2022年《幾何證明選講》知識點歸納與練習(xí)(內(nèi)含答案)

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除一、相像三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)平行線等分線段定理平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等；推理 1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊；推理 2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰；平分線分線段成比例定理平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例；推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例；相像三角形的判定及性質(zhì)相像三角形

2、的判定：定義： 對應(yīng)角相等， 對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相像三角形；相像三角形對應(yīng)邊的比值叫做相像比（或相像系數(shù)）；由于從定義動身判定兩個三角形是否相像，需考慮6 個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，明顯比較麻煩； 所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相像的簡潔方法：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像；預(yù)備定理： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相像；判定定理 1 ：對于任意兩個三角形，假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，

3、那么這兩個三角形相像；簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像；判定定理 2 ：對于任意兩個三角形，假如一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相像；簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像；判定定理 3 ：對于任意兩個三角形，假如一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相像；簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像；引理： 假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；定理：（ 1）假如兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相像；（2）假如兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比

4、例，那么它們相像；定理：假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相像；相像三角形的性質(zhì)：（1）相像三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相像比；（2）相像三角形周長的比等于相像比；（3）相像三角形面積的比等于相像比的平方；相像三角形外接圓的直徑比、周長比等于相像比，外接圓的面積比等于相像比的平方；直角三角形的射影定理學(xué)習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收

5、集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除射影定理： 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項；二、直線和圓的位置關(guān)系圓周定理圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半；圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)；推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；推論 2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理 1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補；定理 2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角；圓內(nèi)接四邊形判定定理：假如一個四邊形的對

6、角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；推論：假如四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；推論 1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；推論 2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心；切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角；與圓有關(guān)的比例線段相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；割線定理： 從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等；切割線定理： 從圓外一點引圓的

7、切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；數(shù)學(xué)選修4-1 幾何證明選講綜合復(fù)習(xí)題一、挑選題 : 本大題共 12 小題, 每道題 5 分, 共 60 分. 在每道題給出的四個選項中,只有哪一項符合題目要求的.1. 如圖4所示, 圓O的直徑 AB=6, C為圓周上一點 , BC=3過C作圓的切線 l, 過A作l的垂線 AD, 垂足為 D, 就 DAC=A. 15B. 30C. 45D. 60【解析】由弦切角定理得應(yīng)選B.DCAB60 , 又 ADl , 故DAC30 ,第 1 題圖學(xué)

8、習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2. 在 RtABC 中, CD 、CE 分別是斜邊 AB 上的高和中線 , 是該圖中共有 x 個三角形與ABC 相像, 就 xA.0B.1C.2D.3【解析】 2 個:ACD 和CBD , 應(yīng)選 C.3. 一個圓的兩弦相交 , 一條弦被分為 12cm 和 18cm 兩段, 另一弦被分為 3:8 , 就另一弦的長為 A. 11cmB. 3

9、3cmC.66cmD. 99cm【 解 析 】 設(shè) 另 一 弦 被 分 的 兩 段 長 分 別 為 3k,8 k k0 , 由 相 交 弦 定 理 得3k8k4.1 21,8解得 k3 , 故所求弦長為 3k8kABBCAC511k33 cm . 應(yīng)選 B.A如圖, 在ABC 和DBE 中,DBBEDE, 如ABC 與3DDBE 的周長之差為 10cm, 就ABC 的周長為 BCA. 20 cmB. 25 4cmC. 503cmD.25 cmE第 4 題圖【解析】利用相像三角形的相像比等于周長比可得答案D.5. O的 割 線 PAB 交O于22A, B兩 點 ,割 線 P C D 經(jīng) 過 圓

10、心 ,已 知PA6, PO12, AB, 就O 的半徑為 3A.4B. 614C. 614D.8【解析】設(shè)O 半徑為 r , 由割線定理有選 D.6622123r 12r , 解得 r8 . 故6. 如圖, AB 是半圓 O 的直徑 , 點C 在半圓上 , CDAB 于點 D ,且 AD3DBA. 1 3, 設(shè)COD, 就 tan2B. 1 42C. 423D. 3第 6 題圖【解析】設(shè)半徑為r , 就 AD3 r , BD1 r , 由 CD 2ADBD 得 CD3 r , 從而22221, 故 tan, 選 A.3237. 在ABC 中,D , E 分別為AB , AC 上的點 , 且DE

11、 / BC ,ADE 的面積是2cm2 ,梯形 DBCE 的面積為6cm2 , 就 DE: BC 的值為 A. 1:3B. 1: 2C. 1: 3D. 1: 4【解析】ADEABC , 利用面積比等于相像比的平方可得答案B.8. 半徑分別為1 和 2 的兩圓外切 , 作半徑為3 的圓與這兩圓均相切 , 一共可作 個.A.2B.3C.4D.5學(xué)習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站

