二元一次方程組的圖象解法（課例）

1、二元一次方程組的圖象解法課例素質(zhì)教育提出以學(xué)生為主體 ,教師為主導(dǎo) ,教材為主線 ,在教學(xué)中要真正表達(dá)學(xué)生的主體性 ,就必須使認(rèn)知過程是一個再創(chuàng)造的過程 ,使學(xué)生在自覺、主動、深層次的參與過程中 ,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用 ,在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)。相比擬傳統(tǒng)教學(xué) ,創(chuàng)設(shè)問題情境 ,使學(xué)生產(chǎn)生明顯的意識傾向和情感共鳴 ,是主體參與的條件和關(guān)鍵。變式教學(xué) ,是實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效、培優(yōu)提差的有效教學(xué)手段?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。能力目標(biāo)：通過學(xué)生的思考和操作,力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系,引入二元一次方程組圖象解法,同

2、時培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力。情感目標(biāo)：通過學(xué)生的自主探索,提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系,加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)要求：1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。難點(diǎn)突破：經(jīng)歷觀察、思考、操作、探究、交流等數(shù)學(xué)活動 ,培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力 ,并體會方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系 ,即數(shù)形結(jié)合思想?！窘虒W(xué)過程】一、學(xué)前先思師：請同學(xué)們思考 ,我們已經(jīng)學(xué)過的二元一次方程組的解法有哪些?生：代入消元法、加減消元法。師：請你猜想還有其他的解法嗎?生：(小聲議論 ,有人提出圖象解法)師：看來的同學(xué)似乎已經(jīng)提前做了預(yù)

3、習(xí)工作 ,很好!那么對于課題二元一次方程組的圖象解法 ,你想提什么問題?生：二元一次方程組怎么會有圖象?它的圖象應(yīng)該怎樣畫?生：二元一次方程組的圖象解法怎么做?師：同學(xué)們都問得很好!那你有喜歡的二元一次方程組嗎?生：(比擬害羞)師：看來大家比擬害羞 ,那么請大家把各自喜歡的二元一次方程組留在心里。讓我們帶著同學(xué)們提出的問題從二元一次方程開始今天的學(xué)習(xí)。二、探究導(dǎo)學(xué)題目：判斷上面幾組解中哪些是二元一次方程 的解?生： 和 不是 ,其余各組均是方程 的解。師：請?jiān)趯W(xué)案上的直角坐標(biāo)系中先畫出一次函數(shù) 的圖象 ,再標(biāo)出以上述的方程的解中 為橫坐標(biāo) , 為縱坐標(biāo)的點(diǎn) ,思考：二元一次方程 的解與一次函數(shù)

4、 圖象上的點(diǎn)有什么關(guān)系?生：我發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解就是相對應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)。師：很好!反過來 ,請問：一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否是與其相對應(yīng)的二元一次方程的解呢?生：是的。并且二元一次方程的解中的 、 的值就是相對應(yīng)的一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的值。三、穩(wěn)固根底師：非常好!那下面的題目你會解嗎?(學(xué)生讀題)題目：方程 有一個解是 ,那么一次函數(shù) 的圖象上必有一個點(diǎn)的坐標(biāo)為_.生：(2 ,1)(學(xué)生讀題)題目：一次函數(shù) 的圖象上有一個點(diǎn)的坐標(biāo)為(3 ,2) ,那么方程 必有一個解是_.生：師：你能把下面的二元一次方程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的一次函數(shù)嗎?(學(xué)生讀題)把以下二元一次方程轉(zhuǎn)化成 的

5、形式：(1) (2)生：第(1)題利用移項(xiàng) ,得到 ,所以第(2)題利用移項(xiàng) ,得到 ,兩邊同時除以2 ,所以四、感悟提升師：如果將 和 組成二元一次方程組 ,你能用代入消元法或者加減消元法求出它的解嗎?生：能 ,我算出師：很好!你能在同一直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù) 與 的圖象嗎?生：可以。(動手在學(xué)案上畫圖)師：觀察兩條直線的位置關(guān)系 ,你有什么發(fā)現(xiàn)?生：我發(fā)現(xiàn)這兩條直線相交 ,并且交點(diǎn)坐標(biāo)是(2 ,1)。師：通過以上活動 ,你能得到什么結(jié)論?生：我發(fā)現(xiàn)剛剛求出的二元一次方程 的解 剛好就是一次函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)(2 ,1)。師：很好!你能抽象成一般的結(jié)論嗎?生：如果兩個一次函數(shù)的圖象

6、有一個交點(diǎn) ,那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解。師：非常好!用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組的方法就是我們今天要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的圖象解法。師：你能學(xué)以致用嗎?y=2x-5y=-x+1題目：如圖 ,方程組 的解是_.生：根據(jù)圖象可知：一次函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)是(2 ,-1) ,因此 ,方程組 的解是 。師：答復(fù)得真棒!五、例題教學(xué)例題：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組 。師：請大家在學(xué)案的做中感悟欄內(nèi)上大膽地寫出解題過程。生：(投影展示解題過程)略。師：很好!讓我們一起來看一下老師準(zhǔn)備的解題過程(略)師：你能就此歸納出二元一次方程組的圖象解法的一般步驟嗎?生：先將二元一次方程

