數(shù)字信號處理

1、數(shù)字信號處理主講人：潘偉西華師范大學(xué)計算機學(xué)院通信專業(yè)系列課程時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第一章 時域離散信號的表示 時域離散信號的運算 典型的時域離散信號（序列） 序列的周期性 線性時（移）不變系統(tǒng) 單位抽樣響應(yīng)和卷積和 線性常系數(shù)差分方程 模擬信號的數(shù)字化處理本章目標(biāo)本章目標(biāo)v x(n)代表第n個序列值，在數(shù)值上等于信號的采樣值v x(n)只在n為整數(shù)時才有意義v x(n)可以用公式表示，也可以用圖形表示( )(),(1.2.1)at nTax tx nTn 序列的運算序列的運算1）和同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相加x(n) = x1(n) + x2(n)2）積同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相乘x

2、(n) = x1(n) . x2(n)序列的運算序列的運算當(dāng)m0時x(n-m)x(n-m)：延時/右移m位x(n+m)x(n+m)：超前/左移m位序列的運算序列的運算翻褶以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶序列的運算序列的運算x x(-(-n n) )尺度變換x(mn)q 抽取x(n) = xa(t) |t=nTx(mn) = xa(t) |t=mnTq 插值x( )mn序列的運算序列的運算設(shè)兩序列x(n)、 h(n)，則其卷積和定義為n ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()m

3、x m h nm4）相加：)()()()()(nhnxmnhmxnynm序列的運算序列的運算序列的運算序列的運算1) x(n) 1) x(n) * * h(n) = h(n) h(n) = h(n) * * x(n) x(n)2) x(n) 2) x(n) * * h(n) = y(n) h(n) = y(n)x(n-kx(n-k1 1) ) * * h(n-k h(n-k2 2) = y(n-k) = y(n-k1 1-k-k2 2) )性質(zhì)常用的典型序列常用的典型序列1. 單位采樣序列(n) 0001)(nnn比較：單位采樣序列和單位沖激信號101231n (n) (t)t0( a )(

4、b )(a)單位采樣序列； (b)單位沖激信號 常用的典型序列常用的典型序列0001)(nnnu2. 單位階躍序列u(n) 5 4 3 2 1012345nu(n)16與(n)的關(guān)系) 1()()(nununnkknu)()(常用的典型序列常用的典型序列3. 矩形序列RN(n)nNnnRN其他0101)(nRN(n)110123NN1常用的典型序列常用的典型序列與(n)/ u(n)的關(guān)系)()()(NnununRN常用的典型序列常用的典型序列)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN4. 實指數(shù)序列x(n)=anu(n)a 為實數(shù)|a|1 x(n)發(fā)散012345 1nanu(n)|

5、a| 1anu(n)|a| 1012345 1nanu(n)0 1n12 34 5a |a|常用的典型序列常用的典型序列5. 正弦序列x(n)=A sin(n0+) A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率sin(n0)11no常用的典型序列常用的典型序列6. 復(fù)指數(shù)序列njAenx0)(0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。njAnAnjnAnx0000sincos)sin(cos)(用實部、虛部表示:用極坐標(biāo)表示： njnxjAeenxnx0)(arg| )(|)(因此有： nnxAnx0)(arg| )(|常用的典型序列常用的典型序列7）任意序列x(n)可以表示成單位取樣序列的移位加權(quán)和，也可表示成

6、與單位取樣序列的卷積和。mmnmxnx)()()(常用的典型序列常用的典型序列序列的周期性序列的周期性周期性序列：x(n)=x(n+N), -n (周期為N)( )sin(8)4x nn( )sin()4x nn例如：一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性x(n)=Asin(0n+)x(n+N) =Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+)要使 x(n+N)=x(n)則 N=(2/0)kk與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)(1)當(dāng)2/ 0為整數(shù)(2) 2/ 0是一個有理數(shù)(3) 2/ 0是無理數(shù)一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性(1) 當(dāng)2/ 0為整數(shù)時(2) 2

7、/ 0是一個有理數(shù)時設(shè)2/ 0 =P/Q，式中P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)取k=Q, N=P，則x(n)是以P為周期的周期序列。(3)2/ 0是無理數(shù)此時的正弦序列不是周期序列一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性k=1，正弦序列是以2/ 0為周期的周期序列。時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。 記為：記為：T.T.離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T T x(n)x(n)y(n)y(n)y(n)=Tx(n)y(n)=Tx(n)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)y y1 1(n)=T(n)=Tx x1 1(n)(n)，y y2 2(n)=

