(平面與平面垂直的判定)

1、平面與平面垂直的判定整體設(shè)計教學(xué)分析在空間平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范空間中平面與平面垂直的定義是通過二面角給出的，二面角是高考中的重點和難點使學(xué)生掌握兩個平面互相垂直的判定，提高學(xué)生空間想象能力，提高等價轉(zhuǎn)化思想滲透的意識，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力；使學(xué)生學(xué)會多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神三維目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力2掌握平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求二面角的方法培養(yǎng)學(xué)生歸納問題的能力.重點難點教學(xué)重點：

2、平面與平面垂直判定教學(xué)難點：平面與平面垂直判定和求二面角課時安排1課時教學(xué)過程復(fù)習(xí)若aQ=右伏=，貝UaII3.aA3=AB,a與3相交.兩平面的位置關(guān)系：(1) 如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行(2)如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交兩平面平行與相交的圖形表示如圖1圖圖導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)為了解決實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角.修筑水壩時，為了使水壩堅固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究兩個平面所成的角思路2.(直接導(dǎo)入)前邊舉過門和墻所在平面的關(guān)系，隨著門的開啟，其所

3、在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個平面所成角問題推進(jìn)新課新知探究提出問題 二面角的有關(guān)概念、畫法及表示方法二面角的平面角的概念 兩個平面垂直的定義用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在哪里？討論結(jié)果：二面角的有關(guān)概念二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學(xué)生共同動手）直立式：平臥式：圖2二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為aB的二面角，記作二面角a-AB-有時為了方便也可在aB內(nèi)（棱以外的

4、半平面部分）分別取點P、Q,將這個二面角記作二面角P-AB-Q.如果棱為I，則這個二面角記作二面角的平面角的概念.如圖4,在二面角aI購棱上任取點0,以0為垂足，在半平面a和B內(nèi)分別作垂直于棱的射線0A和0B,則射線0A和0B組成/A0B.再取棱上另一點0,在a和B內(nèi)分別作I的垂線O/和OB則它們組成角/AOB因為0A/OA,OBOB所以/A0B及/AO的兩邊分別平行且方向相同,即/A0B=/AOB.從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關(guān)由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面

5、角的平面角圖中的/A0B,ZA0都是二面角aI的平面角.直二面角的定義二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角教室的墻面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的兩個平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角兩個平面互相垂直的定義可表述為：如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直直二面角的畫法：如圖5.圖5兩個平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個

6、平面互相垂直兩個平面垂直的判疋疋理符號表述為：AB丄V.-a丄3.ABu町兩個平面垂直的判疋疋理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB丄3,ABA3=B,ABUa.求證：a丄3.分析：要證a丄3需證a和3構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角證明：設(shè)aA3=CD則由ABUa知AB、CD共面./AB丄3,CDU3AB丄CD，垂足為點B.在平面3內(nèi)過點B作直線BE丄CD,則/ABE是二面角aCD3的平面角又AB丄BE，即二面角aCD3是直二面角，Ia丄3.應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線，即要證

7、面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直應(yīng)用示例例1如圖7,0O在平面a內(nèi)，AB是OO的直徑，PAXa,C為圓周上不同于A、B的任意-一占八、-圖7求證：平面PAC丄平面PBC.證明：設(shè)OO所在平面為a由已知條件，PAa,Bba，PA丄BC./C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是OO的直徑，BC丄AC.又PA與AC是厶PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，BC丄平面PAC./BC平面PBC,平面PAC丄平面PBC.變式訓(xùn)練如圖8,把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC,(1)(2)(1)(1)(2)(1)求證：平面求二面角CBDA的余弦值.證明：由題設(shè)，知AD=CD=BD,作DO丄平面ABC

8、,O為垂足，則OA=OB=OC.O是厶ABC的外心，即AB的中點.0AB，即0平面ABD.0D平面ABD.平面ABD丄平面ABC.(2) 解:取BD的中點E,連接CE、OE、OC,/BCD為正三角形，CE丄BD.又厶BOD為等腰直角三角形，OE丄BD./OEC為二面角CBDA的平面角.同(1)可證OC丄平面ABD.0C丄OE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=-a,OE=-a,2cos/OEC=OECE點評：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線例2如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60堤面上有一條直道CD,它與堤角的水平線AB的夾角為30沿這條直道從堤腳向上行走到1

9、0m時人升高了多少？(精確至U0.1m)解：取CD上一點E,設(shè)CE=10m,過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG,垂足為G,則線段EG的長就是所求的高度在河堤斜面內(nèi)，作EF丄AB，垂足為F，并連接FG,則FG丄AB,即/EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角，1屈W3/EFG=60，由此，得EG=EFsin60CEsin30n60=10x匯=4.3(m).222答：沿直道行走到10m時人升高約4.3m.變式訓(xùn)練已知二面角aAB3等于45CDUa,DAB,/CDB=45.求CD與平面B所成的角.解：如圖10,作CO丄B交B于點O,連接DO,則/CDO為DC與B所成的角圖10過點O作

10、OE丄AB于E,連接CE,貝UCE丄AB.CEO為二面角aABB的平面角，即/CEO=45.J2OC=OE,OC=OE,設(shè)CD=a,則CE=a,/CO丄OE,21 CO1CO=aCO丄DO,asin/CDO=.2 CD2/CDO=30,即DC與B成30角.點評：二面角是本節(jié)的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面a內(nèi)找一點C,作另一個半平面B的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則/CEO為二面角a-AB-B的平面角這一過程要求學(xué)生熟記知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)拓展提升如圖16,在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面AB

11、CD是邊長為2的菱形，/BAD=60,N是PB中點，過A、D、N三點的平面交PC于M,E為AD的中點圖16(1) 求證：EN/平面PCD;(2) 求證：平面PBC丄平面ADMN;(3) 求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值(1)證明：/AD/BC,BC面PBC,AD二面PBC, AD/面PBC又面ADNT面PBC=MN,AD/MN.MN/BC.A點M為PC的中點MN盤丄BC2又E為AD的中點，.四邊形DENM為平行四邊形 EN/DM.EN/面PDC.(2)證明：連接PE、BE,四邊形ABCD為邊長為2的菱形，且/BAD=60BE丄AD.又TPE丄AD,AD丄面PBE.AD丄PB.又PA=AB且N為PB的中點,AN丄PB.PB丄面ADMN.平面PBC丄平面ADMN.(3) 解：作EFAB，連接PF,tPE丄平面ABCD,AB丄PF./PFE就是平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角又在RtAEB中，BE=73,AE=1,AB=2,EF2又PE=.3,二tan/PFE=奧=3=2,EF732-即平面PAB與平面ABCD所成的二面角的正切值為2.課堂小結(jié)知識總結(jié)：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面