三參數(shù)、四參數(shù)曲線擬合

1、正弦曲線擬合的三參數(shù)法與四正弦曲線擬合的三參數(shù)法與四參數(shù)法參數(shù)法正弦曲線擬合的意義正弦曲線擬合的意義 由正弦波形的采樣序列獲得其擬合正弦曲線函數(shù)，是一種基本信號(hào)處理方法，在許多場合下獲得了應(yīng)用，如評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的有效位數(shù)、采集速率、交流增益、通道間延遲、觸發(fā)特性等，在調(diào)制信號(hào)的數(shù)字化解調(diào)和失真度測量中，也有應(yīng)用。曲線擬合的一般過程曲線擬合的一般過程正弦信號(hào)采樣A/D變換信號(hào)處理擬合正弦曲線 數(shù)學(xué)上，幅度、頻率、相位和直流偏移4個(gè)參數(shù)可以唯一確定一條正弦曲線。曲線擬合的目的就是通過分析輸入的正弦信號(hào)，得到正弦波形的四個(gè)參數(shù)值，從而得到擬合曲線。 在已知輸入正弦波形的前提下，怎樣確定它的4個(gè)參數(shù)

2、呢？正弦曲線擬合的總體思路正弦曲線擬合的總體思路 主要是通過改變擬合正弦函數(shù)的幅度、頻率、相位和直流偏移，使擬合函數(shù)和采樣序列各點(diǎn)的殘差平方和最小，從而獲得正弦波形序列最小二乘擬合結(jié)果。正弦曲線擬合的總體思路正弦曲線擬合的總體思路假設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)是L，采樣數(shù)據(jù)是D(I)，I: 0,1,L-1擬合函數(shù)是S(t)=Asin(2ft+p)+C則殘差的平方和為 為采樣時(shí)間間隔擬合的目的就是找到讓E最小的四個(gè)參數(shù)A、f、p、C120ED(I)S(It)LIt三參數(shù)法簡介三參數(shù)法簡介 三參數(shù)正弦曲線擬合，特指信號(hào)頻率已知時(shí)獲取幅度、相位和直流偏移的波形擬合方法，它是一種閉合算法，無須迭代即能獲得結(jié)果，沒有收斂

3、問題，具有良好的實(shí)用性。三參數(shù)法的算法三參數(shù)法的算法 在標(biāo)準(zhǔn)IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中給出了一種三參數(shù)正弦擬合的算法。三參數(shù)擬合算法示例三參數(shù)擬合算法示例設(shè)理想正弦信號(hào)為三參數(shù)正弦波曲線擬合過程，即為輸入信號(hào)的數(shù)字角頻率已知，選取或?qū)ふ褹，B，D，使下式所述殘差平方和最小：則，參數(shù)A，B，D即為A0，B0，D0的最小二乘擬合值。為尋找出A，B，D，構(gòu)造矩陣000000y(t)=C cos(2ft+)+D=A cos(2ft)+B sin(2ft)+Dn2ii=1E=y

4、 -Acos(i)-Bsin(i)-Dcos( )sin( )1cos(2 )sin(2 ) 1cos() sin() 1Mnn0Ax = BD 12nyyy=y三參數(shù)擬合算法示例三參數(shù)擬合算法示例 殘差平方和用矩陣表示為： 當(dāng)式E最小時(shí)可得x0 的最小二乘解為： 擬合函數(shù)的幅度和相位表達(dá)形式為： 其中：T00E=E()=(y-Mx )(y-Mx )T-1T0 x =(M M) (M y)y(i)=Ccos(i+)+D22C= A +Barctan();A0arctan();A0BABA三參數(shù)擬合算法示例三參數(shù)擬合算法示例 擬合殘差為： 擬合殘差有效值為： 其中： 由于這是一種閉合算法, 因而

5、收斂是肯定的。iir =y -Acos(i)-Bsin(i)-DEEn2211(yy(i)nniiiiEr四參數(shù)法四參數(shù)法 當(dāng)正弦信號(hào)的四個(gè)參數(shù)都不知道時(shí)，一般采用四參數(shù)法進(jìn)行擬合。四參數(shù)法也是最常用的一種正弦波擬合方法。與三參數(shù)正弦曲線擬合不同，四參數(shù)正弦曲線擬合是一個(gè)非線性迭代過程，沒有解析公式可以直接應(yīng)用獲得結(jié)果，需要計(jì)算初始值進(jìn)行迭代。初始值的重要性初始值的重要性 初始值的精確度對(duì)于迭代結(jié)果有著很重要的影響。較大的初始誤差將導(dǎo)致迭代發(fā)散，或收斂到局部最優(yōu)值而非總體最優(yōu)值上。獲取初始值的基本方法獲取初始值的基本方法頻率f： (1) fft/dft (2) 通過分析信號(hào)過零點(diǎn)的時(shí)間間隔估計(jì)

