第六章 定積分的應(yīng)用

1、 第六章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：1、 計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：1、 截面面積為已知的立體體積。 2、引力。§6. 1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積:設(shè)y=f (x)³0 (xÎa,b). 如果說(shuō)積分,是

2、以a,b為底的曲邊梯形的面積, 則積分上限函數(shù)就是以a,x為底的曲邊梯形的面積. 而微分dA(x)=f (x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素. 以a,b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式, 以a,b為積分區(qū)間的定積分:. 一般情況下, 為求某一量U, 先將此量分布在某一區(qū)間a,b上, 分布在a,x上的量用函數(shù)U(x)表示, 再求這一量的元素dU(x), 設(shè)dU(x)=u(x)dx, 然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式, 以a,b為積分區(qū)間求定積分即得. 用這一方法求一量的值的方法稱為微

3、元法(或元素法).§6. 2 定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積 1直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 則面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為. 類似地, 由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的面積為. 例1計(jì)算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: 0, 1.(3)確定上下曲線: .(4)計(jì)算積分. 例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2

4、)確定在y軸上的投影區(qū)間: -2, 4.(3)確定左右曲線: .(4)計(jì)算積分.例3求橢圓所圍成的圖形的面積.解設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍, 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0,a. 因?yàn)槊娣e元素為ydx,所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=a cos t,y=b sin t,于是.2極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素:由曲線r=j(q)及射線q=a,q=b圍成的圖形稱為曲邊扇形. 曲邊扇形的面積元素為.曲邊扇形的面積為.例4. 計(jì)算阿基米德螺線r=aq (a >0)上相應(yīng)于q從0變到2p的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解: . 例5. 計(jì)算心形線r=a(1+cos

5、q) (a>0) 所圍成的圖形的面積.解: . 二、體 積1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 常見的旋轉(zhuǎn)體: 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體. 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 設(shè)過(guò)區(qū)間a,b內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x), 當(dāng)平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx,于是體積元素為dV=pf (x)2dx, 旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形.

6、將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積.解: 直角三角形斜邊的直線方程為.所求圓錐體的體積為.例2.計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解: 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體. 體積元素為dV=py 2dx,于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為.例3 計(jì)算由擺線x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱, 直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為=5p2a 3.所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差. 設(shè)曲線左半

7、邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y). 則=6p3a 3. 2平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a,b, 過(guò)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面與立體相截, 截面面積為A(x), 則體積元素為A(x)dx, 立體的體積為.例4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角a. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積. 解: 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸, 底面上過(guò)圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸. 那么底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形. 兩個(gè)直角邊分別為及. 因而截面積為. 于是所求的立體體積為.例5. 求以半徑為R的

8、圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 解: 取底圓所在的平面為xOy平面, 圓心為原點(diǎn), 并使x軸與正劈錐的頂平行. 底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 過(guò)x軸上的點(diǎn)x(-R<x<R)作垂直于x軸的平面, 截正劈錐體得等腰三角形. 這截面的面積為.于是所求正劈錐體的體積為 .三、平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)A,B 是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn). 在弧AB上任取分點(diǎn)A=M0,M1,M2,×××,Mi-1,Mi,×××,Mn-1,Mn=B, 并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線. 當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小段Mi-1Mi

9、都縮向一點(diǎn)時(shí), 如果此折線的長(zhǎng)的極限存在, 則稱此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng), 并稱此曲線弧AB是可求長(zhǎng)的.定理 光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的.1直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y=f(x) (a£x£b)給出, 其中f(x)在區(qū)間a,b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度. 取橫坐標(biāo)x為積分變量, 它的變化區(qū)間為a,b. 曲線y=f(x)上相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的一段弧的長(zhǎng)度, 可以用該曲線在點(diǎn)(x,f(x)處的切線上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來(lái)近似代替. 而切線上這相應(yīng)的小段的長(zhǎng)度為,從而得弧長(zhǎng)元素(即弧微分).以為被積表達(dá)式, 在閉區(qū)間a,b上作定積分, 便得