7、組中的方程化成相應(yīng)的一次函數(shù) ,然后畫出一次函數(shù)的圖象 ,找出它們的交點(diǎn)坐標(biāo) ,就可以得出二元一次方程組的解。師：非常好!我們可以用12個字的口訣來記住剛剛同學(xué)的步驟：變函數(shù) ,畫圖象 ,找交點(diǎn) ,寫結(jié)論。師：接下來請同學(xué)們在學(xué)案上的穩(wěn)固強(qiáng)化欄內(nèi)利用圖象解法求出你心里埋你所喜歡的二元一次方程組的解。生：(各自動手操作 ,教師展示學(xué)生求解過程)師：觀察你作的圖象 ,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?生：我發(fā)現(xiàn)有些一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)比擬容易看出來 ,而有些一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)不容易看出來是多少。師：是的 ,所以在這里老師需要說明的是我們用圖象法求解一元二次方程組的解得到的是近似解。師：請大家比擬一下 ,二元一次方程組

8、的圖象解法和我們以前學(xué)過的代數(shù)解法代入消元法、加減消元法相比 ,那種方法簡單一些?生：代入消元法、加減消元法簡單。師：二元一次方程組的圖象解法既不比代數(shù)解法簡單 ,且得到的解又是近似的 ,為什么我們還要學(xué)習(xí)這種解法呢?原因有以下幾個方面：一是要讓我們學(xué)會從多種角度思考問題 ,用多種方法解決問題;二是說明了數(shù)與形存在著這樣或那樣的密切聯(lián)系 ,有時我們要從數(shù)的角度去考慮形的問題 ,有時我們又要從形的角度去考慮數(shù)的問題 ,這里是從形的角度來考慮數(shù)的問題;三是為了以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要。師：看來大家都很愛動腦筋 ,那么接下來我們將例題加以變化。六、例題變式題目：用圖象法求解二元一次方程組 時 ,兩條直線

9、相交于點(diǎn)(2 ,-4) ,求一次函數(shù) 的關(guān)系式。師：請一位同學(xué)來分析一下。生：由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(2 ,-4)可知 ,二元一次方程組 的解就是 ,把 代入到二元一次方程組 中 ,可得： ,解得 ,所以一次函數(shù)的關(guān)系式為 。師：非常好!七、感悟歸納師：再請同學(xué)們思考 ,如果二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn) ,那么所對應(yīng)的二元一次方程組的解是什么呢?生：我想如果二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn) ,那么所對應(yīng)的二元一次方程組應(yīng)該無解。八、拓寬提升題目：不畫函數(shù)的圖象 ,判斷以下兩條直線是否有交點(diǎn)?它們的位置關(guān)系如何?每組一次函數(shù)中的 有什么關(guān)系?(1) 與 ;(2) 與師：

10、你會怎樣分析這道題?生：我們只要求解一下由這兩個一次函數(shù)所組成的二元一次方程組的解的情況就可以判斷兩條直線的位置關(guān)系。如果方程組有解 ,那么相應(yīng)的兩條直線就是相交 ,如果方程組無解 ,那么相應(yīng)的兩條直線就是平行的位置關(guān)系。師：很好!抽象成一般結(jié)論怎樣表達(dá)?生：對于直線 與 ,當(dāng) 時 ,兩直線平行;當(dāng) 時 ,兩直線相交。九、例題再探題目：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組問：(1)這兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系?(2)這兩個一次函數(shù)的 有何特殊的關(guān)系?(3)由此 ,你能得出怎樣的結(jié)論?師：哪位同學(xué)來嘗試一下?生：(1)這兩條直線是垂直的位置關(guān)系;(2)這兩個一次函數(shù)的 相乘的結(jié)果等于-1;(3)

11、仿照剛剛的結(jié)論 ,我得出的結(jié)論是：對于直線 與 ,當(dāng) 時 ,兩直線垂直。師：太棒了!那下面的這一題你會做嗎?題目：直線 和直線(1) 假設(shè) ,求 的值;(2) 假設(shè) ,求垂足的坐標(biāo)。師：誰來試一下?生：由前面的結(jié)論我們可以得出 ,如果 ,那么 ,解得： ;如果 ,那么 ,解得 ,將 代入二元一次方程組 ,可得 ,求出方程組的解就可以得出垂足的坐標(biāo)。十、學(xué)會創(chuàng)新師：請你根據(jù)這節(jié)課中的例題(或習(xí)題)在學(xué)案中編(或出)一道題?？凑l出的題新穎、精妙!生：(暢所欲言 ,踴躍嘗試)十一、小結(jié)與思考師：(1)這節(jié)課你學(xué)到了什么?(2)你還存在哪些疑問?生：(分組討論 ,代表發(fā)言總結(jié))【設(shè)計(jì)說明】本節(jié)課的兩個

