時間序列期末論文

1、ARIMA模型在全國年底總人口預測中的應用【摘要】：人口發(fā)展與社會經(jīng)濟的發(fā)展是密不可分的，研究我國總人口的現(xiàn)狀，對我國人口數(shù)進行分析和預測，有利于及時控制人口的增長，調(diào)節(jié)人口平衡，利于政府及時了解發(fā)展趨勢并做出反應對策，使我國人口發(fā)展步入健康的軌道。本文利用自回歸移動平均模型（auto regressive moving average model，ARMA）及其建模原理和思路，并結合Eviews軟件將ARMA模型應用于1980年2012年我國年底總人口數(shù)據(jù)序列的分析和預測。經(jīng)檢驗此模型對原始數(shù)據(jù)有著較好的擬合度和較高的預測精度。利用此模型可對我國年底總人口進行合理的預測?！娟P鍵詞】：時間序列

2、；ARMA模型；我國年底總人口；人口預測一、引言我國是世界上人口最多的國家，2008年末中國大陸人口13.28億，占世界上五分之一人口，亞洲人口的三分之一。中國人口的發(fā)展同中國社會的發(fā)展一樣經(jīng)過了漫長而曲折的道路。在世紀的進程中，目前我國進入了一個全新的時代，要想在21世紀這個充滿競爭與挑戰(zhàn)的時代中變的富強、屹立于世界民族之林，全取決于人口的問題能否順利解決，人口現(xiàn)狀等問題，我國必須重視并根據(jù)其趨勢做出反應對策。因此，認真分析我國當前人口現(xiàn)狀，從中發(fā)現(xiàn)其變化的趨勢，并對未來總人口進行短期預測，及時采取必要的政治及經(jīng)濟措施來解決人口發(fā)展問題，對樹立未來的發(fā)展目標很有必要?？傊?，人口是構成社會的主

3、體，在我國社會主義現(xiàn)代化建設中，人口問題始終是極為重要的問題，而人口問題的本質(zhì)是發(fā)展問題。人口發(fā)展與社會經(jīng)濟的發(fā)展也是密不可分的?；诖?，我們利用時間序列中的ARMA模型對我國人口進行預測，對人口的控制起到指導作用，有利于政府采取必要的政治及經(jīng)濟措施來進行調(diào)控。所以，對其進行分析和測試是非常有意義的工作。二、模型簡介自回歸求和滑動平均模型(auto regressive integrated moving average model), 稱為 ARIMA模型，是將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值進行回歸所建立的模型。自回歸移動平均過程，是由自回歸

4、和移動平均兩部分共同構造的隨機過程，記為 ARMA（p，q）。其中 p、q 分別表示自回歸分量和移動平均分量的最大滯后階數(shù)。它的表達式為：當時間序列非平穩(wěn)時，首先要通過差分或取對數(shù)使序列平穩(wěn)后再建立時間序列模型。隨機過程 若經(jīng)過 d 次差分后可變換為一個平穩(wěn)可逆的 ARMA（p，q），則稱 為（p，d，q）階單整自回歸移動平均過程，記為ARIMA（p，d，q）。建立時間序列模型通常需要以下步驟：（1）數(shù)據(jù)預處理在建模之前首先進行平穩(wěn)化檢驗，判斷是否為平穩(wěn)序列，可以通過相關圖判斷。如果一個隨機過程是平穩(wěn)的，則其自相關函數(shù)呈指數(shù)衰減或正弦衰減，而且衰減得快；相反，如果是非平穩(wěn)過程，則衰減得很慢 。

5、 也可以用單位根檢驗，判斷隨機過程的平穩(wěn)性。單位根檢驗是檢驗時序穩(wěn)定性的一種正式的方法。若為非平穩(wěn)序列，則通過差分變換、對數(shù)變換對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化、均值化處理。（2）模型的識別與定階模型的識別主要依賴于對時間序列的相關函數(shù)（Autocorrelation Function，ACF）圖與偏相關函數(shù)（Partial Autocorrelation Function，PACF）圖的分析：ACF圖表現(xiàn)為拖尾衰減特征，而 PACF 圖在 p 期后出現(xiàn)截尾特征，則該過程適合 AR（p）；ACF 圖在 q 期后出現(xiàn)截尾特征，而 PACF 圖表現(xiàn)為拖尾衰減特征，則該過程適合 MA（q）；ACF 圖與 PACF

