易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì) 報(bào)告人：劉璐 201231208 摘要 易拉罐十分流行，對(duì)易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)有重要的經(jīng)濟(jì)意義與實(shí)際意義。 對(duì)問題一，我們通過實(shí)際測(cè)量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。 對(duì)問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs 由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs 用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3：1。 對(duì)問題三，在易拉罐

2、基本尺寸，高與直徑之比2：1的條件下，將上面為正圓臺(tái)的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺(tái)的用料優(yōu)化設(shè)計(jì)。 圓臺(tái)面積用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時(shí)，s=5.07最小。結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2：1，上下底之比=1：2，與實(shí)際比較分析了各種原因。 關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計(jì) 22222229( )()()()vs rrRrRrrrRR 一、問題的提出 每年我國(guó)易拉罐的使用量是很大的，（近年我國(guó)每年用易拉罐億只），如果每個(gè)易拉罐在形狀和尺寸作優(yōu)化設(shè)計(jì)，節(jié)約一點(diǎn)用料，則總的節(jié)約就很大了。為此提出下述問題：1：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可

3、口可樂飲料罐，測(cè)量驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明。2：設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。3設(shè)易拉罐的上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。二、基本假設(shè)1本文研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)，不考慮具體的用料（假設(shè)為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。2易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺(tái)與正圓柱體的結(jié)合”等等。3易拉罐的基本構(gòu)造為“兩片罐”。4實(shí)際測(cè)量允許有一定的誤差。

4、(對(duì)不同問題的研究再作補(bǔ)充假設(shè))。5. 不考慮壓強(qiáng)三模型的假設(shè)與求解問題一 ： 我們實(shí)際測(cè)量355ml易拉罐的各種數(shù)據(jù)如下表： 常見易拉罐尺寸（mm） 問題二 1.補(bǔ)充假設(shè)，在基本假設(shè)的基礎(chǔ)上我們補(bǔ)充下述假設(shè)：在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個(gè)正圓柱體；假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍；體積一定的柱體中，正圓柱體的表面積最小。 2. 符號(hào)說(shuō)明： h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半徑；d：易拉罐金屬板的厚度；V：易拉罐的體積；D：易拉罐上下底直徑。3問題分析與模型在本問題中，易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)著眼于每個(gè)易拉罐用料最少。因此需要考慮易拉罐的形狀、尺寸和厚度，已假設(shè)易拉罐頂

5、部厚度是側(cè)面厚度的3倍。 因此一個(gè)易拉罐所需材料為：側(cè)面的材料+底面的材料+頂部的材料 即 假設(shè)易拉罐的體積V一定 則所需材料為22232(2 )srhdr dr drd hr2vr h2( )2(2 )(0,)vs rrdrrr 模型求解，用微積分方法 令 ，解得 。 討論當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ； 因此 是 的極小值，而 沒有其它極值點(diǎn)， 故 是 的最小值點(diǎn)。 2( )2(4 )vs rdrr( ) 0s r 34vr34vr( )0s r 34vr( )0s r 34v(0,)r34vr ( )s r( )s r 此時(shí)，易拉罐的直徑 易拉罐的高 4.結(jié)果分析 上述模型及其求解得到的結(jié)論是

6、：在正圓柱體易拉罐體積一定時(shí)，當(dāng)高與直徑之比為2：1時(shí)，易拉罐的用料最省。 即為考慮用料最少，正圓柱體易拉罐的的高與直徑之比為2：1是最優(yōu)設(shè)計(jì)。 此結(jié)果正好符合實(shí)際大多數(shù)易拉罐的形狀和尺寸。如我們所測(cè)的355毫升的可口可樂易拉罐高104，直徑65，（比例2：1.06），其它355毫升的易拉罐如青島啤酒、百威啤酒、統(tǒng)一冰紅茶、統(tǒng)一鮮橙多等其比例都如此。又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直徑54mm（比例為2：1.02）。3224vDr23322(4 )4424vvvhrDrv問題二再解 上述問題二的解中，是基于一個(gè)重要假設(shè)：“易拉罐頂蓋厚度是其他部分厚度的3倍”。這是由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到，并認(rèn)

7、為是易拉罐開口原理（即開口邊緣切口，便于拉開），要求頂蓋有一定的厚度，現(xiàn)去除此假設(shè)，做一般地研究。 1.補(bǔ)充假設(shè)：假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體；假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同（如圖2）。2.符號(hào)說(shuō)明： r：易拉罐的半徑； h：易拉罐的高； v：易拉罐內(nèi)體積（容積）； sv：易拉罐所用材料的體積； b：易拉罐除頂蓋外的厚度； ：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度 。3.問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設(shè)想一個(gè)易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積（見圖2）。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料b 將上式化簡(jiǎn)，有 作簡(jiǎn)化，因?yàn)?，則 很小，所以可將帶