6、頻率幅值A(chǔ)： 峰峰值除以2直流偏移C： (1)計(jì)算信號(hào)一個(gè)周期的平均值 (2)信號(hào)最大值與最小值之和除以2相位p： D(0)-Cp=arcsin()A四參數(shù)擬合的算法四參數(shù)擬合的算法 四參數(shù)擬合有很多種算法。IEEE學(xué)會(huì)在標(biāo)準(zhǔn)IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中給出了一種方法，包括兩種基本算法：一種通過矩陣運(yùn)算，另一種通過迭代過程，二者均需要良好的初始條件估計(jì)。四參數(shù)擬合的經(jīng)典算法簡介四參數(shù)擬合的經(jīng)典算法簡介牛頓法：該方法是基于一階泰勒展開與誤差修正技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，搜索終止的

7、判據(jù)可以是參數(shù)增量，或殘差平方和。順序搜索法：順序?qū)γ恳粋€(gè)參數(shù)在初始值上使用增量搜索法尋找其最優(yōu)點(diǎn)。牛頓法簡介牛頓法簡介 牛頓法是對(duì)方程四個(gè)參數(shù)求偏微分，得到E對(duì)給定系數(shù)的增量的泰勒級(jí)數(shù)展開式。用增量對(duì)初始值進(jìn)行校正，以此方法進(jìn)行多次迭代，直到相關(guān)系數(shù)不再增大，或者設(shè)定一個(gè)迭代的次數(shù)，就可以得出四個(gè)值的最終結(jié)果。四參數(shù)擬合的算法簡介四參數(shù)擬合的算法簡介 順序搜索法有一種算法是將四參數(shù)擬合過程拆分成兩步走，可以避免四參數(shù)非線性迭代帶來的收斂問題。該算法使用一種非線性迭代方法獲得信號(hào)頻率估計(jì)值，然后在已知頻率情況下，使用三參數(shù)最小二乘擬合算法獲得最終結(jié)果。本質(zhì)上是一種三參數(shù)方法。四參數(shù)順序搜索算法

8、示例四參數(shù)順序搜索算法示例( ) 令 i = 1 , 確定估計(jì)信號(hào)頻率的大致區(qū)間.對(duì)于常見的等間隔采樣 , 轉(zhuǎn)步驟 ( ) ; 對(duì)于非等間隔采樣 , 直接轉(zhuǎn)步驟 ( ) .( ) 利用 D F T 或 F F T 計(jì) 算信 號(hào)頻率 , 設(shè) 為d , 令迭代區(qū)間頻率下限 ，迭代區(qū)間頻率上限 (其中 ,c 為時(shí)鐘頻率 , N為 D F T 或 F F T 的長度) , 轉(zhuǎn)步驟 ( ) .( ) 觀察采樣序列過零點(diǎn)時(shí)刻 , 設(shè)第 m 個(gè)過“ 零點(diǎn)” ( 零點(diǎn)指采樣序列的均值位置) 時(shí)刻在區(qū)間tkm,tkm+1中 , 而第L(LM)個(gè)過 “ 零點(diǎn)” 時(shí)刻在區(qū)間 tkl,tkl+1 中 , 令 ， ,

9、其中m , l 為整數(shù) , 轉(zhuǎn)步驟 ( ).( ) 令 , 從區(qū)間0l,0h中等間距的取 2 M + 1 個(gè)點(diǎn) ( 比如 M = 5) , 利用三參數(shù)法分別計(jì)算出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 A1j , B1j , C1j 和殘差平方和 E1j ( j = 1 , 2 , 3 , , 2 M + 1) .( ) 比較 ( ) 中 2 M + 1 個(gè)殘差平方和 , 并找出最小殘差平方和對(duì)應(yīng)頻率 ( 記為 1 ) 、 正弦幅度 ( 記為 A 1 ) 、 余弦幅度 ( 記為 B1 ) 以及直流偏移 ( 記為C1 ) . 這就是正弦信號(hào)四參數(shù)的第 1 次估計(jì)值 , 其中 ,頻率估計(jì)的最大偏差=0/ M .( ) 令

10、i = i + 1 , ( ) 從區(qū)間 il,ih 中等間距地取 2 M + 1 個(gè)點(diǎn) , 分別計(jì)算出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 A ij , B ij , Cij 和誤差平方和 E ij .( ) 比較 ( ) 中 2 M + 1 個(gè)誤差平方和 , 并找出最小誤差平方和對(duì)應(yīng)的四個(gè)參數(shù) ( 分別記為 i , Ai ,Bi 和 Ci ) , 這就是正弦信號(hào)四參數(shù)第 i 次的估計(jì)值 ,其中 , 頻率估計(jì)的最大偏差=0 / Mi.( ) 重復(fù) ( ) ( ) , 直到找到滿足精度要求的信號(hào)頻率 , 將其記為, 同時(shí)將與它對(duì)應(yīng)的其他三個(gè)參數(shù)記為 A , B , C , 那么 , A , B , C 這四個(gè)參數(shù)就是正

