第五章+約束優(yōu)化計(jì)算方法

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第五章 約束優(yōu)化計(jì)算方法5.1 引言5.2 隨機(jī)方向搜索法5.3 復(fù)合形法5.4 懲罰函數(shù)法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)5.1 引言引言 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為12min( ), ,. .( )0 (1,2,)( )0(1,2, )Tnijfx xxst gimhjpxxxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 上一章討論的都是無約束條件下非線性函數(shù)的尋上一章討論的都是無約束條件下非線性函數(shù)的尋優(yōu)方法，但在實(shí)際工程中大部分問題的變量取值都有優(yōu)方法，但在實(shí)際工程中大部分問題的變量取值都有

2、一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。 與無約束問題不同，約束問題目標(biāo)函數(shù)的最小值與無約束問題不同，約束問題目標(biāo)函數(shù)的最小值是滿足約束條件下的最小值，即是由約束條件所限定是滿足約束條件下的最小值，即是由約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值。只要由約束條件所決定的可行的可行域內(nèi)的最小值。只要由約束條件所決定的可行域必是一個(gè)凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，其約束最優(yōu)解域必是一個(gè)凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，其約束最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。否則，將由于所選擇的初始點(diǎn)的不就是全域最優(yōu)解。否則，將由于所選擇的初始點(diǎn)的不同，而探索到不同的局部最優(yōu)解上。在這種情況下，同，而探索到

3、不同的局部最優(yōu)解上。在這種情況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)。為了能得到全局探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)。為了能得到全局最優(yōu)解，在探索過程中最好能改變初始點(diǎn)，有時(shí)甚至最優(yōu)解，在探索過程中最好能改變初始點(diǎn)，有時(shí)甚至要改換幾次。要改換幾次。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）直接法）直接法 直接法包括：網(wǎng)格法、復(fù)合形法、隨機(jī)試驗(yàn)法、直接法包括：網(wǎng)格法、復(fù)合形法、隨機(jī)試驗(yàn)法、隨機(jī)方向法、可變?nèi)莶罘ê涂尚蟹较蚍?。隨機(jī)方向法、可變?nèi)莶罘ê涂尚蟹较蚍ā?（2）間接法）間接法 間接法包括：罰函數(shù)法、內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法、外點(diǎn)罰間接法包括：罰函數(shù)法、內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法、外點(diǎn)罰函數(shù)法、混合罰函數(shù)法、廣義乘子法、廣義簡約梯度函

4、數(shù)法、混合罰函數(shù)法、廣義乘子法、廣義簡約梯度法和約束變尺度法等。法和約束變尺度法等。 根據(jù)求解方式的不同，約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可分為根據(jù)求解方式的不同，約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可分為:直直接解法、間接解法。接解法、間接解法。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 間接解法是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題來解的一種方法。 由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時(shí)具有不等式約束和等式約束的問題。因而在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)得到廣泛的應(yīng)用。間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。 直接解法的基本思想： 在由m個(gè)不等式約束條件gu(x)0所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)x(0)，然后確定一個(gè)可行搜索方向

5、S，且以適當(dāng)?shù)牟介L沿S方向進(jìn)行搜索，取得一個(gè)目標(biāo)函數(shù)有所改善的可行的新點(diǎn)x(1)，即完成了一次迭代。以新點(diǎn)為起始點(diǎn)重復(fù)上述搜索過程，每次均按如下的基本迭代格式進(jìn)行計(jì)算： 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) x(k+1) x(k)+(k) S(k) (k=0,1,2,)逐步趨向最優(yōu)解，直到滿足終止準(zhǔn)則才停止迭代。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，思路是在直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，思路是在m個(gè)不個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向搜索方向 S且以適當(dāng)?shù)牟介L且以適當(dāng)?shù)牟介L

6、，進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，直至滿足收斂條件。述搜索過程，直至滿足收斂條件。 (1)( )( )( )(0,1,2,)kkkkSkxxk( )ks-步長步長 -可行搜索方向可行搜索方向 可行搜索方向可行搜索方向:當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。值將下降，且不會(huì)越出可行域。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)直接解法的原理簡單，方法實(shí)用，其特點(diǎn)是：1）由于整個(gè)過程在可行域內(nèi)進(jìn)行