12、知識點(diǎn)：二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系 ,二元一次方程組的圖象解法對于學(xué)生來說都是難點(diǎn)。就本節(jié)課而言 ,前者較為重要 ,后者難度較大。確定本節(jié)課的重點(diǎn)為前者 ,是因?yàn)閷W(xué)生必須首先理解二元一次方程和一次函數(shù)在數(shù)與形兩方面的聯(lián)系 ,在此根底上才能解決好后面的難點(diǎn)。在重難點(diǎn)的處理上 ,為了解決學(xué)生對重點(diǎn)的理解 ,用一組二元一次方程組串起一節(jié)課 ,加以變式 ,既使得學(xué)生理解了重點(diǎn)內(nèi)容 ,又為后面的難點(diǎn)突破留下了一定的時間和空間。本節(jié)課的教學(xué) ,主要以問題為線索 ,注重引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、獨(dú)立思考、認(rèn)真操作、分組討論、合作交流、師生互動 ,這對本節(jié)課的重難點(diǎn)的突破還是有效的 ,同時也表達(dá)了新課改提倡的學(xué)生的

13、自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的培養(yǎng)。另外 ,對利用二元一次方程組的解判斷直線的位置關(guān)系作為補(bǔ)充 ,滲透數(shù)形結(jié)合思想 ,也對教學(xué)目標(biāo)中的情感態(tài)度和價值觀的又一方面表達(dá)。【教學(xué)反思】這節(jié)課以回憶、先思為先導(dǎo) ,以操作、思考為手段 ,以數(shù)、形結(jié)合為要求 ,以引導(dǎo)探究 ,變式拓寬為主線 ,從舊知引入 ,自然過渡、不落痕跡。首先提出學(xué)生所熟知的二元一次方程并討論其解的情況 ,為后面探究二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系作了必要的準(zhǔn)備 ,結(jié)構(gòu)安排自然、緊湊。在操作中 ,提出問題、深化認(rèn)識。一切知識來自于實(shí)踐。只有實(shí)踐 ,才能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題;只有實(shí)踐 ,才能把握知識、深化認(rèn)識。先讓學(xué)生畫出一次函數(shù)的圖象 ,

14、在畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上。在應(yīng)用結(jié)論探索一元二次方程組的圖象解法時 ,也是在操作中來發(fā)現(xiàn)問題。這樣 ,就給了學(xué)生充分體驗(yàn)、自主探索知識的時機(jī);使他們在自主探索、合作交流中找到了快樂 ,深化了認(rèn)識。以能力培養(yǎng)為核心 ,引導(dǎo)探究為主線 ,數(shù)、形結(jié)合為要求。能力培養(yǎng) ,特別是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是新課程關(guān)注的焦點(diǎn)。能力培養(yǎng)是以自主探究為平臺。自主不是一盤散沙 ,探究不是漫無邊際。要提高探究的質(zhì)量和效益必須在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行。為到達(dá)這一目的 ,教案中設(shè)計(jì)了探究導(dǎo)學(xué)、例題變式、例題再探、學(xué)會創(chuàng)新和拓展提升。新課程理念指出：教師是課程的研究者和開發(fā)者。這就要求我們：在

15、新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下 ,認(rèn)真研究教材 ,體會教材的編寫意圖。在此根底上 ,設(shè)計(jì)出既表達(dá)課程精神 ,又適合本班學(xué)生實(shí)際的教學(xué)案例。本節(jié)課前半局部時間有些慢 ,后半局部例題再探和學(xué)會創(chuàng)新時間不夠。建議有針對性的學(xué)生板演多一點(diǎn) ,進(jìn)一步加強(qiáng)雙基的落實(shí)。【同伴點(diǎn)評】本節(jié)課教師創(chuàng)設(shè)問題情境 ,引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、操作、探究、合作交流。問題的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn) ,通過問題的逐一解決 ,師生最終形成共識 ,到達(dá)了揭示二元一次方程組與一次函數(shù)的圖象關(guān)系的目的。(李曉紅)在例題教學(xué)及學(xué)生動手嘗試時 ,教師在學(xué)生大膽嘗試之后給出解題過程 ,強(qiáng)調(diào)了解題的標(biāo)準(zhǔn)性 ,有利于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度。同時強(qiáng)調(diào)了由于二元一次方

16、程組的圖象解法得到的解往往是近似的 ,因此必須檢驗(yàn)。教師對學(xué)習(xí)二元一次方程組的圖象解法的必要性的解釋 ,是非常有必要的 ,這一解釋解決了學(xué)生的疑惑 ,同時也滲透了數(shù)形結(jié)合思想 ,也是教學(xué)目標(biāo)中的情感態(tài)度和價值觀的表達(dá)。對于這一解釋 ,相當(dāng)一局部教師在這一節(jié)課中并沒有很好解決。這一處理方法值得他人借鑒。(丁葉謙)其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點(diǎn)時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點(diǎn)時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水