第2章 線性變換(矩陣論)

1、第第2 2章章 線性變換線性變換 在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中起著重要作用的是線性在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中起著重要作用的是線性空間到線性空間的映射，并且這些映射有一個(gè)共同點(diǎn)，即空間到線性空間的映射，并且這些映射有一個(gè)共同點(diǎn)，即保持加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算，我們稱這樣的映射為線性映保持加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算，我們稱這樣的映射為線性映射本章討論線性空間到線性空間的線性映射，著重討論射本章討論線性空間到線性空間的線性映射，著重討論線性空間到自身的線性映射線性空間到自身的線性映射線性變換，并建立它們和矩線性變換，并建立它們和矩陣之間的聯(lián)系陣之間的聯(lián)系 2.1 線性變換的概念線性變換的概念 顯然，線性映射與第章線

2、性空間中同構(gòu)映射相比，線顯然，線性映射與第章線性空間中同構(gòu)映射相比，線性映射就是保持線性運(yùn)算的映射，他不要求是雙射，而線性性映射就是保持線性運(yùn)算的映射，他不要求是雙射，而線性變換是線性空間到自身的線性映射變換是線性空間到自身的線性映射 2.1.1 線性變換的定義線性變換的定義2.1.2 線性變換的性質(zhì)線性變換的性質(zhì) 注意注意 性質(zhì)性質(zhì)3的逆命題不成立，即線性變換可能將線性無(wú)的逆命題不成立，即線性變換可能將線性無(wú)關(guān)向量組變成線性相關(guān)向量組例如，零變換把任何線性無(wú)關(guān)向量組變成線性相關(guān)向量組例如，零變換把任何線性無(wú)關(guān)向量組都變成線性相關(guān)向量組關(guān)向量組都變成線性相關(guān)向量組 2.2 線性變換的運(yùn)算線性變

3、換的運(yùn)算 定理定理2.2.1 對(duì)于上述加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域上的一個(gè)對(duì)于上述加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域上的一個(gè)線性空間線性空間 對(duì)于線性變換，還可以定義下列幾種基本運(yùn)算對(duì)于線性變換，還可以定義下列幾種基本運(yùn)算 2.3 線性變換的矩陣線性變換的矩陣2.3.1 預(yù)備定理預(yù)備定理2.3.2 線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示 該定理說(shuō)明，線性空間該定理說(shuō)明，線性空間V中的線性變換中的線性變換T在兩個(gè)不同基下在兩個(gè)不同基下的矩陣是相似的反過(guò)來(lái)也可以證明，兩個(gè)相似矩陣總可以的矩陣是相似的反過(guò)來(lái)也可以證明，兩個(gè)相似矩陣總可以看成某一線性變換在兩個(gè)不同基下的矩陣看成某一線性變換在兩個(gè)不同基下的矩陣2.4 正交變換與酉變換正交變換與酉變換 在內(nèi)積空間中有一種特殊的線性變換，它保持向量的內(nèi)在內(nèi)積空間中有一種特殊的線性變換，它保持向量的內(nèi)積不變，這種變換稱為酉（正交）變換積不變，這種變換稱為酉（正交）變換2.4.