高中物理相遇和追及問題

1、 高中物理相遇和追及問題分析1.相遇和追及問題的實(shí)質(zhì):研究的兩物體能否在相同的時(shí)刻到達(dá)相同的空間位置的問題。2.畫出物體運(yùn)動(dòng)的情景圖，理清三大關(guān)系（1）時(shí)間關(guān)系：（2）位移關(guān)系：（3）速度關(guān)系：兩者速度相等。它往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。3.兩種典型追及問題 （1）速度大者（勻減速）追速度小者（勻速）v1av2v1> v2AB當(dāng)v1=v2時(shí)，A末追上B，則A、B永不相遇，此時(shí)兩者間有最小距離；當(dāng)v1=v2時(shí)，A恰好追上B，則A、B相遇一次，也是避免相撞剛好追上的臨界條件；當(dāng)v1>v2時(shí)，A已追上B，則A、B相遇兩次，且之后當(dāng)兩者速度

2、相等時(shí)，兩者間有最大距離。（2）同地出發(fā)，速度小者（初速度為零的勻加速）追速度大者（勻速） av2ABv1=0當(dāng) v1=v2 時(shí)，A、B距離最大；當(dāng)兩者位移相等時(shí),有 v1=2v2且A追上B。A追上B所用的時(shí)間等于它們之間達(dá)到最大距離時(shí)間的兩倍。4.相遇和追及問題的常用解題方法:畫出兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)示意圖，分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，找出臨界狀態(tài)，確定它們位移、時(shí)間、速度三大關(guān)系。 1)基本公式法根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，把時(shí)間關(guān)系滲透到位移關(guān)系和速度關(guān)系中列式求解2)圖像法正確畫出運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,根據(jù)圖像的斜率、截距、面積的物理意義結(jié)合三大關(guān)系求解3)相對(duì)運(yùn)動(dòng)法巧妙選擇參考系，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)過程、臨界狀態(tài)，根據(jù)運(yùn)

3、動(dòng)學(xué)公式列式求解4)數(shù)學(xué)方法根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出數(shù)學(xué)關(guān)系式（要有實(shí)際物理意義）利用二次函數(shù)的求根公式中判別式求解。5.追及和相遇問題的求解步驟兩個(gè)物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等問題，解答此類問題的關(guān)鍵條件是：兩物體能否同時(shí)達(dá)到空間某位置?；舅悸肥牵悍謩e對(duì)兩物體進(jìn)行研究；畫出運(yùn)動(dòng)過程示意圖；列出位移方程找出時(shí)間關(guān)系，速度關(guān)系 解出結(jié)果，必要時(shí)進(jìn)行討論。(1)追及問題：追和被追的兩物體的速度相等（同向運(yùn)動(dòng)）是能否追上及兩者距離有極值的臨界條件。 第一類：速度大者減速（如勻減速直線運(yùn)動(dòng)）追速度小者（如勻減速直線運(yùn)動(dòng)） 當(dāng)兩者速度相等時(shí),追者位移追者位移仍小于被追者位移,則永遠(yuǎn)追

4、不上,此時(shí)兩者之間有最小距離。 若兩者位移相等,且兩者速度相等時(shí),則恰能追上,也是兩者避免碰撞的臨界條件。 若兩者位移相等時(shí),追著速度仍大于被追者的速度,則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì),當(dāng)速度相等時(shí)兩者之間距離有一個(gè)最大值。在具體求解時(shí),可以利用速度相等這一條件求解,也可以利用二次函數(shù)的知識(shí)求解，還可以利用圖象等求解。第二類：速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)）追速度大者（勻速直線運(yùn)動(dòng)）。 當(dāng)兩者速度相等時(shí)有最大距離當(dāng)兩者位移相等時(shí)，則追上具體的求解方法與第一類相似，即利用速度相等進(jìn)行分析還可利用二次函數(shù)圖象和圖象圖象。(2)相遇問題 同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)

5、生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)相遇6.分析追及，相遇問題時(shí)要注意(1)分析問題是，一個(gè)條件，兩個(gè)關(guān)系。一個(gè)條件是：兩物體速度相等時(shí)滿足的臨界條件，如兩物體的距離是最大還是最小及是否恰好追上等。兩個(gè)關(guān)系是：時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。時(shí)間關(guān)系是指兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否相等，兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一先一后等；而位移關(guān)系是指兩物體同地運(yùn)動(dòng)還是一前一后等，其中通過畫運(yùn)動(dòng)示意圖找到兩物體間的位移關(guān)系是解題的突破口，因此在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習(xí)慣，對(duì)幫助我們理解題意，啟迪思維大有好處。(2)若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一定要注意，追上前該物體是否已停止運(yùn)動(dòng)。仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵

6、字眼，充分挖出題目中的隱含條件，如“剛好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。7.追及問題的六種常見情形(1)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體追勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體：這種情況定能追上，且只能相遇一次；兩者之間在追上前有最大距離，其條件是V加 = V勻(2)勻減速直線運(yùn)動(dòng)追勻速直線運(yùn)動(dòng)物體：當(dāng)V減 = V勻時(shí)兩者仍沒到達(dá)同一位置，則不能追上；當(dāng)V減 = V勻時(shí)兩者正在同一位置，則恰能追上，也是兩者避免相撞的臨界條件；當(dāng)兩者到達(dá)同一位置且V減 V勻時(shí)，則有兩次相遇的機(jī)會(huì)。(3)勻速直線運(yùn)動(dòng)追勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體：當(dāng)兩者到達(dá)同一位置前，就有V加 = V勻，則不能追上；當(dāng)兩者到大

7、同位置時(shí)V加 = V勻，則只能相遇一次；當(dāng)兩者到大同一位置時(shí)V加 V勻則有兩次相遇的機(jī)會(huì)。(4)勻速直線運(yùn)動(dòng)物體追勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體：此種情況一定能追上。(5)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體追勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體：此種情況一定能追上。(6)勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體追勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體：當(dāng)兩者在到達(dá)同一位置前V減 = V加，則不能追上；當(dāng)V減 = V加時(shí)兩者恰到達(dá)同一位置，則只能相遇一次；當(dāng)?shù)匾淮蜗嘤鰰r(shí)V減 V加，則有兩次相遇機(jī)會(huì)。（當(dāng)然，追及問題還有其他形式，如勻加速追勻加速，勻減速追勻減速等，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考）。8.典型例題例1.A火車以v1=20m/s速度勻速行駛,司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一

8、列火車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。要使兩車不相撞,a應(yīng)滿足什么條件？解1：（公式法）兩車恰好不相撞的條件是兩車速度相同時(shí)相遇。由A、B 速度關(guān)系： 由A、B位移關(guān)系： 解2：（圖像法）在同一個(gè)v-t圖中畫出A車和B車的速度時(shí)間圖像圖線，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中梯形的面積與矩形面積的差，當(dāng)t=t0時(shí)梯形與矩形的面積之差最大,為圖中陰影部分三角形的面積.根據(jù)題意,陰影部分三角形的面積不能超過100. 物體的v-t圖像的斜率表示加速度,面積表示位移。 （由于不涉及時(shí)間，所以選用速度位移公式。 ）解3：（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）以B車為參照物，

9、 A車的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100m后“停下”，末速度為vt=0。 備注：以B為參照物,公式中的各個(gè)量都應(yīng)是相對(duì)于B的物理量.注意物理量的正負(fù)號(hào)。解4：（二次函數(shù)極值法）若兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為代入數(shù)據(jù)得：其圖像(拋物線)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必為正值,故有 把物理問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)二次函數(shù)的極值求解的數(shù)學(xué)問題。 例2.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來(lái)，從后邊超過汽車。試求：汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？ 解1：（公式法）當(dāng)汽車的速度與自行

10、車的速度相等時(shí)，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩車之間的距離最大。則 解2：（圖像法）在同一個(gè)v-t圖中畫出自行車和汽車的速度時(shí)間圖像，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中梯形的面積與矩形面積的差，當(dāng)t=t0時(shí)矩形與三角形的面積之差最大。 v-t圖像的斜率表示物體的加速度 當(dāng)t=2s時(shí)兩車的距離最大為圖中陰影三角形的面積 動(dòng)態(tài)分析隨著時(shí)間的推移,矩形面積（自行車的位移）與三角形面積（汽車的位移）的差的變化規(guī)律.解3：（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）選自行車為參照物，以汽車相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，汽車相?duì)自行車沿反方向做勻減速運(yùn)動(dòng)v0=-6m/s，a=3m/s2，兩車相距最遠(yuǎn)時(shí)vt=0 對(duì)汽車由公式（

11、由于不涉及位移，所以選用速度公式）對(duì)汽車由公式 ： （由于不涉及“時(shí)間”，所以選用速度位移公式。 ）表示汽車相對(duì)于自行車是向后運(yùn)動(dòng)的,其相對(duì)于自行車的位移為向后6m.解4：（二次函數(shù)極值法）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t汽車和自行車之間的距離x，則，思考：汽車經(jīng)過多少時(shí)間能追上摩托車?此時(shí)汽車的速度是多大?汽車運(yùn)動(dòng)的位移又是多大？ 例3.一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖。已知盤與桌布間的動(dòng)摩擦因數(shù)為1，盤與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為2?，F(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？(以g表示重

