同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版_映射與函數(shù)

1、第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁函數(shù)與極限 第一章 二、映射二、映射 三、函數(shù)三、函數(shù) 一、集合一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 映射與函數(shù)四、四、 初等函數(shù)初等函數(shù)元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、一、 集合集合1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合集合.組成集合的事物稱為元素元素.不含任何元素的集合稱為空集空集 , 記作 . Ma( 或Ma) .Ma機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 表示法表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素

2、.例例: 有限集合naaaA,21自然數(shù)集,2,1,0Nn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集qpQ,N,Zqp p 與 q 互質(zhì)實(shí)數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注: M 為數(shù)集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .是 B 的子集子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義定義2 .則稱 A.BA若BA,AB 且則稱 A 與 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ顯然有下列關(guān)系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA ,

3、,A若Ax,Bx設(shè)有集合,BA記作記作必有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 AcABB定義定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定義下列運(yùn)算:ABBA余集)(ABBABcA其中直積 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點(diǎn)集ABABBABA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Bx或3.3.區(qū)間與領(lǐng)域區(qū)間與領(lǐng)域是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,.a bRab對(duì)于任意且bxax 稱為開(kāi)區(qū)間稱為開(kāi)區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)

4、間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 區(qū)間區(qū)間: :bxax bxax 稱為半開(kāi)區(qū)間稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間稱為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb以上是有限區(qū)間以上是有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a0( , ).U a記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 ( , ).U ax axaxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a0( , )0.U axxa,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)

5、稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 絕對(duì)值絕對(duì)值設(shè)設(shè) a 是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)軸上數(shù)軸上 a 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為稱為 a 的絕對(duì)值，記為：的絕對(duì)值，記為：a200aaaaaa一般：一般：aa0aaxaaxaxa0axaxax或xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 axxarraxaxxraxar xar數(shù)軸上點(diǎn) x 到點(diǎn) a 的距離為raxrxar arxarraxrax運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 邏輯量詞邏輯量詞全稱量詞全稱量詞任意任意AFor AllFor A

6、ll存在量詞存在量詞E E存在存在There ExistThere Exist機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解釋以下命題解釋以下命題對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x x，都存在比都存在比x x 更大的實(shí)數(shù)更大的實(shí)數(shù)y y。RxR()yyx 任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，都存在著一個(gè)實(shí)數(shù)。任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，都存在著一個(gè)實(shí)數(shù)。,()x yR xyR()zxzy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 映射映射1. 映射的概念映射的概念 某校學(xué)生的集合某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某班學(xué)生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引

7、例引例定義定義4.設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合, 若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對(duì)應(yīng) , 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射, 記作.:YXf元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像像 , 記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .XYfxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義域定義域 ：Df = X Rf =)(XfXxxf)(值域值域 ：注意注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)規(guī)則：對(duì)

8、應(yīng)規(guī)則： f幾種映射的類型幾種映射的類型滿映射（滿射）滿映射（滿射）單映射（單射）單映射（單射）一一映射（雙射）一一映射（雙射）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義. Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 則當(dāng)則當(dāng)1)(DDg由上述映射鏈可定義由由上述映射鏈可定

9、義由 D 到到 Y 的的, )(xgfy .),(Dxxgf設(shè)有映射鏈設(shè)有映射鏈記作記作)(1DfY 復(fù)合映射復(fù)合映射 ,時(shí)時(shí),或或)(1DfY )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件構(gòu)成復(fù)合映射的條件 1)(DDg不可少不可少.復(fù)合映射復(fù)合映射三、函數(shù)三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 反函數(shù)反函數(shù) （教材（教材14頁(yè)）頁(yè)） 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

10、束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 In Excel: abs(x)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xysgn當(dāng)當(dāng) x 0,1當(dāng)當(dāng) x = 0,0當(dāng)當(dāng) x 0,1xyo11In Excel: sign(x)奇函數(shù)奇函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8：取整函數(shù)：取整函數(shù)xy 當(dāng)當(dāng)Znnxn,1,nxyo134212In Excel: x=INT(x) 3、函數(shù)的幾種特性、函數(shù)的幾種特性(1) 有界性有界性(2) 單調(diào)性單調(diào)性(3) 奇偶性奇偶性(4) 周期性周期性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3、函數(shù)的幾種特性、函數(shù)的幾種特性定義定義

