#“等差數(shù)列”學(xué)法指津

1、“等差數(shù)列”學(xué)法指津摘要：等差數(shù)列是數(shù)列中最重要的數(shù)列之一，也是最基礎(chǔ)的數(shù)列，同時(shí)它也是高考中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，并且它的很多研究方法很值得我們推廣到其它數(shù)列。本文中，筆者對(duì)等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了深入的講述并加入適當(dāng)?shù)纳罨卣埂ｊP(guān)鍵詞：等差數(shù)列一、知識(shí)精講1如果一個(gè)數(shù)列:an從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做該等差數(shù)列的公差，我們通常用字母d表示。數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：對(duì)于數(shù)列訂鳥(niǎo)，如果滿足an-an=d（n_2、nN*，d為常數(shù)），那么aj為等差數(shù)列。2當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差d=0時(shí)。該等差數(shù)列為常數(shù)列。3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=印（n-1）d，對(duì)于

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們有以下結(jié)論：aaan=am（m-n）d:an=nd（印一d）:d-m（m=n）。n-m4等差數(shù)列的增減性：當(dāng)d：0時(shí)，等差數(shù)列an?為遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，等差數(shù)列為遞增數(shù)列5如果在數(shù)a和b中間插入一個(gè)數(shù)A，使得a、A、b三數(shù)成等差數(shù)列，那么我們就稱(chēng)a+b數(shù)A為數(shù)a和b的等差中項(xiàng)，且A=仝丄。26等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)數(shù)列”£n是公差為d的等差數(shù)列，那么該數(shù)列的前n項(xiàng)和aiann（n-1）dSnn=n227等差數(shù)列的主要性質(zhì)（1）在等差數(shù)列'an'中，若m-二pq，則am'aap'aq；（2）在等差數(shù)列中，若m，n=2p，則am

3、'a2ap；（3）對(duì)于等差數(shù)列V，若數(shù)列訂J是等差數(shù)列，則數(shù)列弍也是等差數(shù)列;(4)若數(shù)列:an/和ibn?都是等差數(shù)列，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，、，數(shù)列'，an廠二bJ也是等差數(shù)列;(5)若數(shù)列n是等差數(shù)列，則對(duì)任意實(shí)數(shù)(5)若數(shù)列n是等差數(shù)列，則對(duì)任意實(shí)數(shù)c，數(shù)列:can也是等差數(shù)列;fS(6) 若Sn是等差數(shù)列曲的前n項(xiàng)和，則n是等差數(shù)列；InJ(7) 若Sn是等差數(shù)列aj的前n項(xiàng)和，貝USn、務(wù)、Ssn-S?n、成等差數(shù)列;(8) 若等差數(shù)列an/的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m、所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇、所有偶數(shù)項(xiàng)之和為Sm，則所有項(xiàng)之和S2m二m(amami)、S偶Sm，則所有項(xiàng)之和S2m二m(

4、amami)、S偶S奇二md、SMamSam1(9)若等差數(shù)列l(wèi)aj的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1、所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇、所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S22=(2m-1)am、S奇=mam、為S偶，則所有項(xiàng)之和S22=(2m-1)am、S奇=mam、Sm=(m-"am、爲(wèi)_mS偶m-1(10)若Sm=n、Sn=m(m式n)，則S=(m+n)；(")若am=n、an=m(mn),貝Vam+=0。方法指引1等差數(shù)列的證明：證明存在實(shí)數(shù)k、b，使得an=knb；證明存在實(shí)數(shù)a、b,2使得Sn=anbn；證明a.1-a.為常數(shù)；證明2a.an-an.2；2. 在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候注意靈活運(yùn)用等

5、差數(shù)列的常見(jiàn)性質(zhì)輔助解題；3. 三數(shù)成等差數(shù)列，一般可設(shè)為a-d、a、ad；四數(shù)成等差數(shù)列，一般可設(shè)為a-3d、a-d、ad>a3d；五數(shù)成等差數(shù)列，一般可設(shè)為a-2d、a-d、a>ad、a，2d；4. 在等差數(shù)列；£n中，若a10,d<0,則Sn有最大值，我們一般有兩種求解思路：將Sn配方成關(guān)于n的二次函數(shù)進(jìn)行討論，注意此時(shí)n只能取正整數(shù);由一°求解。an1:0三、例題評(píng)析2Sn已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且an=SnSn1(n蘭2),a,=,求證：數(shù)列>9|SnI為等差數(shù)列。證明：an二SnSn，即SSnj=SnSnd,知呂-J1,n一2時(shí)數(shù)列SM

6、iSn/lSnJ1111為等差數(shù)列。，”=-(n1)=n(nK2)。Sn292n_1時(shí)，數(shù)列丄為等差數(shù)列。n_1時(shí)，數(shù)列丄為等差數(shù)列。1119而當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，故S1a12/2t19例2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0，SO。(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1、S2、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。解:(1)S12S13012a113a11211,d21312,d202a111d0Ja1”0而a3=a12d=12，得ai=122d2a111d0-247d0ji_2a6d:03d：0247:d3故公差d的取值范圍為-空，-3。I7丿_2n(n-1)n

7、(n-1)d124、(2)qFqd=n(12-2d)dn(5)2222d邛(5J，2IL2d-124f/:，當(dāng)一2(5帀)最小時(shí)Sn最大。而d.24-V，-3，6丿5-242ld丿213,-n=6時(shí)，Sn最大。.S6最大。例3等差數(shù)列玄的項(xiàng)數(shù)為2n，若a1a3-a2n90,a2a4-a?n二72,且印-a2n=33，求該數(shù)列的公差d。解：數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇二a1a3a2n=90,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為3禺=a2a4a2n=72,S偶-5奇=nd=18，而印-a2n=(1-2n)d=33,由nd=18解得,(1-2n)d=33d=3公差d=3四、同步訓(xùn)練1.已知數(shù)列:an啲前n項(xiàng)和Sn=n2-9

