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1、第9章 變分反問題前面我們討論的都是把泛函的極(駐)值問題轉化為微分方程的定解問題來處理,也就是變分的正問題。下面我們討論變分的反問題, 也就是說,如何將某些微分方程的定解問題化為泛函的極(駐)值問題來處理。此外還討論某些算子的特征值問題如何化為變分問題來處理。9.1算子方程的變分原理定理9.1假設是對稱正定算子, 其定義域為,值域為, , 如果算子方程存在解,那么所滿足的充要條件是泛函取極小值。證明:(1) 充分條件設使得取到極小值，也就是對任意的滿足其中為滿足齊次邊界條件的任意函數(shù)，為任意小量。那么也就是說對于任意的要求上式成立，只有(2) 必要條件如果，那么所以使得取到極小值。例9.1建

2、立與Poisson方程第一邊值問題等價的變分原理。解首先證明算子是對稱正定算子再根據(jù)上面的定理，其對應變分原理的泛函為9.2與Sturm-Liouville方程等價的變分原理定理9.2Sturm-Liouville方程為 (9.2.1)這里，。兩端的邊界條件為 (9.2.2)則是對稱正定算子。證明： (a) (b)此外由處邊界條件可知 (c)若,則上面兩式分別乘和、并相減，可得 (d)若,則，(c)中兩式分別乘和、并相減，同樣可得式(d)。同理 (e)利用式(d)、(e) 比較式(a)和(b)可得也就是說是對稱。 進一步， (f)當，由邊界條件(9.2.2) (g)當時, 只須在上式中取就可以了。所以式(g)對任意都成立。 同理代入式(f)也就是說是正定。這樣，其對應變分原理的泛函為例9.2 化下列兩階常微分方程的邊值問題(Sturm-Liou

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