數(shù)值求積公式及代數(shù)精度

1、數(shù)值求積公式及代數(shù)精度數(shù)值求積公式及代數(shù)精度數(shù)值求導(dǎo)方法與截?cái)嗾`差數(shù)值求導(dǎo)方法與截?cái)嗾`差一階常微分方程數(shù)值法一階常微分方程數(shù)值法局部截?cái)嗾`差與精度局部截?cái)嗾`差與精度數(shù)值分析習(xí)題課 IV插值型求積公式插值型求積公式: njjjxfxlxf0)()()(令令), 2 , 1 , 0(,)(njdxxlAbajj njjjbaxfAdxxf0)()(求積余項(xiàng)求積余項(xiàng) bannbandxxnfdxxLxffR)()!1()()()(1)1( 拉格朗日插值拉格朗日插值等距結(jié)點(diǎn)插值型求積公式稱為等距結(jié)點(diǎn)插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式公式,偶數(shù)階偶數(shù)階Newton-Cotes公式至少有公式至

2、少有(n+1)階代數(shù)精度階代數(shù)精度2/181.梯形公式梯形公式)(12)()()(2)(3 fabbfafabdxxfba 2. Simpson公式公式)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba )(2)()(2)(11 njbajhafbfafhdxxf復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形求積公式 令令h=(b-a)/n),(, )()(bafnabfR 2312誤差誤差3/18 高斯型數(shù)值求積公式高斯型數(shù)值求積公式 )()()(313111ffdxxf)()()(2322322ababfababfabdxxfba22abtabtx)(t-1, 1思考思考: :三點(diǎn)求積公式三點(diǎn)求積公式 njj

3、jbaxfAdxxf0)()(4/18Gauss點(diǎn)點(diǎn) 如果求積結(jié)點(diǎn)如果求積結(jié)點(diǎn)x0, x1,xn,使插值型求積公使插值型求積公式式代數(shù)精度為代數(shù)精度為2n+1,則稱該求積公式為則稱該求積公式為Gauss型求積公型求積公式式. 稱這些求積結(jié)點(diǎn)為稱這些求積結(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)點(diǎn). 定理定理7.2 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式wn+1(x)=(x x0) (x x1)(x xn)與任意的不超過與任意的不超過n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式P(x) 正交正交,則則 wn+1(x)的所的所有零點(diǎn)有零點(diǎn)x0, x1 , xn 是是Gauss點(diǎn)點(diǎn) nkkkxfAdxxf011)()(正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式:1.勒讓德多項(xiàng)式勒讓德

4、多項(xiàng)式: p0=1, p1=x, p2 =0.5(3 x2 1 )2.切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式: T0=1, T1=x, T2=2x2 1 ,5/18)()()()(hOhafhafaf一階向前差商一階向前差商)()()()(hOhhafafaf一階向后差商一階向后差商)()()()()(222hOhhafafhafaf 二階中心差商二階中心差商)()()()(22hOhhafhafaf一階中心差商一階中心差商6/18外推算法外推算法)()()(hxfhxfhhG214221hhxfhG )()(142411mmmmmhGhGhG)()()()()()()(12mmhOhGxf 16/4/

5、)()2/(4221hhxfhG 3)()2/(4hGhG 4/3)(42hxf 思考思考：一階中心差商和二階中心差商的外推公式？：一階中心差商和二階中心差商的外推公式？7/18 000)(),(yxyxxyxfy1. Euler方法方法 ), 2 , 1 , 0( , ),(),(1100nyxhfyyhxxxyynnnnnn常微分方程初值問題常微分方程初值問題),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy2. 梯形公式梯形公式: 8/18),(nnnnyxhfyy1),(),(1112nnnnnnyxfyxfhyy預(yù)測預(yù)測- -校正公式校正公式局部截?cái)嗾`差概念局部截?cái)嗾`差概念設(shè)設(shè) y

6、n= y(xn), 稱稱Rn+1=y(xn+1) - yn+1為局部截?cái)嗾`差為局部截?cái)嗾`差常表示為常表示為: O(hp+1)， p 稱為單步法的精度階數(shù)稱為單步法的精度階數(shù)又稱為修正的又稱為修正的Euler公式公式 yn+1= yn+ 0.5h k1+ k2 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1)9/18二階二階Range-Kutta公式一般形式公式一般形式y(tǒng)n+1= yn+ hc1k1+ c2k2k1=f (xn, yn)k2=f(xn+2h, yn+21hk1)( n=0,1, )yn+1= yn+ hk1+2k2+2k3+k4/6k1=f(xn,yn), k2=f

