2009年北京市海淀區(qū)二模理科數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1、海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù)學(xué)（理科） 2009.05一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng). （1）已知集合，集合，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）某行業(yè)主管部門所屬的企業(yè)有800家，按企業(yè)固定資產(chǎn)規(guī)模分為大型企業(yè)中型企業(yè)小型企業(yè). 大中小型企業(yè)分別有80家，320家和400家，該行業(yè)主管部門要對所屬企業(yè)的第一季度生產(chǎn)狀況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，共抽查100家企業(yè). 其中大型企業(yè)中應(yīng)抽查 （ ）（A）家 （B）家 （C）家 （D）家（3）若，則 （ ） （A） （B）（C） （D） （4）在中，所對的邊長分別為，如

2、果，那么一定是（ ）（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形（5）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線恒過定點(diǎn) （ ）（A） （B） （C） （D） （6）某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰.那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為 （ ）（A）360 （B）520 （C）600 （D）720 （7）在棱長均為2的正四棱錐中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列命題正確的是 （ ） （A）平面，且到平面的距離為 （B）平面，且到平面的距離為（C）與平面不平行，且與平面所成的角大于 （D）與平面不平行，且與平面所成的角

3、小于（8）已知點(diǎn)是矩形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是 （ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.（9）已知等比數(shù)列中，那么的值為 . （10）已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是 . （11）已知，則的值等于_ _ .（12）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，且導(dǎo)函數(shù)有最小值，則 ， . （13）以雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條準(zhǔn)線相切，則該雙曲線的離心率為 .（14）下圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端

4、點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖3.圖3中直線與x軸交于點(diǎn)，則m的象就是n，記作.圖1圖2圖3（）方程的解是 ；（）下列說法中正確命題的序號是 .（填出所有正確命題的序號）； 是奇函數(shù)； 在定義域上單調(diào)遞增； 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.（15）（本小題共13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，, （，）.且，成等差數(shù)列.（）求的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（16）（本小題共13分）檢測部門決定對某市學(xué)校教室的空氣質(zhì)量進(jìn)行檢測，空氣質(zhì)量分為A、B、C三級. 每間教室的檢測方式

5、如下：分別在同一天的上、下午各進(jìn)行一次檢測，若兩次檢測中有C級或兩次都是B級，則該教室的空氣質(zhì)量不合格. 設(shè)各教室的空氣質(zhì)量相互獨(dú)立，且每次檢測的結(jié)果也相互獨(dú)立. 根據(jù)多次抽檢結(jié)果，一間教室一次檢測空氣質(zhì)量為A、B、C三級的頻率依次為. （）在該市的教室中任取一間，估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率；（）如果對該市某中學(xué)的4間教室進(jìn)行檢測，記在上午檢測空氣質(zhì)量為A級的教室間數(shù)為，并以空氣質(zhì)量為A級的頻率作為空氣質(zhì)量為A級的概率，求的分布列及期望.（17）（本小題共14分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn)，且（）求證：平面平面；（）求證：；（）求二面角的大小. （18

6、）（本小題共13分）已知：函數(shù)（其中常數(shù)）.（）求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；（）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍（19）（本小題共13分）已知拋物線C:，過定點(diǎn)，作直線交拋物線于（點(diǎn)在第一象限）. （）當(dāng)點(diǎn)A是拋物線C的焦點(diǎn)，且弦長時(shí)，求直線的方程； （）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，且.求證：點(diǎn)B的坐標(biāo)是并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.（20）（本小題共14分）已知定義域?yàn)椋瑵M足：；對任意實(shí)數(shù)，有.（）求，的值；（）求的值；（）是否存在常數(shù)，使得不等式對一切實(shí)數(shù)成立.如果存在，求出常數(shù)的值；如果不存在，請說明理由.海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù)學(xué)（理科） 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

7、2009.05一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）ACDDB CDC二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）62 （10）2 （11） （12）2，（13） （14），三、解答題（本大題共6小題,共80分）(15)（本小題共13分）解：（）（），（）. 1分，成等差數(shù)列， . 3分. 5分. 6分（）由（）得（）.數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列. 8分. 10分當(dāng)時(shí)，. 12分當(dāng)時(shí)，上式也成立. 13分（）.（16）（本小題共13分）解：（）該間教室兩次檢測中，空氣質(zhì)量均為A級的概率為.2分該間教室兩次檢測中，空氣質(zhì)量一次為

8、A級，另一次為B級的概率為. 4分設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則 5分. 6分答：估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為.（）由題意可知，的取值為0，1，2，3，4. 7分.隨機(jī)變量的分布列為：01234 12分解法一：. 13分解法二：，. 13分（17）（本小題共14分）（）證明：設(shè)的中點(diǎn)為.在斜三棱柱中，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn), 平面ABC. 1分平面，. 2分，.，平面. 4分平面， 平面平面. 5分解法一：（）連接，平面，是直線在平面上的射影. 5分，四邊形是菱形. 7分. 9分（）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接.，平面.是二面角的平面角. 11分設(shè)，則，.平面，平面，.在中，可求.

9、，. 13分.二面角的大小為. 14分解法二：（）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，則平面ABC.以為原點(diǎn)，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，由題意可知，.設(shè)，由，得7分. 又. 9分（）設(shè)平面的法向量為.則.設(shè)平面的法向量為.則. 12分. 13分二面角的大小為. 14分（18）（本小題共13分）解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?1分. 3分由，解得.由，解得且的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 6分（）由題意可知，且在上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立 7分若即時(shí)，xa+1-0+極小值在上的最小值為則，得 10分若即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為由得（舍） 12分綜上所述， 13分（19）（本小題共13分）解：（）由拋物線C:得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，. 1分由得.所以，.因?yàn)椋?3分所以.所以.即.所以直線的方程為：或. 5分（）設(shè)，則. 由得.因?yàn)?，所以? 7分 （）設(shè)，則. 由題意知：，.即. 顯然 9分（）由題意知：為等腰直角三角形，即，即. .，. 11分 .即的取值范圍是. 13分（20）（本小題共14分）解：（）取，得，即.因?yàn)?，所? 1分取，得.因?yàn)?，所?取，得，所以. 3分（）在中取得.所以.在中取，得.在中取，得.所