12、刪除【解析】一共可作 5 個, 其中均外切的 2 個, 均內(nèi)切的 1 個, 一外切一內(nèi)切的2 個,應(yīng)選 D.9. 如圖甲 , 四邊形 ABCD 是等腰梯形 , AB / CD . 由 4 個這樣的等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,就四邊形 ABCD 中A 度數(shù)為 A. 30B. 45C. 60D. 75第 9 題圖【解析】 6A360, 從而A60, 選 A.10. 如圖, 為測量金屬材料的硬度 , 用肯定壓力把一個高強度鋼珠壓向該種材料的表面 , 在材料表面留下一個凹坑, 現(xiàn)測得凹坑直徑為 10mm, 如所用鋼珠的直徑為26 mm, 就凹坑深度為 A.1 mmB.2 mmC.3 mmD.

13、 4 mm【解析】依題意得OA2AM 2OM 2 , 從而 OM12mm,故CM13121mm, 選 A.第 10 題圖11. 如圖, 設(shè) P,Q 為ABC 內(nèi)的兩點 , 且 AP2 AB1 AC , AQ 21AB AC ,5534C就ABP 的面積與ABQ 的面積之比為 QA. 1 5B. 4 5C. 1 4D. 1P3AB【解析】如圖 , 設(shè) AM2 AB , AN51 AC , 就 APAMAN .5第 11 題圖C由平行四邊形法就知NP /AB , 所以ABPANABCAC 1 ,5QNP同理可得ABQ ABC1 故4ABP ABQ4 , 選 B.5AMB12. 如圖, 用與底面成

14、30 角的平面截圓柱得一橢圓截線, 就該橢圓的離心率為 A 12B33C32D 非上述結(jié)論第 12 題圖【解析】用平面截圓柱 , 截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑, 弄清了這一概念 ,考慮橢圓所在平面與底面成30 角, 就離心率 esin 301 . 應(yīng)選 A.2二、填空題 : 本大題共 4 小題, 每道題 4 分, 共 16 分. 把答案填在題中橫線上 .13. 一平面截球面產(chǎn)生的截面外形是 ; 它截圓柱面所產(chǎn)生的截面外形是【解析】圓 ; 圓或橢圓 .014. 如圖, 在 ABC中, ABAC, C 72 , O 過 A、B 兩點且A與 BC相切于點 B, 與 AC交于點 D, 連結(jié) BD

15、, 如 BC51 ,就 AC學(xué)習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -OB第 1題圖DC第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】由已知得BDADBC ,BC 2CDAC ACBC AC ,解得 AC2 .15. 如圖, AB 為O 的直徑 , 弦 AC 、 BD 交于點 P ,如 AB3,CD1 , 就 sinAPD =【解析】連結(jié) AD , 就 sinAPDAD , 又CDPBAP ,AP從而 cosAPD

16、PDCD1 ,PABA3第 15 題圖R30所以 sinAPD1 1 222 .3316. 如圖為一物體的軸截面圖,就圖中 R 的值135180是【解析】由圖可得R230 22180135R2 , 解得 R25 .第 16 題圖三、解答題 : 本大題共 6 小題, 共 74 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.17. 本小題滿分 12 分如圖:EB, EC 是O 的兩條切線 ,B, C 是切點 ,A, D 是O 上兩點 , 假如E46 ,DCF32, 試求A 的度數(shù) .【解析】連結(jié)OB, OC, AC , 依據(jù)弦切角定理 , 可得ABACCAD18. 本小題滿分 12 分1 180

17、2E DCF673299.E第 17 題圖如圖, O 的直徑 AB 的延長線與弦 CD 的延長線相交于點 P ,FBE 為 O上一點 , AEAC , DE 交 AB 于點 F , 且 AB求 PF 的長度 .2BP4 ,AOPCD【解析】連結(jié)OC,OD,OE, 由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系第 18 題圖結(jié)合題中條件 AEAC 可得CDEAOC, 又CDEPPFD,EAOCPC , 從而PFDC, 故PFDPCO , PFPD ,FBPPCPOAO由割線定理知PC PDPA PB12, 故PFPC PD12DC3 .PO419. 本小題滿分 12 分E已知: 如右圖 , 在等腰梯形 A

18、BCD中, AD BC,ADABDC, 過點 D 作 AC的平行線 DE, 交 BA 的延長線于點 E求證： 1 ABC DCB2DE DC AEBD【解析】證明： 1 四邊形 ABCD是等腰梯形， ACDB ABDC，BCCB， ABC BCD2 ABC BCD， ACB DBC， ABC DCB ADBC， DAC ACB， EAD ABCBC第 19 題圖 EDAC， EDADAC EDA DBC， EAD DCB學(xué)習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - -

19、- - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 ADE CBDDE:BDAE:CD，DEDCAE BD.20. 本小題滿分 12 分如圖, ABC中, AB=AC, AD 是中線, P 為 AD 上一點 , CFAB， BP延長線交 AC、CF于 E、F, 求證:PB2 =PE.PF【解析】連結(jié) PC , 易證PCPB,ABPACP CF / ABFABP , 從而FACP又EPC 為CPE 與FPC 的公共角 ,從而CPEFPC , CPPEFPPC PC 2PEPF第 20 題圖解答用圖又 PCPB , PB221. 本小題滿分 12 分PEPF ,

20、 命題得證 .E如圖, A 是以 BC 為直徑的O 上一點 , ADBC 于點 D ,A過點 B 作O 的切線 , 與CA 的延長線相交于點E， G 是 ADF的中點 , 連結(jié) CG 并延長與 BE 相交于點 F ,G延長 AF 與 CB 的延長線相交于點P .(1) 求證: BFEF ；(2) 求證: PA 是O 的切線；PBDOC(3) 如 FGBF , 且O 的半徑長為 32 , 求 BD 和 FG 的長度 .【解析】 1 證明： BC 是O 的直徑， BE 是O 的切線， EBBC 又 ADBC ， AD BE 第 21 題圖E易證 BFC DGC ， FEC GAC ABFCFEFC

21、FBFEFF，DGCGAGCGDGAGG G 是 AD 的中點， DGAG BFEF PBDOC(2) 證明：連結(jié) AO，AB BC 是O 的直徑， 在 RtBAE 中，由（ 1），知 F 是斜邊 BE 的中點，BAC90 AFFBEF FBAFAB 又 OAOB ， ABOBAO BE 是O 的切線， EBO90EBOFBAABOFABBAOFAO線90， PA 是O 的切(3) 解：過點 F 作 FHAD 于點 H BDAD，F(xiàn)HAD ， FH BC 由1 ，知FBABAF ， BFAF 由已知，有 BFFG ， AFFG ，即 AFG 是等腰三角形HG1 FHAD， AHGH DGAG

22、， DG2HG ，即DG2 FH BD，BF AD，F(xiàn)BD90， 四邊形 BDHF 是矩形， BDFH FHFGHG FH BC，易證HF GD，即CDCGDGB DFGC DCG1HG2DGO 的半徑長為 32 ， BC62 BDBDBD1 CDBCBD62BD2學(xué)習(xí)資料精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解得BD221 BDFH22 FGHG1，CGDG2 FGCG 2 CF

23、3FG 在 RtFBC 中， CF3FG ，BFFG ，由勾股定理， 得CF 2BF 2BC 2 3FG 2FG 262 2 解得 FG3 （負(fù)值舍去） FG3 或取 CG 的中點 H ，連結(jié) DH ，就 CG2 HG 易證 AFC DHC ， FGHG，故CGF2G，CF3FG 由GDFB，易知 CDG CBF ，CDCG2FG2CBCF3FG3由 62BD2 ，解得 BD22 又在 RtCFB中，由勾股定理，得6233FG2FG26 22 ， FG3 （舍去負(fù)值）22. 本小題滿分 14 分如圖 1, 點 C 將線段 AB 分成兩 部分, 假如 ACBCABAC, 那么稱點 C 為線段 A

24、B的黃金分割點 . 某討論小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義: 直線 l 將一個面積為 S 的圖形分成兩部分, 這兩部分的面積分別為S1S2S1 , S2 , 假如, 那么稱直線 l 為該圖形的黃金分割線.(1) 討論小組猜想：在SS1 ABC 中，如點 D 為 AB 邊上的黃金分割點 如圖 2,就直線 CD 是 ABC 的黃金分割線你認(rèn)為對嗎.為什么 .(2) 請你說明 : 三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3) 討論小組在進一步探究中發(fā)覺：過點C 任作一條直線交AB 于點 E , 再過點 D 作直線 DF CE , 交 AC 于點 F , 連接 EF 如圖 3, 就直線 EF 也是 ABC的黃金分割線請你說明理由(4) 如圖 4，點 E 是 ABCD 的邊 AB 的黃金分割點，過點 E 作 EF AD ，交DC 于點 F ，明顯直線 EF 是 ABCD 的黃金分割線 . 請你畫一條 ABCD 的黃金分割線 , 使它不經(jīng)過 ABCD 各邊黃金分割點 .第 22 題圖【解析】 1 直線 CD 是 ABC 的黃金分割線 . 理由如下 : 設(shè) ABC 的邊 AB 上的高為 h S1 AD h ,S1 BD h ,S1 AB h, 所 以S