對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程分析

1、對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程分析    對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程分析3.1影響學(xué)生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的因素在第一章的敘述中，我們可以清楚地認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念從17世紀(jì)開始，曾擴(kuò)展多次，并且越來越抽象。函數(shù)這一概念的發(fā)展流程如下圖1：                             &#

2、160;圖1現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為人們?cè)陬^腦中是以某種命題網(wǎng)絡(luò)的形式表征知識(shí)的，并且這些命題是按層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行存儲(chǔ)。一般來說較為抽象概括的知識(shí)處于高層，而較為具體的內(nèi)容處于低層。從下圖4.1中可以看出：                                 

3、0;                                                  人們頭腦中有關(guān)動(dòng)

4、物的知識(shí)是分層次存儲(chǔ)的，最高層是有關(guān)動(dòng)物及其共同的本質(zhì)特征，次一層是有關(guān)魚與鳥的本質(zhì)屬性，而最下一層是一些具體的動(dòng)物種類的特征。這樣，使得人類對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過程分為兩大類：即由一般到特殊（從上到下）和由特殊到一般（從下到上）的認(rèn)識(shí)過程。21函數(shù)概念的演變過程經(jīng)歷了“由特殊到一般”的弱抽象過程，這種弱抽象結(jié)果使函數(shù)這一概念的包性更強(qiáng)，更抽象，處于命題網(wǎng)絡(luò)的頂層。（如下圖所示） 所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來必然感到困難。例如，初中數(shù)學(xué)教材中的定義，這個(gè)定義是用描述性語言給出的，此后學(xué)生學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單的具體函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，并了解它們的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)公式、圖像、單調(diào)性等。教材編寫者考慮了與初中

5、生的認(rèn)知水平相適應(yīng)。盡管如此，學(xué)生學(xué)起來還是比較困難。主要原因在學(xué)習(xí)變量之前，學(xué)習(xí)大多是接觸常量。這就要求學(xué)生思維上一個(gè)臺(tái)階。由常量向變量的飛躍。首先學(xué)生難于理解變量的涵義，其次，x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值。都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)中的“毎一個(gè)”，“唯一確定”，“對(duì)應(yīng)”等詞都難以理解。學(xué)生還難分清“誰是誰”的函數(shù)。函數(shù)定義本身也存在缺陷 “y既是x的函數(shù)”,同時(shí)y又是x的函數(shù)值 ,它們之間混淆了。又如高中教材中的函數(shù)定義，突出了“對(duì)應(yīng)法則”是函數(shù)的核心，它嚴(yán)格區(qū)分了函數(shù)與函數(shù)值，但什么是“對(duì)應(yīng)法則”定義中沒有明確是一個(gè)缺陷。如 ， 有相同的定義域和值域，它們有不同的運(yùn)算，兩個(gè)對(duì)應(yīng) 與g是否

6、相同呢？此處兩個(gè)函數(shù)中的對(duì)應(yīng)還可理解為同一個(gè)對(duì)應(yīng)的不同表達(dá)形式，視為同一函數(shù)。22又如 ，既可以說是同一個(gè)函數(shù)，又可以說不是同一個(gè)函數(shù)，按其本質(zhì)來說應(yīng)是同一個(gè)函數(shù)。23從集合“笛卡爾積”出發(fā)來定義函數(shù)，得到函數(shù)的現(xiàn)代定義克服了上述缺陷，但不適合在高中引入，與學(xué)生的認(rèn)知水平不符。此外高中教材中的定義是在集合與映射的基礎(chǔ)上定義的，映射本身也是一個(gè)抽象難懂的概念，如果學(xué)生沒有完全掌握，將會(huì)阻礙后續(xù)學(xué)習(xí)。例如在問卷2和3的調(diào)查中關(guān)于判斷是不是一個(gè)函數(shù)一題，學(xué)生中就誤認(rèn)為映射的思想就是函數(shù)的本質(zhì)。而沒有抓住函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的相倚性。函數(shù)是用來描述客觀世界變化的重要數(shù)學(xué)模型。比方說長(zhǎng)方體的體積（v）是