8、T(n)=Tx x2 2(n)(n)可加性：T T x x1 1(n)+x2(n)(n)+x2(n)= y= y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)(n) 齊次性：T Ta xa x1 1(n)(n)=a y=a y1 1(n) (n) 若系統(tǒng)T.滿足疊加原理y(n)=Ty(n)=Taxax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)(n)=ay=ay1 1(n)+by(n)+by2 2(n)(n)或同時滿足稱此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例：例： 討論討論y(n)=ax(n)+b(ay(n)=ax(n)+b(a和和b b是常數(shù)是常數(shù)) )，所代表的系，所代表的系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)。統(tǒng)是否線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)線

9、性系統(tǒng)解：解： y y1 1(n)=T(n)=Tx x1 1(n)(n)=ax=ax1 1(n)+b(n)+by y2 2(n)=T(n)=Tx x2 2(n)(n)=ax=ax2 2(n)+b(n)+by(n)=Ty(n)=Tx x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)(n) =ax=ax1 1(n)+ax(n)+ax2 2(n)+b(n)+by(n)yy(n)y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)(n)因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。2 23 31 1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)x(n)x(n)y y0 0(n)(n)y(n)y(n)v 增量線性系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)v 增量線性系統(tǒng)的變化部分是線性系統(tǒng)y(n

10、)=ax(n)+by(n)=ax(n)+b線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng) 若系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，則稱為時不變系統(tǒng)（或移不變系統(tǒng)）。若y(n)=Ty(n)=Tx(n)x(n) 同時具有線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性時不變系統(tǒng)(LTI)(LTI)LTILTI：Linear Time InvariantLinear Time InvariantLSILSI：Linear Shift InvariantLinear Shift Invariant ?則y(n-ny(n-n0 0) = T) = Tx(n-nx(n-n0 0) )例：討論y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是

11、時不變系統(tǒng)，上式中a和b是常數(shù)。時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng) 解 y(n) = ax(n)+by(n) = ax(n)+by(n-ny(n-n0 0) = ax(n- n) = ax(n- n0 0)+b)+by(n- ny(n- n0 0)=T)=Tx(n- nx(n- n0 0) )因此，該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。T Tx(n- nx(n- n0 0) )= ax(n- n= ax(n- n0 0)+b)+b1 12 23 3例：檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng) 解 y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)y(n-ny(n-n0 0)=(n- n)=(n- n0

12、 0)x(n- n)x(n- n0 0) )T Tx(n- nx(n- n0 0) )=nx(n- n=nx(n- n0 0) )y(n- ny(n- n0 0)T)Tx(n- nx(n- n0 0) )因此，該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。1 12 23 3T T h(n)h(n) (n)(n)LTILTI系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系定義：h(n)是指輸入為單位抽樣序列(n)時的系統(tǒng)輸出。h(n)=Th(n)=T (n)(n)n0n0 x(n)=x(n)= (n)(n)y(n)=0y(n)=0T T h(n)h(n) (n)(n)討討 論論任意時刻的輸入：系統(tǒng)輸出：對LTI系統(tǒng)(

13、)( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )( )mmmy nTx mnmy nx mnmy nTx m h nmx nh nT T ( (n-mn-m)線性性線性性時不變性時不變性x(n)( )( ) ()mx nx mnmv 一個LTI系統(tǒng)可以用單位抽樣響應(yīng)h(n)來表征v 任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積和。LTIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n討討 論論LTILTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)y(n) = x(n) y(n) = x(n) * * h(n) = h(n) h(n) = h(n) * * x(n) x(n)2)

14、結(jié)合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)x(n)x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)= (x(n)= (x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)=(x(n)=(x(n)* *h h2 2(n)(n)* *h h1 1(n)(n)=x(n)=x(n)* *(h(h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)h(n)= hh(n)= h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)，y(n)= x(n)y(n)= x(n)* *h(n)h(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)h(n)x(n

15、)y(n)x(n)h(n)y(n)3) 分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)LTILTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)1）因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)：若系統(tǒng)n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。因果序列因果序列：滿足條件x(n)=0 n0的序列x(n)為因果序列。v LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件充要條件：h(n)=0 n0h(n)=0 n0v 非因果數(shù)字系統(tǒng)利用存儲器，可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。WhyWhy( )( )* ( )y nx nh n解：+0= h(0)x

16、(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n-2) + + h(-1)x(n+1) + h(-2)x(n+2) + ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n( ) ()( )( )kh k x nkh nx n( ) ()( )( )kh k x nkh nx n+-10h(n) * x(n)該系統(tǒng)為因果系統(tǒng) h(-1)0,h(-2) 0，2 2）穩(wěn)定系統(tǒng)）穩(wěn)定系統(tǒng)( )nh n 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。若若|x(n)| M |x(n)| M 則則|y(n) |y(n) | P | P LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件充要條件: 單位取樣響應(yīng)絕對可和。2 2