7、，因此，迭代計(jì)算不論何時(shí)終止，都可以獲得比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可獲得全域最優(yōu)解，否則，可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。3）要求可行域有界的非空集。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)間接解法的求解思路：將約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題。 121211,mljkjkxf xG gxH hx 新目標(biāo)函數(shù)加權(quán)因子然后對(duì)新目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束極小化計(jì)算。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)

8、計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)5.2 隨機(jī)方向法隨機(jī)方向法 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)隨機(jī)方向法的基本思路：隨機(jī)方向法的基本思路：在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為搜索方向s。從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿s 方向以一定步長進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn)X，新點(diǎn)x應(yīng)滿足約束條件且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代?；舅悸啡鐖D所示。隨機(jī)方向法程序設(shè)計(jì)簡單，搜索速度快，是解決小型機(jī)械優(yōu)化問題的十分有效的算法。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)5.3 復(fù)合形法復(fù)合形法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 它的基本思路是在可行

9、域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有k個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)最大的頂點(diǎn)（最壞點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。 由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)無特殊要求，因此這種方法適應(yīng)性強(qiáng)，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)二二. .初始復(fù)合形的構(gòu)成初始復(fù)合形的構(gòu)成1. 復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)K K的選擇的選擇建議建議: :nKn21 小取大值小取大值, 大取小值大取小值nn2) 為避免降維為避

10、免降維, K K應(yīng)取大些應(yīng)取大些; 但過大但過大, 計(jì)算量也大計(jì)算量也大.* 1) 為保證迭代點(diǎn)能逼近極小點(diǎn)為保證迭代點(diǎn)能逼近極小點(diǎn), 應(yīng)使應(yīng)使1 nK機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2. 初始復(fù)合形頂點(diǎn)的確定初始復(fù)合形頂點(diǎn)的確定 1) 用試湊方法產(chǎn)生用試湊方法產(chǎn)生-適于低維情況適于低維情況; ;2) 用隨機(jī)方法產(chǎn)生用隨機(jī)方法產(chǎn)生用隨機(jī)方法產(chǎn)生用隨機(jī)方法產(chǎn)生K K個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn) 先用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生先用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生 個(gè)隨機(jī)數(shù)個(gè)隨機(jī)數(shù) , ,然后變換到預(yù)定的區(qū)間然后變換到預(yù)定的區(qū)間 中去中去. .n) 10(iiiiibxaniiiiiiaabx,.,2,1,)(這便得到了一個(gè)頂點(diǎn)這便得到了一個(gè)頂點(diǎn), ,要連

11、續(xù)產(chǎn)生要連續(xù)產(chǎn)生K K個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn). .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)初始復(fù)合形生成的方法：1）由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可形點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。設(shè)計(jì)變量少時(shí)適用。2）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可形點(diǎn)，其余的k-1個(gè)可形點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。()iixar ba11LcjjxxL110.5LcLcxxxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)3）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的所有頂點(diǎn)。二、復(fù)合形法的搜索方法1.反射1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH 及 次壞點(diǎn)XG，即:min1,2,.,:max1,2,.,:max1,2,., ,jLLjHHjGGxf xf xjkxf xf xjkxf xf xjk

12、 jH機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)XH 外的（k-1）個(gè)頂點(diǎn)的中心XC 111Lcjjxxk3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看，一般情況下，最壞點(diǎn)XH和中心點(diǎn)XC的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的下降方向。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)RCCHxxa xx4）判別反射點(diǎn)XR的位置 若XR 為可行點(diǎn)，則比較XR 和XH 兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果f(XR) =f(XH),則將縮小0.7倍，重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不行，繼續(xù)縮小，直至f(XR) f(XH)為止。 若為非可行點(diǎn)，則將縮小0.7倍，直至可行為止。然后再重復(fù)可行點(diǎn)的步驟。2.擴(kuò)張機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)3.收縮機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)