12、力加速度) 解：設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，桌長(zhǎng)為l，在桌布從圓盤上抽出的過程中，盤的加速度為a1，有 桌布抽出后，盤在桌面上作勻減速運(yùn)動(dòng)，以a2表示加速度的大小，有 設(shè)盤剛離開桌布時(shí)的速度為v1，移動(dòng)的距離為x1，離開桌布后在桌面上再運(yùn)動(dòng)距離x2后便停下，有 盤沒有從桌面上掉下的條件是 設(shè)桌布從盤下抽出所經(jīng)歷時(shí)間為t，在這段時(shí)間內(nèi)桌布移動(dòng)的距離為x，有 而 由以上各式解得 ：例4.一輛汽車在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以v06 m/s的速度勻速駛來(lái)，從后邊超過汽車，試問：(1)汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是

13、多大？(2)當(dāng)汽車與自行車距離最近時(shí)汽車的速度是多大？解析：法一：用臨界條件求解(1)當(dāng)汽車的速度為v6 m/s時(shí),二者相距最遠(yuǎn)，所用時(shí)間為t2 s,最遠(yuǎn)距離為sv0tat26 m.(2)兩車距離最近時(shí)有v0tat2 解得t4 s 汽車的速度為vat12 m/s.法二:用圖象法求解(1)汽車和自行車的vt圖象如圖所示，由圖象可得t2 s時(shí)，二者相距最遠(yuǎn)最遠(yuǎn)距離等于圖中陰影部分的面積，即s×6×2 m6 m.(2)兩車距離最近時(shí)，即兩個(gè)vt圖線下方面積相等時(shí)，由圖象得此時(shí)汽車的速度為v12 m/s.法三:用數(shù)學(xué)方法求解(1)由題意知自行車與汽車的位移之差為sv0tat2因二次

14、項(xiàng)系數(shù)小于零，當(dāng)t2 s時(shí)有最大值，最大值smv0tat26×2 m×3×22 m6 m. (2)當(dāng)sv0tat20時(shí)相遇得t4 s，汽車的速度為vat12 m/s.分析追及、相遇問題的常用方法1)物理分析法：抓好“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，在頭腦中建立起一幅物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景2)相對(duì)運(yùn)動(dòng)法：巧妙地選取參考系,然后找兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系3)極值法：設(shè)相遇時(shí)間為t,根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論,若>0，即有兩個(gè)解，說明可以相遇兩次；若0，說明剛好追上或相遇；若<0,說明追不上或不能相碰

15、4)圖象法：將兩者的速度時(shí)間圖象在同一坐標(biāo)系中畫出，然后利用圖象求解. 一道“追及和相遇問題”試題的思考和引申sAs0A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A在前，速度為vA10m/s，B在后，速度為vB30m/s，因大霧能見度低，B車在距A車500m時(shí)，才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但要經(jīng)過1800mB車才能停下，問：(1)車若要仍按原速前進(jìn)，兩車是否相撞？試說明理由。(2)B在剎車的同時(shí)發(fā)出信號(hào)，A車司機(jī)在收到信號(hào)1.5s后加速前進(jìn)，A車加速度為多大時(shí)，才能避免事故發(fā)生？（不計(jì)信號(hào)從A傳到B的時(shí)間）第一問的解法如下：l解：先求B車從剎車到停下來(lái)所需時(shí)間tB sB由sB =vB·

16、;tB得 tB= =2×s=120s再求在相同的時(shí)間內(nèi)A車通過的位移sA, sA=vA·tB=10×120m=1200m最后比較sA+s0和sB的大小關(guān)系即可判斷結(jié)果.由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置關(guān)系圖可知兩車會(huì)相撞。提問1：通過上面的計(jì)算我們知道兩車能相撞，試問它們何時(shí)相撞？解：設(shè)B車剎車后經(jīng)過時(shí)間t兩車相遇，依題意有sA+s0=sB而sA=vA·t，sB=vB·t+at2（其中a為B車剎車過程中的加速度，根據(jù)已知條件很易求出a-0.25m/s2），將sA、sB的表達(dá)式代入上式解得t1=31s，t2

17、=129s提問2：為什么有兩個(gè)解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次，第一次是B車追上A車，第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次，故t2沒有意義。提問3：B車追上A車時(shí)，哪車的速度大？答：B車的速度大， 因?yàn)锽車從減速到和A車的速度相等所需的時(shí)間為：t= =s=80s，因?yàn)閠 t1，故B車的速度大。提問4：若A、B兩車相遇但不會(huì)相撞，A車又追上B車時(shí)，B車的速度是多大？從B車開始減速到兩車第二次相遇共需多少時(shí)間？答：由于B車剎車后經(jīng)過120s后就停下來(lái)，故129s時(shí)它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒，故第二次相遇所需時(shí)間為：t2= =s=130s。這是一個(gè)實(shí)際問題，要注意解的合理性

