鍵.2.排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時也會從兩邊向中間靠攏.對于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還

2、是組合問題.3.二項式定理(1)與二項式定理有關(guān)：包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構(gòu)造二項式，合理應(yīng)用展開式；(2)與通項公式有關(guān)：主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等，此時要特別注意二項式展開式中第k1項的通項公式是Tk1Cankbk(k0，1，n)，其二項式系數(shù)是C，而不是C，這是一個極易錯點.方法一兩個計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 在AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共mn1個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有()A.CCCC B.CCCCC.CCCCCC D.CCCC解析法一

3、第一類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取兩點，可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第二類：從OA邊上(不包括O)任取兩點與OB邊上(不包括O)任取一點，可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第三類：從OA邊上(不包括O)任取一點與OB邊上(不包括O)任取一點，與O點可構(gòu)造一個三角形，有CC個.由分類加法計數(shù)原理共有N(CCCCCC)個三角形.法二從mn1中任取三點共有C種情況，其中三點均在射線OA上(包括O點)，有C個，三點均在射線OB上(包括O點)，有C個.所以，三角形的個數(shù)為NCCC.答案C規(guī)律方法基本計數(shù)原理提供了“完成某件事情”是“分類”進行，還是“分步”進行.在分類或分步中，

4、針對具體問題考慮是與“順序”有關(guān)，還是無關(guān)，來確定排列與組合.【訓(xùn)練1】 現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.144種 B.72種 C.64種 D.84種解析根據(jù)所用顏色的種數(shù)分類第一類：用4種顏色涂，有A4×3×2×124(種).第二類：用3種顏色，必須有一條對角區(qū)域涂同色：有CCA48(種).第三類：用2種顏色，對角區(qū)域各涂一色有A4×312(種).共有24481284(種).答案D方法二排列與組合應(yīng)用題【例2】停車場一排有12個空位，如今要停放7輛不同的車，要求恰好有4

5、個空位連在一起，求共有多少種停法？解將4個連在一起的空位看成一個整體，由于另一個空位不能與這個整體相連，則可把這兩個元素插在7輛車之間，共有A種方法；而7輛車共有A種排法，因此共有A·A282 240(種)不同停法.規(guī)律方法在解決一個實際問題的過程中，常常遇到排列、組合的綜合性問題，而解決問題的第一步是審題，只有認真審題，才能把握問題的實質(zhì)，分清是排列問題、組合問題，還是綜合問題，分清分類與分步的標(biāo)準和方式，并且要遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步.解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類，準確分步；(2)特殊優(yōu)先，一般在后；(3)先取后排，間接

6、排除；(4)相鄰捆綁，間隔插空；(5)抽象問題，構(gòu)造模型；(6)均分除序，定序除序.【訓(xùn)練2】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2，3相鄰的偶數(shù)有_個(用數(shù)字作答).解析數(shù)字2和3相鄰的偶數(shù)有兩種情況.第一種情況，當(dāng)數(shù)字2在個位上時，則3必定在十位上，此時這樣的五位數(shù)共有A6個；第二種情況，當(dāng)數(shù)字4在個位上時，且2，3必須相鄰，此時滿足要求的五位數(shù)有AA12(個)，則一共有61218(個).答案18方法三二項式定理的應(yīng)用【例3】 (1)已知(x2)n的展開式中第3項與第5項的系數(shù)之比為，其中i21，則展開式中系數(shù)為實數(shù)且最大的項為()A.第3項 B.第4項C.第5項

7、D.第5項或第6項(2)已知x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，則a9的值為_.解析(1)T3Cx2n5，T5Cx2n10.由CC，得n25n500，n10，又Tr1C(i)rx20r，據(jù)此可知當(dāng)r0，2，4，6，8，10時其系數(shù)為實數(shù)，且當(dāng)r4時，C210最大.(2)法一所給等式即1(x1)21(x1)10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，而“(x1)9”只能從1(x1)10中產(chǎn)生，根據(jù)二項式定理，a9CC10.法二因為a9與x9項的系數(shù)有關(guān)，等式左邊x9項的系數(shù)為0，所以等式右邊x9項的系數(shù)也為0.因為x10的系數(shù)為a10C1，x9的系數(shù)為a9

8、83;Ca10·Ca9100，所以a910.答案(1)C(2)10規(guī)律方法對于二項式定理的考查常有兩類問題：第一類，直接運用通項公式求特定項或解決與系數(shù)有關(guān)的問題；第二類，需運用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項式定理來處理的問題.【訓(xùn)練3】 (1)(x1)9按x降冪排列的展開式中，系數(shù)最大的項是()A.第4項和第5項 B.第5項C.第5項和第6項 D.第6項(2)已知(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，|a1|a2|a9|的值為_.解析(1)根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，(x1)9的展開式中的中間兩項即第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，但第6項的系數(shù)是負數(shù)，所以只有第5項的系數(shù)最大.(2

9、)法一因為(x2)91(x1)9CC(x1)C(x1)2C(x1)9，所以a0C1，a1C，a2C，a9C.因此|a1|a2|a9|a1a2a9CCCC291511.法二由(x2)91(x1)9CC(x1)C(x1)2C(x1)9知，a1，a2，a3，a9均為正，所以|a1|a2|a9|a1a2a9.因此，在已知等式中令x0，得a0a1a2a929.又a01，所以|a1|a2|a9|291511.答案(1)B(2)5111.(2019·全國)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種解析只能

10、是一個人完成2項工作，剩下2人各完成一項工作.由此把4項工作分成3份再全排得C·A36種.答案D2.(2019·全國)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60解析法一利用二項展開式的通項公式求解.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項為T3C(x2x)3·y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4·xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C.法二利用組合知識求解.(x2xy)5為5個x2xy之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.答案C3.(2019

11、3;遼寧高考)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120 C.72 D.24解析3人中每兩人之間恰有一個空座位，有A×212種坐法，3人中某兩人之間有兩個空座位，有A×A12種坐法，所以共有121224種坐法.答案D4.(2019·浙江高考)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A.45 B.60 C.120 D.210解析在(1x)6的展開式中，xm的系數(shù)為C，在(1y)4的展開式中，yn的系數(shù)為C，故f(m，n)C·C.從而f

12、(3，0)C20，f(2，1)C·C60，f(1，2)C·C36，f(0，3)C4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)120，故選C.答案C5.(2019·全國)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.80 B.40 C.40 D.80解析由二項式定理可得，展開式中含x3y3的項為x·C(2x)2(y)3y·C(2x)3(y)240x3y3，則x3y3的系數(shù)為40.答案C6.(2019·浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有

13、_種不同的選法(用數(shù)字作答).解析總的選法為CCC(種)，其中不滿足條件的選法為CCC(種).則滿足條件的選法為CCCCCC660(種).答案6607.(2019·天津高考)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答).解析當(dāng)不含偶數(shù)時，有A120個，當(dāng)含有一個偶數(shù)時，有CCA960個，所以這樣的四位數(shù)共有1 080個.答案1 0808.(2019·浙江高考)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_.解析令x0，得a5(01)3(02)24，而(x1)3(x2)2(x1)3(x1)22(x1)1(x1)52(x1)4(x1)3；則a4C2CC58316.答案1649.(2019·廣東高考)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了_條畢業(yè)留言(用數(shù)字做答).解析依題意兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A40×391 560條畢業(yè)留言.答案1 56010.(2019·全國)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4