第一章電路模型和基爾霍夫定律

1、 1 1電路與電路模型 12電路分析的基本變量 13基爾霍夫定律14電路的線圖 15 KCL和KVL方程的獨(dú)立性 16 電路的獨(dú)立變量第一章第一章 電路模型和基爾霍夫電路模型和基爾霍夫定律定律 1.1.1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 一、電路的組成 電路由電源（信號(hào)源）、負(fù)載、傳導(dǎo)和控制部分組成。 如圖1-1-1（a）所示 (a)手電筒實(shí)際電路(b)手電筒電路模型 對(duì)于各種實(shí)際的電路元件，在一定條件下，忽略其次要性質(zhì)，用一個(gè)表征其主要物理特性的理想化模型來(lái)表示，即理想元件。 對(duì)于理想電阻元件，簡(jiǎn)稱為電阻，只表征消耗電能的性質(zhì)。 二、理想元件 理想電感元件，簡(jiǎn)稱為電感，只表征儲(chǔ)存和

2、釋放磁場(chǎng)能量的特性。 理想電容元件，簡(jiǎn)稱為電容，只表征儲(chǔ)存和釋放電場(chǎng)能量的特性。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 電路符號(hào)見(jiàn)圖1-1-2。 電阻符號(hào) 電感符號(hào) 電容符號(hào) 圖1-1-2 三、電路模型由理想元件組成的電路稱為電路模型。電路分析的對(duì)象是電路模型。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 由集總參數(shù)元件構(gòu)成的電路稱為集總參數(shù)電路。四、集總參數(shù)集總參數(shù)元件(lumped parameter element)：當(dāng)實(shí)際電路的尺寸遠(yuǎn)小于其使用時(shí)最高工作頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)時(shí)而抽象出的理想元件。集總參數(shù)電路幾種常用集總參數(shù)元件： RCL sUsi1-1 1-1 電路與電路模型電路

3、與電路模型 例如電力系統(tǒng)的供電頻率為50Hz,波長(zhǎng)=6000km, 在此工作頻率下，電路實(shí)驗(yàn)的元件尺寸L0 ，說(shuō)明電路吸收（消耗）功率；若p0 ，說(shuō)明電路釋放（供給）功率。 當(dāng)電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí):1-2 1-2 電路分析的基本變量電路分析的基本變量 已知某支路電壓電流參考方向如圖所示。 （1）如i=2mA,u=-5mV,求元件吸收的功率， （2）如u=-200V,元件吸收功率p=12kW,求電流。 元件吸收功率-1010-6 W，或供出功率1010-6W。610 10 Wpui 解解：（1）例例1-2-1（2）312 1060A200piu 支路電流是-60A 例例1-2-2 1-2-

4、2 如圖所示，(a)已知某支路電流i=5A，u=3V,求功率p。(b)已知電壓源支路，i=-2A,us=3V，求功率p。 +_(a) (b) 例例1-2-2 解：解：（a）電壓電流為非關(guān)聯(lián)方向 p=-ui=-35=-15W 支路供出功率15W (b) 電壓電流為關(guān)聯(lián)參考方向p=ui=3(-2)=-6W 供出功率6W 11( )ttttw tpduid能量的單位是焦耳（J）。例例1-2-31-2-3已知圖1-2-6（a）中某元件電流 , i電壓 的波形如（b）（c）所示,求1）求元件吸收的功率；2）求元件吸收的能量及平均功率。 u2.能量 ( )w t 若電路的電流和電壓符合關(guān)聯(lián)參考方向，在 到

5、 時(shí)刻內(nèi)該電路吸收的能量為:1tt例例1-2-2解解：1）由圖示波形寫(xiě)出電流和電壓的表達(dá)式如下： 1 03312 V363tti ttts 14 03312 V 363ttu ttts 1.元件吸收的功率 2241 0339( ) ( )14 W 369tttp ti t u tttS 在0t6s期間，元件吸收平均功率為 12751W63wwPt 217 03( ) ( )5 J 36tttw tp t d ttS 2.元件吸收的能量 1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律支路：一個(gè)二端元件就是一條支路。也可以將流過(guò)同一個(gè)電流的幾個(gè)串聯(lián)元件視為一條支路。流經(jīng)該支路的電流和支路端電壓稱為支路電

6、流和支路電壓。節(jié)點(diǎn)：電路中元件的匯結(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)?；芈罚弘娐分腥我婚]合路徑稱為回路。網(wǎng)孔：內(nèi)部不含支路的回路稱為網(wǎng)孔。 相關(guān)名詞:一、基爾霍夫電流定律（一、基爾霍夫電流定律（Kirchhoff s Current Law ，縮寫(xiě)為，縮寫(xiě)為KCL） KCL可陳述為：對(duì)于任一集總電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任一時(shí)刻，流出（或流入）該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和為零。數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 10bkkit 其中，b為節(jié)點(diǎn)處的支路數(shù)， 為第k條支路電流。( )ki tii入出或表示為：1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律關(guān)于KCL的討論：（1）KCL的實(shí)質(zhì)是電流連續(xù)性原理或電荷守恒定律的體現(xiàn)。（2）KCL說(shuō)明了節(jié)點(diǎn)上