18、。提問5：若開始兩車相距700m，試問兩車是否會(huì)相撞？答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故兩車不會(huì)相撞。提問6：若用第二種方法，即設(shè)B剎車后經(jīng)過時(shí)間t兩車相撞，方程是否有解呢？答：由sA+s0=sB得 vA·t+ s0=vB·t+at2即10t+700=30t-0.125t2移項(xiàng)并整理得 t2-160t+5600=0 該方程的判別式為=1602-4×5600=32000，故該方程有解，即相撞，并且有相遇兩次的可能。原來(lái)先是B超過A，后來(lái)A又超過B，我們不能認(rèn)為開始時(shí)A在B的前面，后來(lái)A仍在B的前面，就得出兩車

19、不相撞的結(jié)論。由此可見用簡(jiǎn)單的位移關(guān)系是得不出正確結(jié)果的。提問7：試問：若要使兩車不相撞，開始時(shí)兩車間的距離s0至少為多少？解：設(shè)兩車經(jīng)過時(shí)間t后相撞，由位置關(guān)系易得出：vA·t+ s0=vB·t +at2即10t+s0=30t-0.125t2移項(xiàng)并整理得t2-160t+8s0=0 要使兩車不相撞，即要使該方程無(wú)解，即即1602-4×8s00故s0800m，即開始時(shí)兩車間的距離至少為800m。提問8：若兩車剛好能相撞，相撞時(shí)兩車的速度有何關(guān)系？答：應(yīng)該剛好相等，剛開始時(shí)B車的速度比A車的速度大，兩車之間的距離減小，當(dāng)兩車的速度達(dá)到相等時(shí)，距離最小，之后兩車之間的距

20、離將變大，若速度相等時(shí)還沒有相遇，則兩車不會(huì)再相遇。若s0=800m時(shí)，解得t=80s，此時(shí)B車的速度為v B =v B +at=30+(-025)×80m/s=10m/s=v A。規(guī)律總結(jié)：求追及、相遇或相撞問題時(shí)，若問兩物體能否相撞，一般是設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后兩物體相撞，根據(jù)位移關(guān)系列出方程，它一般是關(guān)于t的二次方程，然后根據(jù)判別式的正、負(fù)或零來(lái)判斷，若，則二者能相撞，若，則不能相撞；若問二者何時(shí)相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是實(shí)際問題；若問能相遇幾次，解出相遇所需的時(shí)間，有幾個(gè)解，就能相遇幾次，同樣要注意解是否合理；若求兩者之間的最大或最小距離，通常求出兩物體速度達(dá)到相等時(shí)

21、各自的位移，兩位移之差即為兩物體之間的最大或最小距離；也可設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后兩者相距S，根據(jù)位置關(guān)系寫出S的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)求極值的方法可以求出（一般用配方的方法來(lái)求）。這樣，該題第二問的解法很易得出：設(shè)B車剎車后經(jīng)過ts兩車剛好相撞，則應(yīng)有：s B= s A+s0即v B·t+a B t2=v A ·t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s0 ，30t-t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500剛好相撞，則=0，解得a A =0.16m/s29.總結(jié)一.物理模型：同一直線，同向（反向）運(yùn)動(dòng)。二.時(shí)間關(guān)系 1.同時(shí)出發(fā)，在倆者運(yùn)動(dòng)

22、中追及，。 2.同時(shí)出發(fā)，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)靜止追及，。 3.根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，核對(duì)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：確定有無(wú)運(yùn)動(dòng)的多過程問題。三.出發(fā)地點(diǎn)關(guān)系 1.同地追及，同一地點(diǎn)出發(fā)，最后追及相遇 2.異地追及，不在同一地點(diǎn)，最后追及相遇四.位移關(guān)系：A為汽車B為自行車，倆物體的相距，追上時(shí)A走過的位移， B走過的位移，。五.追及過程的距離極值問題： 在追及過程中，當(dāng)，A，B倆物體之間達(dá)到距離的極值，可能為最大或最小，具體問題具體分析。六.追及過程中的恰好不相碰問題 1.追上的瞬間位移關(guān)系： 2.追上的瞬間速度關(guān)系：七.追上的瞬間比較加速度，分析二次追及問題1.追上的瞬間位移關(guān)系：2.追上的瞬間速度關(guān)系：， 3.追上時(shí)的加速度關(guān)系：八.討論有無(wú)二次追及的可能: 已知A，B倆物體相距，A追及B，討論追及可能發(fā)生的相關(guān)問題。1.當(dāng)A的瞬時(shí)速度與B的瞬時(shí)速度相等時(shí)，即=，A的位移為，B的位移為，則2.討論與的關(guān)系，九.會(huì)使用圖像法解決追及相遇問題1.找到=相等的時(shí)刻2.比較面積發(fā)現(xiàn)的關(guān)系3.根據(jù)