11、：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù)xxfy, )(1) 有界性有界性x,0M恒有恒有,)(Mxf則稱則稱 )(xf在在 a, b 上為上為有界函數(shù)有界函數(shù).否則稱否則稱)(xf在在 a, b 上為上為無(wú)界函數(shù)無(wú)界函數(shù).Mxf)( MxfMxMy 0My有界函數(shù)必介于直線有界函數(shù)必介于直線My My與與之間。之間。,ba,bayba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在在D上上有上有上(或下）界?；蛳拢┙?。,xD)(xf如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)M(N),有時(shí)還要用到有上界或有下界。上界或有下界。使得對(duì)任意的使得對(duì)任意的),)()(NxfMxf或總有總有則稱則稱函數(shù)函數(shù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D上有上有界時(shí)函數(shù)

12、既有上界、也有下界，界時(shí)函數(shù)既有上界、也有下界， 反之也成立。反之也成立。 但當(dāng)函數(shù)但當(dāng)函數(shù)在在D上只有上界（或有下界）時(shí)，上只有上界（或有下界）時(shí)， 函數(shù)在函數(shù)在D上無(wú)界。上無(wú)界。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)(2 xxf當(dāng)當(dāng)3 ,4x時(shí)，時(shí)，151)(2 xxf則稱則稱)(xf當(dāng)當(dāng)3 ,4x時(shí)為有界函數(shù)。時(shí)為有界函數(shù)。當(dāng)當(dāng)0,)x 不存在正數(shù)不存在正數(shù)M使使( ),fxM則稱則稱)(xf當(dāng)當(dāng)0,)x 時(shí)，為無(wú)界函數(shù)。時(shí)，為無(wú)界函數(shù)。說(shuō)明：說(shuō)明：一個(gè)函數(shù)是否有界與所給的實(shí)數(shù)集密切相關(guān)。一個(gè)函數(shù)是否有界與所給的實(shí)數(shù)集密切相關(guān)。同一個(gè)函數(shù)在不同的實(shí)數(shù)集是否有界的結(jié)論可能不一樣。同一個(gè)函

13、數(shù)在不同的實(shí)數(shù)集是否有界的結(jié)論可能不一樣。例例1 設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)，時(shí)，則稱則稱 f ( x ),(,21baxx21xx 12()(),fxfx 若, )()(21xfxf若則稱則稱 )(xf上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的 ;上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的.xy1x2x(2) 單調(diào)性單調(diào)性定義定義：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù), )(baxxfy且且在在,ba在在,ba單增和單減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單增和單減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1：證明：證明 3xxf內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)。，在的符號(hào)。的符號(hào)。),(,21baxx21xx )()(12xfxf證明函數(shù)證

14、明函數(shù), )(baxxfy且且的單調(diào)性，關(guān)鍵是看的單調(diào)性，關(guān)鍵是看看看機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)(/ )(12xfxf0)(xf時(shí)，判別時(shí)，判別 ( )0)f x （或（或（或（或) 1。或當(dāng) 2xxf內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)。，在0內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)。，在0內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)。，在例例2這說(shuō)明：有時(shí)一個(gè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間這說(shuō)明：有時(shí)一個(gè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間D不是單調(diào)的，不是單調(diào)的，而將而將D分成幾個(gè)小區(qū)間，分成幾個(gè)小區(qū)間， 卻在每個(gè)小區(qū)間上是單調(diào)的，卻在每個(gè)小區(qū)間上是單調(diào)的，這需要分別討論。這需要分別討論。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 奇偶性奇偶性,aax若若, )()(xfxf則稱則稱 f

15、 (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù);若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù). 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在對(duì)稱區(qū)間在對(duì)稱區(qū)間,aa上有定義。上有定義。且滿足且滿足其圖形對(duì)稱于其圖形對(duì)稱于 y 軸。軸。其圖形對(duì)稱于原點(diǎn)。其圖形對(duì)稱于原點(diǎn)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyoxx(3) 奇偶性奇偶性說(shuō)明說(shuō)明: 若若)(xf在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0(f為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)則當(dāng)必有必有為奇函數(shù)為偶函數(shù))()(0)(2)()(xfxfxfxfxf偶倍奇零偶倍奇零機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則此函數(shù)在為偶函數(shù)。則此函數(shù)在為偶函數(shù)。例例2 判

16、斷函數(shù)判斷函數(shù)1)(2xxf的奇偶性。的奇偶性。解解12xxxxfcos,)(2,x 是偶函數(shù)是偶函數(shù)xxxfsin,)(3 是奇函數(shù)是奇函數(shù) xfxf122x例例1：12x xf2).,()(xxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( )f x是定義在是定義在, xa a 上的任意函數(shù)，證明上的任意函數(shù)，證明( )( )()(, )g xf xfxxa a 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。證明證明 對(duì)于任意的對(duì)于任意的(, )xa a ( )g x( )( )()(, )h xf xfxxa a ()()( )gxfxf x( )h x ()()( )hxfxf x( )g x是偶