6、圖都呈拖尾衰減特征通過圖形分析選擇模型的形式并初步確定 p、q的值。同時利用赤池信息量準則（A-Information Criterion，AIC）和舒瓦茲準則（Schwarz Criterion，SC）對多種 ARMA（p，q）模型進行對比與篩選，選出最優(yōu)的 ARMA（p，q）。（3）模型的參數(shù)估計對 AR（p）模型的參數(shù)進行最小二乘法估計，MA（q）和ARMA（p，q）采用迭代式的非線性最小二乘法進行估計。（4）模型的診斷與檢驗模型的診斷與檢驗包括被估參數(shù)的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗。如果估計的模型中的某些參數(shù)不能通過顯著性檢驗，或者殘差序列不能近似為一個白噪聲序列，則需再次對模型進行識

7、別。（5）模型的預測通過對未來值進行預測，與預留的實際值進行比較，得到相對誤差，從而進一步判斷所擬合的模型的適合程度。三、文獻綜述經(jīng)我們檢索發(fā)現(xiàn)，目前尚無對我國20132015年底總人口（萬人）的預測。四、實證分析（1）數(shù)據(jù)的收集本文以1980-2012年全國年底總人口數(shù)（萬人）為樣本，原始數(shù)據(jù)如下表所示：198098,7051990114,3332000126,7432010134,0911981100,0721991115,8232001127,6272011134,7351982101,6541992117,1712002128,4532012135,4041983103,0081993

8、118,5172003129,2271984104,3571994119,8502004129,9881985105,8511995121,1212005130,7561986107,5071996122,3892006131,4481987109,3001997123,6262007132,1291988111,0261998124,7612008132,8021989112,7041999125,7862009133,450表1 年底總人口數(shù)（萬人）本文利用統(tǒng)計軟件Eviews，對1980-2012年全國年底總人口數(shù)（萬人）數(shù)據(jù)為樣本，并用1980-2010年的數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，預測

9、，預測2010-2015年的年底總人口數(shù)。2011-2012年的數(shù)據(jù)留作模型檢驗數(shù)據(jù)，用于跟預測值進行比較，評價預測的精度。（2）數(shù)據(jù)預處理將時間序列命名為y, 并使用統(tǒng)計軟件Eviews對原始數(shù)據(jù)進行分析，作出該序列的時序圖，如圖1所示。圖1. 年底總人口數(shù)（萬人）時序圖從圖1中可以看出，年底總人口數(shù)隨著時間增加的同時也在逐年上漲，有明顯的上升趨勢。因此，可以得出這列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)、方差也不平穩(wěn)的結論。采用對數(shù)變換的方法，對原序列y做對數(shù)變換，即取=, 得到新的序列。利用統(tǒng)計軟件Eviews，對新的序列做時序圖和單位根檢驗，如圖2、表2所示。圖2. 序列 的時序圖表2. 序列的單位根檢驗值由圖2

10、可知，序列具有明顯的上升趨勢，不平穩(wěn)。為進一步確定序列的平穩(wěn)性，對序列進行單位根檢驗，由表2可知，序列在1%、5%的顯著性水平下，ADF檢驗值為-2.863362，均大于1%、5%的顯著性水平下的臨界值。因此，接受存在單位根的結論，說明時間序列是不平穩(wěn)的。盡管序列在顯著性水平為10%時，ADF檢驗值小于臨界值，但P值大于0.05，同樣也說明了序列不平穩(wěn)。結果與定性分析一致，即序列不平穩(wěn)。因此，在建立模型之前，必須對該序列進行平穩(wěn)化處理。此例中，我們可以用差分法來消除序列的趨勢。一階差分能夠消除線性趨勢, 二次差分能夠消除二次曲線趨勢。我們對序列進行二階差分,得到新的序列,畫出序列的時序圖，如圖

11、3所示。圖3.序列的時序圖由圖3可以得出，通過對序列進行取對數(shù)、二階差分處理，原始數(shù)據(jù)具有的趨勢性已被消除，序列呈現(xiàn)出比較小的波動性，基本趨于平穩(wěn)。為了使模型更加精確，進行進一步確定序列的平穩(wěn)性，我們對該序列進行單位根檢驗，得到ADF檢驗結果見表3。表3.序列單位根檢驗結果由表2可知，序列在1%、5%以及10%顯著性水平下，ADF檢驗值為-4.624002，均小于各顯著性水平下的臨界值，說明序列 為平穩(wěn)序列。能夠用序列來擬合模型。（3）模型的識別序列滯后18期的自相關和偏自相關函數(shù)圖(圖3)圖3. 序列滯后16期的自相關和偏相關圖由圖3可以看出，該序列偏自相關函數(shù)呈現(xiàn)出拖尾性，自相關圖呈現(xiàn)出截