10、所求的弧長(zhǎng)為. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為, 這也就是弧長(zhǎng)元素. 因此例1. 計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度. 解:, 從而弧長(zhǎng)元素.因此, 所求弧長(zhǎng)為. 例2. 計(jì)算懸鏈線上介于x=-b與x=b之間一段弧的長(zhǎng)度. 解:, 從而弧長(zhǎng)元素為.因此, 所求弧長(zhǎng)為.2參數(shù)方程情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x=j(t)、y=y(t) (a£t£b )給出, 其中j(t)、y(t)在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).因?yàn)?dx=j¢(t)dt, 所以弧長(zhǎng)元素為.所求弧長(zhǎng)為.例3. 計(jì)算擺線x=a(q-sinq),y=a(1-cosq)的一拱(0 £q&#

11、163;2p )的長(zhǎng)度. 解: 弧長(zhǎng)元素為.所求弧長(zhǎng)為=8a.3極坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程r=r(q) (a£q£b )給出, 其中r(q)在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得x=r(q)cosq ,y=r(q)sinq(a£q£b ).于是得弧長(zhǎng)元素為.從而所求弧長(zhǎng)為.例14. 求阿基米德螺線r=aq (a>0)相應(yīng)于q從0到2p一段的弧長(zhǎng). 解: 弧長(zhǎng)元素為.于是所求弧長(zhǎng)為.§6.3 功水壓力和引力一、變力沿直線所作的功例1 把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處, 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng). 這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電

12、荷有作用力. 由物理學(xué)知道, 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)O為r的地方, 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 (k是常數(shù)).當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從r=a處沿r軸移動(dòng)到r=b(a<b)處時(shí), 計(jì)算電場(chǎng)力F對(duì)它所作的功.例1¢電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(a<b)處求電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功. 提示: 由物理學(xué)知道,在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中,距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為 (k是常數(shù)).解: 在r軸上,當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí),電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為,

13、即功元素為.于是所求的功為.例2.在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體. 在等溫條件下, 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處. 計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中, 氣體壓力所作的功.解:取坐標(biāo)系如圖, 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來(lái)表示. 由物理學(xué)知道, 一定量的氣體在等溫條件下, 壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k, 即 pV=k或.解: 在點(diǎn)x處, 因?yàn)閂=xS, 所以作在活塞上的力為.當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x+dx時(shí), 變力所作的功近似為,即功元素為.于是所求的功為.例3. 一圓柱形的貯水桶高為5m, 底圓半徑為3m, 桶內(nèi)盛滿了水. 試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解: 作x

14、軸如圖. 取深度x 為積分變量. 它的變化區(qū)間為0,5, 相應(yīng)于0,5上任小區(qū)間x,x+dx的一薄層水的高度為dx. 水的比重為9.8kN/m3, 因此如x的單位為m, 這薄層水的重力為9.8p×32dx. 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW=88.2p×x×dx,此即功元素. 于是所求的功為(kj).二、水壓力 從物理學(xué)知道, 在水深為h處的壓強(qiáng)為p=gh, 這里 g 是水的比重. 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處, 那么, 平板一側(cè)所受的水壓力為P=p×A. 如果這個(gè)平板鉛直放置在水中, 那么, 由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等, 所以

15、平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算.例4. 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有半桶水. 設(shè)桶的底半徑為R, 水的比重為 g,計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力. 解: 桶的一個(gè)端面是圓片, 與水接觸的是下半圓. 取坐標(biāo)系如圖. 在水深x處于圓片上取一窄條, 其寬為dx, 得壓力元素為.所求壓力為.三、引力 從物理學(xué)知道, 質(zhì)量分別為m 1、m 2, 相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為,其中G為引力系數(shù), 引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向. 如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力, 那么, 由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的, 且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的, 就不能用上述公式來(lái)計(jì)算. 例5. 設(shè)有一長(zhǎng)度為l 、線密度為r的均勻細(xì)直棒, 在其中垂線上距