17、函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。( )h x例例3 設(shè)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。補(bǔ)充：補(bǔ)充：兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和仍是奇（偶）函數(shù)；兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和仍是奇（偶）函數(shù)；之積是偶函數(shù)之積是偶函數(shù); 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (4) 周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(xflxf則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若若稱稱 l 為為周期周期 ( 一般指一般指最小正周期最小正周期 ).周期為周期為 周期為周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如例如, 常量函數(shù)常量

18、函數(shù)Cxf)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求周期函數(shù)的周期的方法求周期函數(shù)的周期的方法：)()(xflxf0)()(xflxf由此等式中解出由此等式中解出 l .例：例：求函數(shù)求函數(shù) xxf3cos的周期的周期 l .解：解：2coslx中 23cosxxf323cosx32xf32l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù) xuufy設(shè)定義： x 的值全部落 的復(fù)合函數(shù)。為則稱xxfy的定義域內(nèi)，的定義域內(nèi)，1),(Duufy,),(Dxxu1)(DD 且則則Dxxfy, )(即：即： 設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱為由稱為由, 確定的確定的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) , u 稱為稱

19、為中間變量中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DD 不可少不可少. uf在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如例如, ,0yuu可定義復(fù)合函數(shù)可定義復(fù)合函數(shù):,2ln2xy 2x1lnvvu)2,(,22xxv或或, 2x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1：設(shè) 21110 xxxexfx求求1 .f x解：211) 1(111011xxxexfx即：即：1020111xxxexfx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1101lnxxxxf求求 f ( x ) .解：lnux 令 100uuf

20、 ueu xexxfx001例例2：已知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 uxe 四四. 初等函數(shù)初等函數(shù)1、 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)2、 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為否則稱為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 例如例如 ,2xy y 0,xx0,xx并可用并可用一個(gè)式子一個(gè)式子表示的函數(shù)表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)有限次有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成驟所構(gòu)成 ,稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù) .可表為可表為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

21、返回 結(jié)束 1、冪函數(shù)、冪函數(shù)01kxky , 00 ,x), 0 x,21xy ,21 xy), 0( x無(wú)論無(wú)論為何值，為何值， 冪函數(shù)在冪函數(shù)在), 0( x內(nèi)總是有定義。內(nèi)總是有定義。反比例函數(shù)：反比例函數(shù)：定義域?yàn)椋憾x域?yàn)椋?( 是常數(shù)xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )( 是常數(shù)xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 冪函數(shù)的圖形和性質(zhì)冪函數(shù)的圖形和性質(zhì)1、圖形都通過(guò)點(diǎn)（、圖形都通過(guò)點(diǎn)（1，1）。）。2、0時(shí)，圖形過(guò)原點(diǎn)，時(shí)，圖形過(guò)原點(diǎn)，且在且在), 0( 內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。3、0時(shí)，圖形在時(shí)，圖形在), 0( 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。圖像特點(diǎn)及性質(zhì)

22、：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)xy2xy21xy10此類函數(shù)的特點(diǎn)是：此類函數(shù)的特點(diǎn)是：底數(shù)均為常數(shù)，底數(shù)均為常數(shù)， 指數(shù)是變量指數(shù)是變量. x定義 xay 1, 0aa稱為稱為指數(shù)函數(shù)，.,x用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中引例三個(gè)函數(shù)的圖形分別為三個(gè)函數(shù)的圖形分別為:它的定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)它的定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)1 , 0 x0yxy2xy10 xy21 ),(10aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)（3）)1( a曲線從左到右逐漸上升。曲線從左到右逐漸上升。) 110(a曲線從左到右逐漸下降。曲線從左到右逐漸下降。但與但與 x 軸不相交軸不相交.(4)xay x

23、ay)(1與與的圖形對(duì)稱于的圖形對(duì)稱于 y 軸軸. 0 xy )1 , 0(1aayxxay)1(（1）圖形在）圖形在 x 軸的上方軸的上方0y.,x（2）圖形均過(guò)點(diǎn)）圖形均過(guò)點(diǎn)1 , 0性質(zhì)：110a(,)x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3、 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義對(duì)數(shù)函數(shù)的定義1 , 0 x0yxy2xy10 xy21) 1, 0(logaaxyaxay 的反函數(shù)記為的反函數(shù)記為稱為稱為對(duì)數(shù)函數(shù),., 0 xxy21logxy2logxylgxy 0 , 1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xay 與對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog互為反函數(shù)?；榉春瘮?shù)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0 , 1( 對(duì)