13、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)三三. 終止判別條件終止判別條件各頂點(diǎn)與好點(diǎn)函數(shù)值之差的均方根應(yīng)不大于誤差限各頂點(diǎn)與好點(diǎn)函數(shù)值之差的均方根應(yīng)不大于誤差限2112)()()(1kjLjXFXFk機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)比較復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值比較復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值，找出好點(diǎn)找出好點(diǎn)XL，壞點(diǎn)壞點(diǎn)XHXH=XR=0. .5找出次壞點(diǎn)找出次壞點(diǎn)XSH ，XH=XSH滿足終止條件滿足終止條件？X*=XL ,F*=F(XL)結(jié)結(jié) 束束四四. 復(fù)合形法的復(fù)合形法的 迭代步驟迭代步驟是是否否 KjjCHjXKX1,11)(),(RRHCCRXFFXXXX 給定給定K，ai , bi i =1,2,n產(chǎn)生初始復(fù)合形

14、頂點(diǎn)產(chǎn)生初始復(fù)合形頂點(diǎn)Xj , j=1,2,K計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值F(Xj), j=1,2,K是是是是是是否否否否否否XRDDFRF(XH)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法特點(diǎn)方法特點(diǎn)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合為新的目標(biāo)函數(shù)懲罰函數(shù)。 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題。求解無約束優(yōu)化問題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。 121211, ,mljkjkx r rf xrG gxrH hx加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 將有約束的優(yōu)化問題

15、轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題來求解。將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題來求解。前提：一是不能破壞約束問題的約束條件，二是使它歸結(jié)前提：一是不能破壞約束問題的約束條件，二是使它歸結(jié)到原約束問題的同一最優(yōu)解上去。到原約束問題的同一最優(yōu)解上去。 min( ),. .( )01,2,( )01,2,njkfRst gjmhklxxxx 構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，稱為懲罰函數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，稱為懲罰函數(shù) ( )( )( )( )121211( ,)( )( )( )mlkkkkjkijrrfrG grH hxxxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 從而有從而有( )11lim( )0mkikirG gx( )21

16、lim( )0lkjkjrH hx( )( )( )12lim( ,)()0kkkkrrfxx懲罰項(xiàng)必須具有以下極限性質(zhì)：懲罰項(xiàng)必須具有以下極限性質(zhì)： 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。按一定的法則改變罰因子的約束最優(yōu)解。按一定的法則改變罰因子r1 和和r2的值，的值，求得一序列的無約束最優(yōu)解，不斷地逼近原約束優(yōu)化問求得一序列的無約束最優(yōu)解，不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。題的最優(yōu)解。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 根據(jù)約束形式和定義的泛函及罰因子的遞推方法根據(jù)約束形式和定義的泛函及罰因子的遞推方法等不同，罰函數(shù)法可分為內(nèi)點(diǎn)

17、法、外點(diǎn)法和混合罰等不同，罰函數(shù)法可分為內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法和混合罰函數(shù)法三種。這種方法是函數(shù)法三種。這種方法是1968年由美國學(xué)者年由美國學(xué)者AVFiacco和和GPMcormick提出的，把不等式約束引提出的，把不等式約束引入數(shù)學(xué)模型中，為求多維有約束非線性規(guī)劃問題開入數(shù)學(xué)模型中，為求多維有約束非線性規(guī)劃問題開創(chuàng)了一個(gè)新局面。創(chuàng)了一個(gè)新局面。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1.內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法 這種方法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在這種方法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約

18、束的優(yōu)化問題。具有不等式約束的優(yōu)化問題。min( )s.t.( )0(1,2,)jfgjmxx對(duì)于只具有不等式約束的優(yōu)化問題：對(duì)于只具有不等式約束的優(yōu)化問題： 轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為：轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為：( )11( , )( )( )mkiirfrgxxx( )1( , )( )ln( )mkiirfrgxxx或：或：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)rk是懲罰因子，它是一個(gè)由大到小且趨近于是懲罰因子，它是一個(gè)由大到小且趨近于0的正數(shù)列，的正數(shù)列，即即: 01210kkrrrrr 由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，“障礙項(xiàng)障礙項(xiàng)”的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。

