數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——微積分基礎(chǔ)-文檔資料

1、補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202211、函數(shù)、函數(shù))(xfy 23 xxfy)(自變量、因變量、常量、自變量、因變量、常量、一元函數(shù)、多元函數(shù)一元函數(shù)、多元函數(shù)),(tzyxfF 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202222、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)2.1 極限極限axfxx)(lim01232xxxxfy)(例：例：231123xxxx)(5123211xxxxfxxlim)(lim補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202232.2 函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(xfy xy靜態(tài)靜態(tài)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)yx ,增量，可正、可負(fù)增量，可正、可負(fù)xxfxxfxy)

2、()(00平均變化率平均變化率補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/20224xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)( 0000y對(duì)對(duì)x的微商或?qū)?shù)的微商或?qū)?shù))(,xfdxddxdfdxdy其他表示：其他表示：二階導(dǎo)的表示：二階導(dǎo)的表示：)( )()( xfdxddxdydxddxydxfy22高階導(dǎo)以此類推高階導(dǎo)以此類推補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202252.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線的切線曲線的切線:P1P0時(shí)，時(shí)，0 xyMPMP 01tan 10PP割線割線 的斜率的斜率P1P0時(shí)時(shí)割線斜率的極限割線斜率的極限)( limtanlim

3、tanxfxyxPP 0001 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202263、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3.1 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算0lim)()(lim()()1(00 xCCxxfxxfyCxfyxx常量）常量）1)( )()2( xfyxxfyxxfyxxfy2)( )()3(2 233)( )()4(xxfyxxfy 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/20227211)()5(xyxxfy xxfyxxfy21)( )()6( 為任何數(shù)為任何數(shù)nnxdxdxyxynnn1 結(jié)論結(jié)論其它常用其它

4、常用求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式xxexfexfxxfxxfxxfxxfxxfxxf )( )(1)( ln)(sin)( cos)(cos)( sin)(補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202283.2 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)定理導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)定理定理一定理一 dxdvdxduxvxudxd )()(定理二定理二 dxdvxudxduxvxvxudxd)()()()( 定理三定理三2)()()()()(xvdxdvxudxduxvxvxudxd 定理四定理四dxdvdvduxvudxd )(補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/20229例題例題為為常常數(shù)數(shù)）的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、求求aaxy

5、(122 為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。、求、求aaxy(ln2 為為常常數(shù)數(shù)）的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。、求求aaxy(32 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、求求xexy24 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。、求、求152352 xxy補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202210為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。、（、求、求babaxy)cos(6的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。、求、求172xy為為常常量量）的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。（、求求aexyax228補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022114 4、微分、微分4.1 4.1 自變量的微分自變量的微分自變量的無(wú)限小增量自變量的無(wú)限小增量dxx 4.2 4.2 函數(shù)的微分函

6、數(shù)的微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分dxxfdy)( dxdyxf )( 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022125 5、積分、積分5.1.1 5.1.1 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)算質(zhì)點(diǎn)走的路程質(zhì)點(diǎn)走的路程batt ttvttvttvttvsnab )()()()(321).()(),(),(,nbnaabtvtvtvtvtntttttttt 321321個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻的的速速度度分分別別為為段段，每每段段間間隔隔分分成成被被間間隔隔 1iittv)()(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：以以 為高的各小矩形面積之和。為高的各小

7、矩形面積之和。iv5.1 5.1 兩個(gè)例子兩個(gè)例子補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202213 niintabttvs10)(lim)(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：曲線下的面積。曲線下的面積。區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi))(tvttab 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022145.1.2 5.1.2 變力做功變力做功設(shè)力與物體運(yùn)動(dòng)方向一致，力與位置函數(shù)關(guān)系如設(shè)力與物體運(yùn)動(dòng)方向一致，力與位置函數(shù)關(guān)系如圖，求物體從圖，求物體從處處力力對(duì)對(duì)其其所所做做的的功功。到到bassasbss)(sFO.)(:)(,ssFAsFsnssiiab 隔內(nèi)力做功為隔內(nèi)力做功為為恒量，

8、在每個(gè)小間為恒量，在每個(gè)小間間隔中視間隔中視在每個(gè)小在每個(gè)小等分，間隔為等分，間隔為將將 niissFA1)(之之間間所所做做功功為為：到到力力從從bass niinsssFA10)(lim補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022155.2 5.2 定積分定積分)(xfy 來(lái)來(lái)表表示示。即即：可可用用符符號(hào)號(hào)則則當(dāng)當(dāng)間間隔隔為為等等分分，每每小小段段將將其其取取自自變變量量區(qū)區(qū)間間 baniinxdxxfxxfxnba)(,)(lim,10 niinxbaxxfdxxf10)(lim)(被積函數(shù)被積函數(shù)上下限上下限)(xfba,補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2

9、02216 babassttdssFAdttvs)()(例：例：補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202217積分定理積分定理( )( )( )( ),( )( )( )( )( )baf xxf xxxaxbf xxxf x dxba 如果被積函數(shù)是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即則在到區(qū)間內(nèi)對(duì) 的定積分等于在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增量，即補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022185.3 5.3 不定積分及其運(yùn)算不定積分及其運(yùn)算函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)不唯一函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)不唯一逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)的的稱為稱為，則，則若若)()()( )(xfxxxf 函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分函數(shù)逆導(dǎo)

10、數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分 Cxdxxf)()(補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202219基本不定積分公式基本不定積分公式函數(shù)函數(shù) 不定積分不定積分 )(xf dxxf)()(1 nxnCnxn 11xsinCx cosxcosCx sinx1Cx |lnxeCex 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/202220積分運(yùn)算定理積分運(yùn)算定理 dxxuadxxfaxauxf)()()()(為為常常數(shù)數(shù)），則則（一一、如如果果 dxxvdxxudxxfxvxuxf)()()(),()()(則則二二、如如果果 dvvudxxvvudxxfxvvuxf)()( )()(),( )()(則則三三、如如果果補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí) 微積分初步微積分初步3/16/2022215.4 5.4 通過(guò)不定積分計(jì)算定積分通過(guò)不定積分計(jì)算定積分)()()()()