7、由長(zhǎng)、寬、高三者決定的，那就說明它們之間存在著相倚性，但卻很難聯(lián)系到多個(gè)集合與一個(gè)集合之間的映射。雖然映射的思想不是函數(shù)的本質(zhì)，但卻能最深刻地刻畫函數(shù)的本質(zhì)。由此我們知道學(xué)生之所以出現(xiàn)調(diào)查中的情況關(guān)鍵在于沒有領(lǐng)會(huì)映射思想，沒有建立概念內(nèi)部與概念之間的聯(lián)系，而僅僅記住其表現(xiàn)形式或語言表述。此時(shí)他所掌握的概念是孤立的，實(shí)際上并沒有正確理解概念，不能真正解決具體問題。學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生獲得概念的能力隨著年齡的增長(zhǎng)，經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)而發(fā)展，智力也是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素之一。但研究表明，就智力與經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響程度來看，經(jīng)驗(yàn)的作用更大，豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義

8、而不能領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵。24這里的“經(jīng)驗(yàn)”除包括學(xué)校學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)（包括數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以及其它學(xué)科學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)）以外，還有來自日常生活而且日常生活經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。事實(shí)上，學(xué)生掌握的科學(xué)概念許多都是從日常概念發(fā)展而來的。如初中生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念，必須準(zhǔn)確掌握“變量”、“對(duì)應(yīng)”和“運(yùn)動(dòng)”的涵義，（而這幾個(gè)概念都可從日常生活經(jīng)驗(yàn)中掌握）否則便不能真正獲得“函數(shù)”這個(gè)概念。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)越豐富，他們的已有知識(shí)越準(zhǔn)確牢固，已有技能越熟練，掌握新概念就越有利，同時(shí)也可以看出學(xué)生形成概念之所以遇到困難，也與學(xué)生所把過去經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)?shù)剡w移到新情境有關(guān)。25認(rèn)知策略，即學(xué)生面對(duì)新概念學(xué)習(xí)所采取對(duì)策

9、，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等，也能對(duì)獲得概念產(chǎn)生重要影響25。在函數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，基本上是常量數(shù)學(xué)，所學(xué)的數(shù)學(xué)概念屬于形式邏輯的范疇。函數(shù)研究變量，變量的本質(zhì)是辯證法在教學(xué)中的應(yīng)用，即函數(shù)是一個(gè)辯證概念。學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生的思維發(fā)展水平要從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。在這個(gè)過程中，學(xué)生漸漸地脫離對(duì)感性經(jīng)驗(yàn)的依賴，由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維逐步上升為理論型抽象思維。初中生以形式邏輯思維為主，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展?jié)u漸占主流。高中生的辯證思維基本上還處于形成與發(fā)展的早期階段。而函數(shù)概念的學(xué)習(xí)要求學(xué)生思維能夠進(jìn)行靜止與運(yùn)動(dòng),離散與連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化。這給學(xué)生形成了認(rèn)知上的障礙。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)定義對(duì)函數(shù)的三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則）的掌握，和符號(hào)“ ”（對(duì)應(yīng)法則）表示的意義學(xué)生最難理解。因?yàn)榫哂小半[蔽性”，它的具體內(nèi)容很難從符號(hào)上來想象，即使所表示的對(duì)應(yīng)法則是確定的，學(xué)生也缺乏足夠的為符號(hào)建立起具體內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。這樣一方面是學(xué)生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時(shí)期，思維水平基本上停留在形式邏輯思維范疇，只能局部地、靜止地、分割地、抽象地認(rèn)識(shí)所學(xué)事物。另一方面函數(shù)概念是一個(gè)辯證概念，其特征是發(fā)展的、變化的處于