19、由的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。由“障礙項(xiàng)障礙項(xiàng)”的的函數(shù)形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近某一約束邊界時(shí)，其值函數(shù)形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近某一約束邊界時(shí)，其值趨近于趨近于0，而，而“障礙項(xiàng)障礙項(xiàng)”的值陡然增加，并趨近于無的值陡然增加，并趨近于無窮大，好像在可行域的邊界上筑起了一道窮大，好像在可行域的邊界上筑起了一道“高墻高墻”，使迭代點(diǎn)始終不能越出可行域。顯然，只有當(dāng)懲罰因使迭代點(diǎn)始終不能越出可行域。顯然，只有當(dāng)懲罰因子子 時(shí)，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。時(shí)，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。 0kr 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 是：由于內(nèi)點(diǎn)法只能在可行域是：由于內(nèi)點(diǎn)法只能在可行域內(nèi)迭代，而最優(yōu)解很可能在可行

20、域內(nèi)靠近邊界處或內(nèi)迭代，而最優(yōu)解很可能在可行域內(nèi)靠近邊界處或就在邊界上，此時(shí)盡管泛函的值很大，但罰因子是就在邊界上，此時(shí)盡管泛函的值很大，但罰因子是不斷遞減的正值，經(jīng)多次迭代，接近最優(yōu)解時(shí)，懲不斷遞減的正值，經(jīng)多次迭代，接近最優(yōu)解時(shí)，懲罰項(xiàng)已是很小的正值。罰項(xiàng)已是很小的正值。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)例例5-2 用內(nèi)點(diǎn)法求用內(nèi)點(diǎn)法求2212min( )fxxx1s.t.( )10gx x的約束最優(yōu)解。的約束最優(yōu)解。解解: 用內(nèi)點(diǎn)法求解該問題時(shí)，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用內(nèi)點(diǎn)法求解該問題時(shí)，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù):22121( , )ln(1)krxxrxx用解析法求函數(shù)的極小值，運(yùn)用極值條件：用解析

21、法求函數(shù)的極小值，運(yùn)用極值條件： 1112220120krxxxxx 聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：12112()2()0kkkrx rx r機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1112( )2rx r時(shí)不滿足約束條件時(shí)不滿足約束條件 1( )10g xx 應(yīng)舍去應(yīng)舍去 。無約束極值點(diǎn)為無約束極值點(diǎn)為*1*2112()2()0kkkrx rx r當(dāng)當(dāng)04r *0()2 0Tx r*0()4f x r01.2r *0()1.422 0Tx r*0()2.022f x r00.36r *0()1.156 0Tx r*0()1.336f x r00r *0()1 0Tx r*0()1f x r機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)

22、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 1） 初始點(diǎn)初始點(diǎn)x0的選取的選取 使用內(nèi)點(diǎn)法時(shí)，初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)使用內(nèi)點(diǎn)法時(shí)，初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。如太靠近某一約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)的。如太靠近某一約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)的值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難. .2） 懲罰因子初值懲罰因子初值r0的選取的選取 懲罰因子的初值應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。一懲罰因子的初值應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。一般而言，太大，將增加迭代次數(shù)；太小，會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變般而言，太大，將

23、增加迭代次數(shù)；太小，會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點(diǎn)。無一般性的有效方法。對(duì)于不同的壞，甚至難以收斂到極值點(diǎn)。無一般性的有效方法。對(duì)于不同的問題，都要經(jīng)過多次試算，才能決定一個(gè)適當(dāng)問題，都要經(jīng)過多次試算，才能決定一個(gè)適當(dāng) r0 3) 懲罰因子的縮減系數(shù)懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取的選取 在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次遞減到是一個(gè)逐次遞減到0的的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為 :機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1(1,2,.)rkrcrk 式中的式中的c稱為懲罰因子的縮減系數(shù)，稱為懲罰因子的縮減系數(shù)，c為小于為