7、各支路電流的線性約束關(guān)系，各支路電流是線性相關(guān)的，KCL方程是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程。（3）KCL與支路元件性質(zhì)無(wú)關(guān)，只決定于電路的結(jié)構(gòu)。 （4） KCL不僅適用于一個(gè)節(jié)點(diǎn)，還可以推廣為任意封閉面。這個(gè)封閉面稱為廣義節(jié)點(diǎn)。1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律有： 1230iii 廣義節(jié)點(diǎn)示意圖如圖所示電路中，對(duì)于虛線圍成的封閉面S:1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律二、基爾霍夫電壓定律（二、基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff s Voltage Law ，縮寫(xiě)為，縮寫(xiě)為KVL） 對(duì)任一集總電路中的任一回路，在任一時(shí)刻，沿該回路的所有支路電壓降的代數(shù)和為零，即： 10Kkkut 其中，

8、K為回路中的支路個(gè)數(shù)， 為第k條支路電壓。 kut1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律 KVL列寫(xiě)方法：以圖示電路為例，首先任意選取回路的繞行方向，圖中選取的是順時(shí)針?lè)较?，支路電壓極性與繞行方向一致，電壓前面取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào)。然后沿回路繞行一周，列寫(xiě)KVL方程如下： 2u3u4u1u12340uuuu或 1234uuuuKVL方程示意圖1-3 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律（1）KVL可表示為uu升降 所以KVL是能量守恒的體現(xiàn)。KVL表明(2)在集總電路中，回路中各支路電壓的線性約束關(guān)系，即支路電壓是線性相關(guān)的。 (3)KVL與支路元件性質(zhì)無(wú)關(guān)，僅與支路元件的連接方式有關(guān)。 1-3

9、 1-3 基爾霍夫定律基爾霍夫定律圖是一個(gè)復(fù)雜電路中的部分電路，求支路電流 i1和 。0i解：解：先用廣義KCL求 ，對(duì)于封閉面S，列寫(xiě)KCL方程1i1163( 4)7iiA 對(duì)于節(jié)點(diǎn)O，列KCL方程 0102105 iiiA例例1-3-1對(duì)于圖示電路, （1）求所有未知電壓和電流；（2）求各支路吸收的功率；（3）驗(yàn)證電路的功率平衡關(guān)系。 解：解：（1）設(shè)元件1，2，,10的電流、電壓分別為 12101210,;,i iiu uu求得電流和電壓為例例1-3-27592 11Aiii 13464 127Vuuuu 24752266Vuuuu 978102350Vuuuu （2）各支路吸收的功率為

10、 11 13 721Wpui 22 22 ( 6)12Wpu i 33 33 412Wpu i 412325Aiii 例例1-3-2（2）其它元件的功率為 410Wp 512Wp 63Wp 72Wp 83Wp 90Wp 105Wp （3）電路的總功率 1010iipp 即，電路中所有支路供出的功率之和恒等于吸收的功率之和，此關(guān)系稱為功率守恒。 例例1-3-21-4 電路的線圖 一、圖一、圖 圖是一些點(diǎn)和一些邊的集合，每條邊只在節(jié)點(diǎn)處相交。這樣的圖稱為拓?fù)鋱D或線圖，簡(jiǎn)稱圖。 圖一般用G表示，圖中的節(jié)點(diǎn)用、標(biāo)注，用點(diǎn)集 表示，邊用1，2，3標(biāo)注，邊的編號(hào)和方向既表示支路電壓又表示支路電流，邊集用

11、表示，對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條邊的圖可記作: G（V，E） 123,nVv v vv，123,bEe e ee，1有向圖和無(wú)向圖 標(biāo)明支路參考方向的圖稱為有向圖，沒(méi)有標(biāo)明參考方向的圖稱為無(wú)向圖。無(wú)向圖有向圖1-4 電路的線圖 2連通圖和非連通圖 一個(gè)圖的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間至少有一條連通路徑，這樣的圖稱為連通圖，否則稱為非連通圖。如下圖（a）為連通圖，（b）為非連通圖。12341234( ) a( ) b1-4 電路的線圖 3子圖 若 圖的點(diǎn)和邊是圖G的部分點(diǎn)和邊，則 稱為G的一個(gè)子圖。1G1G4平面圖和非平面圖 任意兩條邊除端點(diǎn)外均不相交，或者說(shuō)在空間上沒(méi)有上下交疊關(guān)系的圖稱為平面圖，否則為非平面圖。圖(