17、）穩(wěn)定系統(tǒng)）穩(wěn)定系統(tǒng)證明證明 先證明充分性。( )( ) ()( )( )()kky nh k x nky ny kx nk因為輸入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n， B為任意常數(shù)( )( )kyn Bhk 如果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)滿足(1.3.14)式，那么輸出y(n)一定也是有界的，即 |y(n)| 下面用反證法證明其必要性。如果h(n)不滿足(1.3.14)式，即 ，那么總可以找到一個或若干個有界的輸入引起無界的輸出，例如：( )nh n (), ( )0()0,( )0hnh nhnh nx(n)= ( )( ) ()( )(0)( ) ()( )( )( )kkkky

18、 nh k x nkh kyh k x nkh kh kh k 令n=0 2 2）穩(wěn)定系統(tǒng)）穩(wěn)定系統(tǒng)例：設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。只有當(dāng)|a|1時 1( )1nh na|a|1：系統(tǒng)穩(wěn)定；|a|1：系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此解： 由于n0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2 2）穩(wěn)定系統(tǒng)）穩(wěn)定系統(tǒng)1001( )limlimnNnnNNnnnah naaa1N N例： 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并檢驗系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 解 h(n)=u(n) y(n)=x(n)*h(n)=

19、因為當(dāng)n-k0 x(n)=(n),y(n)=0,n0，求輸出序列y(n)y(n)。線性常系數(shù)差分方程的求解 解 由 y(n)=ay(n-1)+x(n)，得 將n-1用n代替，得到 y(n)=-ay(n)=-an nu(-n-1)u(-n-1) y(n-1)=a-1(y(n)-(n) y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 y(n-1)=-a n-1 例：設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始條件y(-1)=1，試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。解解 下面通過設(shè)輸入信號下

20、面通過設(shè)輸入信號x1(n)=(n)x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)x2(n)=(n-1)和和x3(n)=(n)+(n-1)x3(n)=(n)+(n-1)來檢驗系統(tǒng)是否是線性非時變來檢驗系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。系統(tǒng)。 線性常系數(shù)差分方程的求解(1) x1(n)=(n)(1) x1(n)=(n)，y1(-1)=1y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+(n) y1(n)=ay1(n-1)+(n) 輸出如下式：輸出如下式： y1(n)=(1+a)anu(n)y1(n)=(1+a)anu(n)線性常系數(shù)差分方程的求解線性常系數(shù)差分方程的求解線性常系數(shù)差分方程的求解 一個差分方程不能

21、唯一確定一個系統(tǒng) 不一定是因果的 不一定是穩(wěn)定的 常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性時不變的。 對于因果系統(tǒng)，如果x(n)=0(nn0)時，y(n)=0(nn0),系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。線性常系數(shù)差分方程的求解線性常系數(shù)差分方程的求解模擬信號數(shù)字處理方法模擬信號數(shù)字處理方法預(yù)濾A/DC數(shù)字信號處理D/AC平滑濾波ya(t)xa(t)模擬信號數(shù)字處理框圖 對模擬信號進行采樣對模擬信號進行采樣討論：討論：采樣前后信號頻譜的變化什么條件下，可以從采樣信號不失真地恢復(fù)出原信號 理想抽樣輸出求理想抽樣的頻譜理想抽樣 T對模擬信號進行采樣對模擬信號進行采樣沖激函數(shù)0t而對模擬信號進行采樣對模擬信號進

22、行采樣對模擬信號進行采樣對模擬信號進行采樣結(jié)論結(jié)論抽樣信號的頻譜是模擬信號頻譜以抽樣頻率為周期進行周期延拓而成抽樣信號的頻譜幅度是原信號頻譜幅度的1/T倍對模擬信號進行采樣對模擬信號進行采樣0 c cXa(j )P (j ) s s0Xa(j )0Xa(j ) c s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）2s0 s s s2s2s對模擬信號進行采樣對模擬信號進行采樣則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊hs/2h 為折疊頻率若信號的最高頻率要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍信號譜的最高頻率s s 2 2h h ，即f fs s 2f 2fh hA/DC原理框圖 例：模擬信號xa

23、(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，選采樣頻率fs=200Hz，求數(shù)字信號x(n)。解：將t=nT代入Xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)： 當(dāng)n=0，1，2，3，時，得到序列x(n)如下： x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879如果A/DC按照M=6進行量化編碼，其中第一位為符號位，則數(shù)字信號x(n)為： x(n)= 0.01100,0.11101,1.01100,1.11101用十進制表示，x(n)如下： x(n)=0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625量化誤差，量化效應(yīng)0Xa(j )G(j )xa(t)ya(t)0G(j )/ T/ T0Xa(j )（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）()G j 1,210,2ssT 1()( )()()( )()1( )( ),21( )( ),2aaaaaaacsaacsYjFT Y tXjG jY tF T YjY tx tY tx t 數(shù)數(shù)/ /模轉(zhuǎn)換器模轉(zhuǎn)換器(D/AC)(D/AC)零階保持解碼平滑濾波x(