8、n，第k項(xiàng)滿足5:：:ak<8，則k=A.9A.9C.7D.62.等差數(shù)列B.8aj的首項(xiàng)6-5，它的前11項(xiàng)的平均值為5，若從中抽去一項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值為4.6，則抽去的是(A.a6B.a8C.a9D.aio3.等差數(shù)列3.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a7a13=10，則氐的值是(A.55A.55B.95C.100D.無(wú)法確定3.已知等差數(shù)列、an滿足a?*4=4,a3乜5=10,則它的前10項(xiàng)的和S0=(A.138A.138B.135C.95D.234.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，£=36，則a7a8a=(A.63A.63B.45C.36D.27，

9、則使a7n+455.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為an和Bn，且°Ba得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()bnA.2B.3已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列ax的公差為2.若f(a2a4'a6a8，a)=4,則log?f(ajf(a?)f心3)丨1(f佝0)=。6. 若數(shù)列'aj的前n項(xiàng)和Snn2-10n(n=12311),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列nan?中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)。17. 在等差數(shù)列玄中，已知公差d,且a!a3a5a99=60,則2a-ia2a3a?9aioo=。2na等差數(shù)列、bn詁勺前n項(xiàng)和分別為An、Bn,若二，則二。Bn3n+1bn已知元素為

10、正整數(shù)的數(shù)集序列、2,3?、4,5,6?、17,8,9,10?，從第二個(gè)數(shù)集開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)集比前一個(gè)數(shù)集多一個(gè)元素，且每一個(gè)數(shù)集中最小的元素比前一個(gè)數(shù)集中最大的元素大1，則第n個(gè)數(shù)集中所有元素之和sn二。x28. 設(shè)f(X),方程f(X)二X有唯一解，且fxo,fxnJ二Xn,a(x+2)2009n=1,2,3,，問(wèn):1數(shù)列是否等差數(shù)列；NJ求X2008的值。12.已知數(shù)列心為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,a7,S24。(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；1(2) 設(shè)p、q為正整數(shù)，且p=q，證明：Sp.qS2pS2q。13已知'an'為等差數(shù)列，公差d=0,an=0(n二N)，且akX&

11、#39;ak.1Xa-0(kN*)(1)求證當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，此方程有公共根;丨1I(2)若方程不同的根依次為X1,x2,x3，xn，求證數(shù)列為等差數(shù)列?！就接?xùn)練參考答案】1.B解析：n2時(shí)an=SnSnj=n29n(n1f-9(no=2n10,由5：2n-10：8得15：n：9，從而n=8。2.B解析:邱=11-51110d=55,d=2,抽去的那個(gè)數(shù)是55-46=9,an_a19一（一5）該數(shù)在原數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)n=飛一仁十八8，即抽去的數(shù)是a8。an_a19一（一5）該數(shù)在原數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)n=飛一仁十八8，即抽去的數(shù)是a8。3.B解析：$919a耳919a7-a1910nc95。4.B解析

12、：S3、S6_S3、S9_S3成等差數(shù)列，從而a7a8a9=S9-=2S6-S3v-S3=2S6-3S3=236-39=45。2n-1a1a2n5.D解析:an_2an_a1a2nbn2bn0b2nA2n_7(2n-1)+452n1d2n137n197n1n112竺，當(dāng)n=1、2、3、12a5、11時(shí)，二為整數(shù)，故使得F為整數(shù)n+1bn的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5。6.-6解析：f(a2*46a8印0)=2a2a4a6a8%=4，.a2a4a6a8a12，a2a2Iog2【f)f(a2)f(a3)f佝。)a?*3M0=22-52=6。=2n-11，而當(dāng)7.an=2n-11，3解析：n_2時(shí)，a=Sn_

13、Sn=n-10n-n-1-10nn=1時(shí)也滿足此式，因而an=2n-11。nan二n(2n-11)=2n-11，n'I4丿88.1451111r2>3，二44naj數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)。解析：a1a2a3£99-印。=2(aa3a§£99)50d=260501=145。ann2n-19.-bn3n-12n-1印a2nj解析：=凈J1也bn2bnbl+dnj12n-10b2nB2nJ22n12n1=。32n-113n-1嚀），那么第X=x，顯然x=0為其解，然而方程有唯一XnXn，數(shù)列是公差為-等差數(shù)列。2Xn2解析：第n個(gè)數(shù)集的元素個(gè)數(shù)為n，前n-1個(gè)數(shù)集所有元素之和為2n個(gè)數(shù)集中的最小元素為咬衛(wèi)-1，&m2n(n-1)1n(n-1)nn1-22-°11.解：（1）對(duì)于方程f（x）二X即a（x+2）11解，那么其令一解2=0,.a二丄。a2fxnd=xn，即Xn=xn，對(duì)式子左右兩邊取倒數(shù)并整理得1（沁+2）（2）xfXo二爲(wèi)，丄二字，從而丄二竽2（n-1），即Xn2009X,2Xn222當(dāng)n=1時(shí)也滿足此式，故xn，x2008：n+20032008+2008200812.解：（1）依題意有012d=7，解得01=34q6d=24d=20,=32n-1=2n1。(2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=3n乜耳2二n22n，2