11、弦信號(hào)四參數(shù)的估計(jì)值. 其中 , 頻率估計(jì)的最大誤差為max=0 / Mi步驟 ( ) ( ) 給出了四參數(shù)估計(jì)法的一般步驟和頻率估計(jì)的最大誤差 max ,可知 , 可以通過增大估計(jì)次數(shù) i 來提高估計(jì)精度四參數(shù)擬合的算法簡介四參數(shù)擬合的算法簡介 還有學(xué)者使用遺傳算法實(shí)現(xiàn)總體最優(yōu)估計(jì)，以此實(shí)現(xiàn)四參數(shù)正弦參數(shù)的最小二乘估計(jì)，由于遺傳算法原理本身可保證實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)逼近，可避免收斂到局部最優(yōu)點(diǎn)上，從而具有良好的收斂性。擬合誤差擬合誤差 有很多因素會(huì)影響到擬合參數(shù)的精確度。序列長度、采樣序列中含有的波形周期個(gè)數(shù)、采樣量化誤差、非線性誤差等條件，都限制和影響了正弦參數(shù)的估計(jì)。影響不確定度的因素影響不確定

12、度的因素(1)波形采集速率。(2)波形測量通道間延遲時(shí)間差。(3) 采樣序列的噪聲及非諧波失真。(4) 采樣序列的抖動(dòng)。(5) 4參數(shù)正弦波擬合軟件造成的測量不確定度，主要由于軟件收斂判據(jù)、舍入誤差、累積誤差等造成；(6) 另外，采集序列長度的變化、采集序列中所含信號(hào)的周期個(gè)數(shù)的變化，也將給測量帶來影響，它們將體現(xiàn)在上述各項(xiàng)不確定度的分量中，不單獨(dú)列出。擬合參數(shù)的最小誤差界擬合參數(shù)的最小誤差界 John P. Deyst1995年給出了正弦波四參數(shù)最小二乘擬合算法獲得參數(shù)的誤差界，使用蒙特卡羅搜索仿真法等對(duì)于各種可以想象的條件變化進(jìn)行了細(xì)致研究，并分別以經(jīng)驗(yàn)公式、誤差界曲線等形式，給出了4個(gè)擬

13、合參數(shù)隨諧波次數(shù)和幅度、噪聲、抖動(dòng)、序列長度、序列所含信號(hào)周期個(gè)數(shù)等條件參量變化的規(guī)律?；窘Y(jié)論是：擬合獲得的4個(gè)參數(shù)的誤差界隨著諧波階次、序列長度、序列所含信號(hào)周期個(gè)數(shù)增大而變窄，隨著諧波幅度、噪聲、波形抖動(dòng)的降低而變窄。每個(gè)參數(shù)的誤差界應(yīng)該在一個(gè)確定區(qū)間內(nèi)變化，最小誤差界即是其Cramer-Rao界。擬合參數(shù)的最小誤差界擬合參數(shù)的最小誤差界Cramer-Rao界：在四參數(shù)正弦波擬合中，誤差界的指數(shù)表達(dá)式給出了擬合參數(shù)誤差隨著信號(hào)周期個(gè)數(shù)和諧波階次變化而變化的一個(gè)公式。h1.2h1.250h1.25h1.211.1A0.9max|N|=(nh)AAA1max|=A(Nh)AA180max|p

14、|=(Nh)AAC0.61max|=A(Nh)hA其中：N為采樣的周期個(gè)數(shù)，n為采樣點(diǎn)數(shù)，h為諧波次數(shù)（整數(shù)），A為幅值，p為相位，C為直流量。擬合參數(shù)的不確定度擬合參數(shù)的不確定度 利用Cramer-Rao界，可以估計(jì)出諧波失真造成的4個(gè)測量參數(shù)的不確定度。以相位為例，假設(shè) h次諧波的幅值 造成的參數(shù)誤差分別在各自的誤差界內(nèi)均勻分布，則 給 帶來的測量不確定度為：hAhAp0mhph1.25DpA180u (A )=(Nh)3A 3 由于三角函數(shù)基之間的正交性，不同諧波互不相關(guān)，所有諧波帶來的總的不確定度為：22pph2.52h 2h 210800u =u(A )(Nh)hAA擬合參數(shù)的不確定度擬合參數(shù)的不確定度同理也可以得到幅值和直流分量的不確定度。22hAAh2.5h 2h 2Au =u(A )=3(Nh)22hCCh2.423.52h 2h 20.124Au =u(A )=Nh幅值：直流量：擬合參數(shù)的不確定度擬合參數(shù)的不確定度對(duì)于頻率不確定度的估