7、(xn+0.5h, yn+0.5hk1)k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)四階龍格四階龍格-庫塔公式庫塔公式(稱為經(jīng)典公式稱為經(jīng)典公式)局部截?cái)嗾`差為局部截?cái)嗾`差為 O(h5)( n=0,1, )10/18 000)(),(yxyxxyxfdxyd初值問題初值問題Euler公式公式 : ),(nnnyxfhyy1),(),(,nmnmnmnmnmnnnyyxhfyyyyxhfyy1111111即即.21150kkhyynn),(),(121khyhxfkyxfknnnn二階二階Range-Kutta公式公式11/18高階常微分方程初值問題高

8、階常微分方程初值問題 0000yxyyxyyyxfy)(,)(),(令令 y1=y, y2=y),(21221yyxfyyy一階常微分一階常微分方程組方程組初值條件初值條件:002001yxyyxy)(,)( 02001000)3()(,)(,)(),(yxyyxyyxyyyyxfy令令 y1=y, y2=y y3=y” y1=y2 y2=y3 y3=f(x, y1, y2, y2)12/18Ex1.推導(dǎo)矩形求積公式推導(dǎo)矩形求積公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 2)(2)()()()(abnfbfabdxxfba 3)(24)()2()()(abnfbafabdxxfb

9、a 令令 uadxxfuF)()(F(u)= F(a) + (u-a)F(a) +0.5(u-a)2F ”( )()(),()(, 0)( fFafaFaF 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 思考思考:13/18Ex2.利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分 10sindxxxI使其截?cái)嗾`差不超過使其截?cái)嗾`差不超過 0.510-3,應(yīng)算多少次函數(shù)值？應(yīng)算多少次函數(shù)值？ 提示提示： 10)cos(sin)(dtxtxxxf思考思考: : 給定積分給定積分當(dāng)要求誤差小于當(dāng)要求誤差小于10-3時用復(fù)合梯形公式和時用復(fù)合梯形公式和Simpson公公式計(jì)算時式計(jì)算時, 需要計(jì)

10、算多少次函數(shù)值？需要計(jì)算多少次函數(shù)值？ dxxex 31sin14/18Ex3. 定積分定積分 的計(jì)算問題可化為初值問題的計(jì)算問題可化為初值問題 y= f (t) , y(a)=0試證明用試證明用Euler公式計(jì)算結(jié)果為公式計(jì)算結(jié)果為其中其中, h = (b a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2, N)badxxf)(10Nnnhtfby)()(Ex4. 試證明試證明4階階Range-Kutta公式解公式解a, b內(nèi)初值問題內(nèi)初值問題 y= f (x) , y(a)=0結(jié)果有結(jié)果有: 其中其中, h = (b a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2

11、, N) 1012/1)()(4)(6)(Nnnnnxfxfxfhby15/18Ex5.將線性常系數(shù)非齊次高階常微分方程初值問題將線性常系數(shù)非齊次高階常微分方程初值問題: y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + an y = f( x, y, , y(n-1) y(x0)=y00, y(x0)=y01, y”(x0)=y02, y(n-1)(x0)=y0,n-1轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程組問題轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程組問題,并成出矩陣形式并成出矩陣形式解解: : 令令 y1(x)=y(x), y2(x)=y(x), y3(x)=y”(x), yn(x)=y(n-1)(x), ),()(1113221nnnnyyxfyayayyyyy 16/18Ex6. 初值問題初值問題有解有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn為歐為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明拉方法得到的數(shù)值解，試證明y(xn) yn = 0.5 a h xn 0)0(ybaxy若取若取 xn = nh，yn為用梯形公式計(jì)算所得的數(shù)值解，為用梯形公式計(jì)算所得的數(shù)值解，記記y(xn)為初值問題的在為初值問題的在x=xn處的解析解。試證明處的解析解。試證明: y(xn) = yn Ex7. 初值問題初值問題 0)0(ybaxy17/1