復(fù)合函數(shù)和逆函數(shù)

1、 一、復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)定義定義 5.2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 和和 ，則，則 f和和g 的復(fù)合函數(shù)是一個(gè)從的復(fù)合函數(shù)是一個(gè)從 A到到 C的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為 且且 。gf :g BC:fAB, ()( )( ( ) aAgfag f a 注注 函數(shù)及函數(shù)的復(fù)合都是關(guān)系的特例，但注意：函數(shù)及函數(shù)的復(fù)合都是關(guān)系的特例，但注意： 和和 若看作關(guān)系的復(fù)合應(yīng)該記若看作關(guān)系的復(fù)合應(yīng)該記為為 ，現(xiàn)在用記號，現(xiàn)在用記號 表示函數(shù)的復(fù)合是出表示函數(shù)的復(fù)合是出于尊重長期習(xí)慣，聯(lián)系上下文一般不會混淆。于尊重長期習(xí)慣，聯(lián)系上下文一般不會混淆。定理定理5.2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 則則 ，即函數(shù)的復(fù)合滿足結(jié)合，即函數(shù)的

2、復(fù)合滿足結(jié)合律。律。 三個(gè)函數(shù)的復(fù)合通常省略括號而寫成三個(gè)函數(shù)的復(fù)合通常省略括號而寫成:fAB:g BCfg gf :,:,:fAB g BC h CD()() hgfhgf h gf 例例5.2.1 設(shè)設(shè) f 和和 g 均為均為R R的函數(shù)，的函數(shù)， ， 則則復(fù)合不滿足交換律復(fù)合不滿足交換律定理定理 5.2.2 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) 和和 ，那么，那么如果如果 f 和和 g 都是單射都是單射(滿射，雙射滿射，雙射)，那么，那么 也是單射也是單射(滿射，雙射滿射，雙射) 。2( )f xx ( )1g xx 2( )(1)(1)fg xfxx 22( )()1gf xg xx fggf :f AB

3、:g BCgf 定理定理 5.2.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 和和 ，那么，那么（1）如果是）如果是 單射，那么是單射，那么是 f 單射。單射。（2）如果是）如果是 滿射，那么是滿射，那么是 g 滿射。滿射。（3）如果是）如果是 雙射，那么是雙射，那么是 f 單射單射, , 是是 g 滿射滿射.:g BC:f ABgf gf gf 例：例：(1)設(shè)設(shè) ，則，則 ，是單射。，是單射。(2)設(shè)設(shè) ，則，則 ，是，是滿射。滿射。 ( ), ( )sinxf xeg xxx ( )sinxxgf xee 例：例：(1)設(shè)設(shè) ，則，則 ，是單射。，是單射。2( ), ( )xf xeg xx 2( )xgf xe 定義定義5.2.2 設(shè)設(shè) 是雙射，則逆關(guān)系是雙射，則逆關(guān)系 稱為稱為 f 的逆函數(shù)，記做的逆函數(shù)，記做 ，并稱，并稱 f 是可逆的。是可逆的。且有且有定理定理5.2.4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是可逆的，則是可逆的，則（1）（2）（3）1f :g BA:f AB1,( )(