12、尾性，初步判定該模型為ARIMA（0,2,1）模型。由于只是初步判定，且這個判斷具有較大的主觀性，所以不妨對該序列建立ARIMA(0,2,2)、ARIMA(1,2,2)等模型來綜合比較比較三個模型的AIC和SC值。（4）模型的估計及檢驗運用最小二乘法估計，分別對序列進行MA(1)、ARIMA(0,2,2)、ARIMA(1,2,2)進行擬合估計。結果如表4、表5、表6所示。表4. ARIMA（0,2,1）模型估計表5. ARIMA（0,2,2）模型估計表6. ARIMA(1,2,2)模型估計對三個模型進行綜合比較，ARIMA模型中的MA（2）的P值顯著大于0.05，因此，MA(2)模型不顯著。A

13、RIMA（1,2,2）模型的Adjusted R-squared為0.639770，明顯高于ARIMA（0,2,1）模型，且該模型的AIC值、SC值均小于ARIMA（0,2,1）模型中對應的各值。但ARIMA（1,2,2）模型的DW值僅為1.741959，明顯小于2。通過對比兩個模型的Actual、Fitted、Residual Graph圖以及Residual Graph圖，發(fā)現(xiàn)ARIMA（1,2,2）模型的殘差序列較ARIMA（0,2,2）有較大的波動。因此，認為ARIMA（0,2,1）模型能更好的擬合該序列。緊接著對殘差序列進行白噪聲的檢驗。根據(jù)模型ARIMA（0,2,1）對序列進行回歸

14、擬合，如圖4所示。模型的殘差圖如圖5所示。圖4. 模型擬合的折線圖圖5. 殘差折線圖從圖4中可以得到，圖中實際值與擬合值基本一致。從圖5中可以看出，殘差序列類似白噪聲過程，較平穩(wěn)，沒有明顯的趨勢性，模型擬合效果比較好。對殘差的自相關圖和偏相關圖進行分析，如圖6所示。圖6. 殘差序列的ACF和PACF值由圖可以得到，模型的殘差并不存在相關序列。為進一步驗證結論，對殘差序列進行單位根檢驗，結果如表7所示。表7. 殘差序列的單位根檢驗由表7可以得到，殘差序列的ADF檢驗值為-5.880284，明顯小于顯著性水平為1%、5%、10%的臨界值，因此序列在1%、5%、10%的顯著水平下通過檢驗，被看作是白

15、噪聲序列。因此，最終選定ARIMA（0,2,1）為模型對序列進行描述。模型的形式為：。（5）模型的預測運用統(tǒng)計軟件Eviews，對擬合模型后的序列進行預測，預測圖如圖7、圖8所示。圖7. 模型的動態(tài)預測圖圖中實線代表的是YF的預測值，兩條虛線則提供了2倍標準差的置信區(qū)間。實際值處于2倍標準差之內(nèi)。圖的右側給出的是評價預測的一些標準，例如平均預測誤差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等系數(shù)及其分解等。圖8. 模型的靜態(tài)預測圖從圖8的預測的評價標準中，可以看到，Theil不相等系數(shù)為0.000290，非常小。綜合其他標準，可以得到，靜態(tài)得到的預測效果較好。通過靜態(tài)預測，將2011-2012

16、年的真實值與預測值進行比較，求出預測誤差。如表8所示。真實值預測值預測誤差20111347351347070.000207820121354041354090.0000369表8.真實值與預測值的比較通過計算出的預測誤差，可以知道預測值與實際值是很接近的說明該模型的預測精度比較高，模型用于短期的預測效果是較好的。通過模型的動態(tài)預測對20132015年年底總人口數(shù)預測，可以得到表9。年份預測值年份預測值年份預測值201315540420141575562015159738表9.2013-2015 年預測值從預測結果可以看出，年底總人口隨著時間的增長，仍然保持持續(xù)上升的趨勢。五、結論一、運用ARIMA 模型進行建模和預測, 并對我國總人口這一組真實數(shù)據(jù)進行了時間序列分析。分析結果說明，用ARIMA 模型對我國總人口進行建模預測是可行且可靠的，可對我國年底總人口進行合理的預測，有利于政府采取必要的政治及經(jīng)濟措施來進行調(diào)控，對