12、a)為平面圖，圖 (b)為非平面圖。(b)1-4 電路的線圖 5完全圖 如果圖中任意兩點(diǎn)間恰有一條邊，則該圖為完全圖。圖1-4-3為完全圖。 二、樹(shù)、樹(shù)支、連支二、樹(shù)、樹(shù)支、連支 樹(shù)的概念：一個(gè)包含連通圖G的所有節(jié)點(diǎn)而沒(méi)有構(gòu)成回路的連通子圖，稱為圖G的一個(gè)樹(shù)。1-4 電路的線圖 例如，圖 (b)、 (c)的粗線段構(gòu)成的圖是圖（a）的樹(shù)，而圖 (d)、(e)不是圖（a）的樹(shù)。1-4 電路的線圖 樹(shù)支與連支 對(duì)于圖G，如果選定了它的一種樹(shù)T，構(gòu)成樹(shù)T的每條邊就稱為這個(gè)樹(shù)的樹(shù)支，其余不屬于樹(shù)T的邊都稱為連支。如圖 (b)， (c)中粗線段為樹(shù)支，其余細(xì)線段即為連支。 圖G有不同的樹(shù)，每棵樹(shù)的樹(shù)支數(shù)是

13、相同的，設(shè)連通圖G共有b條邊，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則樹(shù)支數(shù)為（n-1），而連支數(shù)則為 (b-n+1)個(gè)。1-4 電路的線圖 三、三、 割集割集 、基本割集、基本割集 、基本回路、基本回路1割集割集 、基本割集、基本割集 割集是從連通圖G割除一組邊集，當(dāng)割除的邊集滿足以下兩個(gè)條件時(shí)，稱為圖G的割集，記作C （1） 從連通圖G中移去或切割該邊集中的全部邊，圖G的剩余節(jié)點(diǎn)和邊成為一個(gè)非連通圖。也就是說(shuō)，圖G被分成不連通的兩部分； （2） 被割除的邊集中只要少割去其中任一條邊，圖G仍然是連通的。 簡(jiǎn)言之割集是將連通圖G分為兩個(gè)分離部分的最少邊集。 1-4 電路的線圖 例如圖中，（1，2，4）， （1，3，4，5

14、）， （1，3，6）， （4，5，6）都是圖的割集。但 （1，2，3，5）不是圖的割集，因?yàn)樵谥猩偾懈钸?，圖仍是不連通的。 1C2C3C4C5C割集和基本割集示意圖1-4 電路的線圖 對(duì)于一個(gè)連通圖G選定了該圖的一種樹(shù)T，如果割集中只有一條邊是樹(shù)支，其余皆為連支，則稱這種割集為基本割集。對(duì)于圖1-4-5,選樹(shù)T（2，3，5）如圖粗線所示，三個(gè)樹(shù)支構(gòu)成三個(gè)基本割集 ， ， 。1C3C4C 基本割集數(shù)=樹(shù)支數(shù)=（n1）。基本割集的方向與基本割集中樹(shù)支方向一致。通常以箭頭在切割弧線上標(biāo)明，如圖1-4-5所示。1-4 電路的線圖 基本回路示意圖 如果一個(gè)回路只有一條連支，其余均為樹(shù)支，該回路稱為基本

15、回路。如上面圖所示，選樹(shù)T（2，3，5） ， ， 都是基本回路。1l2l3l 顯然，基本回路數(shù)=連支數(shù)=(b-n+1)個(gè)。基本回路也有方向的，其方向與連支方向一致。2基本回路基本回路 1-5 KCL1-5 KCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 一、一、KCL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 獨(dú)立節(jié)點(diǎn)：根據(jù)這些節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)的每個(gè)KCL方程彼此獨(dú)立。獨(dú)立的KCL方程數(shù)=獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)=基本割集數(shù)=樹(shù)支數(shù)= n-1。 二、二、KVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 獨(dú)立回路：按這些回路列寫(xiě)的KVL方程含有本方程彼此獨(dú)立，則稱為獨(dú)立回路。獨(dú)立的KVL方程數(shù)=獨(dú)立回路數(shù)=基本回路數(shù)=網(wǎng)孔數(shù)=連支數(shù)=b- n+1。1-

16、5 KCL1-5 KCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 1-6 1-6 電路的獨(dú)立變量電路的獨(dú)立變量 一、完備獨(dú)立電流變量的選取一、完備獨(dú)立電流變量的選取 在電路中選取一組電流變量，如果滿足以下條件： （1）利用KCL和歐姆定律，可以由這組電流變量求出電路中各支路的電流和電壓，即完備性； （2）這組電流變量是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的，其中的任一個(gè)電流不能用其它電流表示，即獨(dú)立性。 這組電流變量就是一組獨(dú)立且完備的電流變量。 完備獨(dú)立電流變量個(gè)數(shù)完備獨(dú)立電流變量個(gè)數(shù) 對(duì)于含有 條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，完備獨(dú)立電流變量數(shù)= 連支電流數(shù)=（bn1）。 b 電路中，網(wǎng)孔電流也具有完備性。所以網(wǎng)孔電流是一組完備獨(dú)立的電流變量。 完備獨(dú)立電流變量數(shù)=網(wǎng)孔數(shù)=基本回路數(shù)=連支電流數(shù)=（bn1）。1-6 1-6 電路的獨(dú)立變量電路的獨(dú)立變量 二、二、完備完備獨(dú)立電壓變量的選取獨(dú)立電壓變量的選取完備獨(dú)立電壓變量應(yīng)具有的性質(zhì)是： （1）利用KVL和歐姆定律，可以由這組