24、小于1的正數(shù)。的正數(shù)。一般的看法是，一般的看法是，c值的大小在迭代過程中不起決定性作值的大小在迭代過程中不起決定性作用，通常的取值范圍在用，通常的取值范圍在0.10.7之間。之間。 4) 收斂條件收斂條件*111*11(),(),(),kkkkkkrrrrrrxxx*12()()kkrrxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1）選擇可行域內(nèi)初始點(diǎn)）選擇可行域內(nèi)初始點(diǎn)X(0);2）選取初始罰因子）選取初始罰因子r(0)與罰因子降低系數(shù)與罰因子降低系數(shù)c，并置，并置K0；3）求）求min(x(K),r(K)解出最優(yōu)點(diǎn)解出最優(yōu)點(diǎn)xK*；4）當(dāng)）當(dāng)K=0轉(zhuǎn)步驟轉(zhuǎn)步驟5），否則轉(zhuǎn)步驟），否則轉(zhuǎn)步驟6）；）；5）K

25、K+1，r(K+1)r(K)， xK+10 xK* ，并轉(zhuǎn)步驟，并轉(zhuǎn)步驟3）；）；6）按終止準(zhǔn)則判別，若滿足轉(zhuǎn)步驟）按終止準(zhǔn)則判別，若滿足轉(zhuǎn)步驟7），否則轉(zhuǎn)步驟），否則轉(zhuǎn)步驟5）；）；7）輸出最優(yōu)解（）輸出最優(yōu)解（X*，F(xiàn)*），停止計(jì)算），停止計(jì)算。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2. 外點(diǎn)法外點(diǎn)法 外點(diǎn)法是從可行域的外部構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)序列去逼外點(diǎn)法是從可行域的外部構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。外點(diǎn)法可以用來求解含近原約束問題的最優(yōu)解。外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。不等式和等式約束的優(yōu)化問題。 外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為： 2211( ,

26、 )( )max0,( )( )pmijijrfrgrhxxxxr是懲罰因子是懲罰因子 ,012rrr 外點(diǎn)法的迭代過程在可行域之外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用外點(diǎn)法的迭代過程在可行域之外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項(xiàng)是迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項(xiàng)的形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)的形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)x 不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于0。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 2211,max 0,mljkjkx rf xrgxrhx懲罰因子，它是由小到大。懲罰項(xiàng) 由懲罰項(xiàng)可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于零。 當(dāng)?shù)c(diǎn)離約束邊界越遠(yuǎn)時(shí)，懲罰項(xiàng)愈大，這可

27、看成是對(duì)迭代點(diǎn)不滿足約束條件的一種懲罰。轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 例例 用外點(diǎn)法求解下列有約束優(yōu)化問題用外點(diǎn)法求解下列有約束優(yōu)化問題3121min( )(1)3fxxx1122s.t.( )10( )0gxgx xx解：懲罰函數(shù)為：解：懲罰函數(shù)為： 32212121( , )(1)max(0,1)max(0,)3rxxrxrxx312123221212121(1)( )0,( )0)31(1)(1)()( )0,( )0)3xxggxxrxrxggxxxx對(duì)上式求偏導(dǎo)，得對(duì)上式求偏導(dǎo)，得 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)212111(1)(1)2 (1)xxxrx2211

28、2 ()rxx無約束目標(biāo)函數(shù)極小化問題的最優(yōu)解系列為：無約束目標(biāo)函數(shù)極小化問題的最優(yōu)解系列為：*21*2( )141( )0.5x rrrrx rr 當(dāng)懲罰因子漸增時(shí)，由下表可看出收斂情況。當(dāng)懲罰因子漸增時(shí)，由下表可看出收斂情況。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)*1x*2x*( ) r*( )frr0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582108/38/3機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)例6-6 用外點(diǎn)法求問題約束最優(yōu)解。 22121min. .10f xxxst g xx 首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)：222121,1x rxxrx111222