24、數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2、圖形在、圖形在 y 軸的右方軸的右方0 x1、圖形均過(guò)點(diǎn)、圖形均過(guò)點(diǎn)1,0 .(4)xyalogxya1log與與的圖形對(duì)稱于的圖形對(duì)稱于 x軸軸.1a10 a不與不與 y 軸相交。軸相交。曲線從左到右逐漸上升。曲線從左到右逐漸上升。曲線從左到右逐漸下降。曲線從左到右逐漸下降。3、10 x0y1x,0 yxyalog10logaxya1a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別：自然對(duì)數(shù)函數(shù)特別：自然對(duì)數(shù)函數(shù)1 , 0 xey xylnxey 的反函數(shù)記為的反函數(shù)記為稱為稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù),., 0 xx0yxylnxy 0 , 1xey xyln互為反函數(shù)。互為反

25、函數(shù)。與與機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1：驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) ，在 0lnxxxf是單調(diào)增加的。是單調(diào)增加的。證：, 0,21xx且且21xx 12xfxf)(ln)(ln1122xxxx)(ln1212xxxx012xfxf ，在 0lnxxxf是單調(diào)增加的。是單調(diào)增加的。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則此函數(shù)為奇函數(shù)則此函數(shù)為奇函數(shù)判斷函數(shù)判斷函數(shù))1(ln)(2xxxf的奇偶性的奇偶性.解1ln2xx xfxf01ln 12xx例例2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4、三角函數(shù)、三角函數(shù)xysinxysin1、1sinx,x是有界函數(shù)；是有界函數(shù)；xxsinsin.

26、2是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，4、周期、周期2T3、2,2x是單增函數(shù)；是單增函數(shù)；此為最小周期。此為最小周期。圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；值域值域: -1, 1（1）正弦函數(shù)的性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （2）余弦函數(shù)的性質(zhì)）余弦函數(shù)的性質(zhì)xycos,xxycos1、1cosx是有界函數(shù)；是有界函數(shù)；xxcoscos. 2是偶函數(shù)對(duì)稱于是偶函數(shù)對(duì)稱于y 軸；軸；4、周期、周期2 .T3、, 0 x是單減函數(shù)；。是單減函數(shù)；。值域值域: -1, 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tanyx （3）正切函數(shù)）正切函數(shù),x2 kx2,1, 0kxy0222323機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

27、頁(yè) 返回 結(jié)束 sincosxx xytan正切函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)的性質(zhì),x2,1, 02kkx（1）在定義域中是無(wú)界函數(shù)；）在定義域中是無(wú)界函數(shù)；（2）是奇函數(shù)；）是奇函數(shù)；（3）在）在2,2內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；（4）周期為）周期為.Txy0222323xycot（4）余切函數(shù)）余切函數(shù),x2,1, 0kkx性質(zhì)：（1）在定義域）在定義域（2）是奇函數(shù)；）是奇函數(shù)；（3）在）在, 0內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；（4）周期為）周期為.l中是無(wú)界函數(shù)；中是無(wú)界函數(shù)；xy02cossinxx xysecxysec（5）正割函數(shù)）正割函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1cos

28、x xycscxycsc（6）余割函數(shù)）余割函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1sin x 5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系在其定義域內(nèi)是單值的，三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系在其定義域內(nèi)是單值的，但是，但是，它們的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是多值的。它們的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是多值的。根據(jù)反函數(shù)的根據(jù)反函數(shù)的定義，定義，三角函數(shù)在其定義域內(nèi)是沒(méi)有反函數(shù)的。三角函數(shù)在其定義域內(nèi)是沒(méi)有反函數(shù)的。如果把三角函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，如果把三角函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，使在每個(gè)區(qū)間函數(shù)的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的。使在每個(gè)區(qū)間函數(shù)的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的。那么，那么，三角函數(shù)在這些區(qū)間內(nèi)都分別存在反函數(shù)。三角函數(shù)在這些區(qū)間內(nèi)都分別存在反函數(shù)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyarcsin（1 1）反正弦函數(shù)的定義）反正弦函數(shù)的定義xysin正弦函數(shù)正弦函數(shù)2,2x 1 , 1yx0y1122反正弦函數(shù)反正弦函數(shù) 1 , 1