8、 的項(xiàng)忽略。 有 記 （v是已知的，即罐容積一定）。 得數(shù)學(xué)模型 2222sv=( () - r )(h+(1+ )b)+b rrbb r 2223( , )2(1)2(1)(1)sv r hrhbr brbh bb br23,bb23,bb2( , )( , )2(1)sv r hs r hrhbrb2( ,)g r hr hvmin ( , )s r h2( , )0.00g r hr hvstrh 4.模型求解 由約束條件 ，得 ，代入目標(biāo)函數(shù) 令 得 又因?yàn)?所以 為最小值點(diǎn)。 又由于極值點(diǎn)只有此一個(gè)，因此也是全局極小。2( , )0grhrh v 2vhr22( , ( )(1)vs

9、 r h rbrr322(1)0bsrvr 3242 (1)0(0)vsbrr 3(1)vr 3(1)vr 又由于 則由對(duì)問題二的前一解的結(jié)論， 得 ， 結(jié)論 ： 。 5.結(jié)果分析 易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的3倍（ ）與我們對(duì)355ml可口可樂等易拉罐的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。 問題三 1.補(bǔ)充假設(shè)，在基本假設(shè)的基礎(chǔ)上我們補(bǔ)充下述假設(shè)： 在本問題中假設(shè)易拉罐如圖3所示，即上面是正圓臺(tái)，下面是正圓柱體。2332(1)()(1)(1)(1)vvvhrrv 4hr4133 2.符號(hào)說(shuō)明 R：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺(tái)下底半徑）；r：易拉罐正圓臺(tái)上底半徑；h1：易拉罐正圓柱體高；V

10、1：易拉罐正圓柱體容積；h ：易拉罐正圓臺(tái)高；V：易拉罐正圓臺(tái)容積。 3.問題分析與模型 因?yàn)樯鲜鼋鈫栴}二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡(jiǎn)化問題為研究正圓臺(tái)部分的優(yōu)化設(shè)計(jì)。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是測(cè)算出V=35ml.于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺(tái)體積V一定，底半徑R一定時(shí)，其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺(tái)的表面積最小，如圖4： 求正圓臺(tái)的面積得模型

11、： 正圓臺(tái)面積=頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積 用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm）， 得： 當(dāng)r=1.467cm,h=1.93cm時(shí)， 正圓臺(tái)表面積最小值s=45.07（ ）2222222222222()()1()33()9()()()SrrRhRrVh rrRRVhrrRRvrrRRrrrRR即代 入 有S=2c m結(jié)論：常見的正圓臺(tái)與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是：總高度與底直徑之比為2：1， 正圓臺(tái)的高與上底直徑之比約為2：3（即h：2r2：3），相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為 。4.結(jié)果分析上述結(jié)果是不考慮其他因素，僅就易拉罐形狀

12、和尺寸變化，考慮其基本用料最省的數(shù)學(xué)結(jié)論，對(duì)實(shí)際易拉罐的設(shè)計(jì)有一定參考意義。但上述結(jié)果與現(xiàn)今實(shí)際的易拉罐尺寸有出入，以可口可樂等355ml易拉罐為例，其r=2.9cm h=1.2cm。我們分析這種差異的原因是易拉罐的實(shí)際設(shè)計(jì)必須要考慮形狀和尺寸以外的其他各種因素。加工工藝：可口可樂等鋁制易拉罐是“兩片”構(gòu)成（即正圓柱體側(cè)面及底為一部2 :21:2rR分，上密封蓋為一部分，分別簡(jiǎn)稱為“罐體”和“封蓋”）。將鋁材罐體縮口形成上部圓臺(tái)部分，為了使“封口蓋”能扣緊“罐體”。圓臺(tái)側(cè)面的坡度（斜率）有一定要求（如斜率 0.4），即為了封口蓋的工藝要求，易拉罐上部側(cè)面的（坡度）不能過小，（按數(shù)學(xué)優(yōu)化計(jì)算則）。同樣是加工工藝的要求，若r較小，較小，即圓臺(tái)側(cè)面坡度小，則從圓罐上口“縮口”成圓臺(tái)形時(shí)，此加工也增加難度（如容易起皺）。外形美觀：按上述數(shù)學(xué)